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Schule Monatsaufgabe
jusschl
Neu Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 08.04.2014
Mitteilungen: 2
  Themenstart: 2014-04-08

Hallo Matheplanet-Member, ich habe ein Problem mit einer schwierigen Aufgabe, die wie folgt lautet: Es seien m und n positive ganze Zahlen, für die m²+n²+m durch mn teilbar ist. Zeige, dass dann m eine Quadratzahl ist. Ich habe keine Ahnung, wie ich das machen soll, könnt ihr mir da weiterhelfen? Mit freundlichen Grüßen, jusschl


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Nuramon
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  Beitrag No.1, eingetragen 2014-04-08

Herzlich willkommen auf dem Matheplaneten! Welche Lösungsansätze hast du denn bisher probiert? Teile uns diese bitte mit. Eine natürliche Zahl ist genau dann eine Quadratzahl, wenn in ihrer Primfaktorzerlegung jede Primzahl in gerader Potenz vorkommt. Nimm also an, es gäbe eine Primzahl $ p$ und eine ganze Zahl $k\geq 0$, so dass $m$ durch $p^{2k+1}$ teilbar ist, aber nicht durch $p^{2k+2}$ und versuche das zu einem Widerspruch zu führen, indem du Überlegungen anstellst, mit welcher Vielfachheit sich $n$ mindestens durch $p$ teilen lassen muss, und damit dann zeigst, dass $m$ auch durch $p^{2k+2}$ teilbar sein müsste.


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ZetaX
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  Beitrag No.2, eingetragen 2014-04-08

Sichwort: Vieta-Jumping.


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jusschl
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  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2014-04-08

Ich habe noch garnichts, weil ichs einfach nicht verstehe. [Die Antwort wurde nach Beitrag No.1 begonnen.]


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Nuramon
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Mitteilungen: 3782
  Beitrag No.4, eingetragen 2014-04-08

Also angenommen $mn|m^2+n^2+m$ und p ist eine Primzahl, so dass $p^{2k+1}|m$ . Dann folgt, dass $p^{2k+1}|n^2$ (warum?). Der Clou ist jetzt sich klarzumachen, dass dann bereits $p^{k+1}|n$ gelten muss. Versuche mit dieser Erkenntnis herzuleiten, dass dann auch $p^{2k+2}|m$.


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