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  Gleichung für Entladestrom eines Kondensators |
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Gonzbert
Senior 
Dabei seit: 20.02.2004
Mitteilungen: 2176
 |  Themenstart: 2004-04-28
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Hi ihr!
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Für den Entladestrom eines Kondensators gilt doch folgende Gleichung:
I = I_0*e^(-t/\tau)
Wir haben diese Gleichung nicht hergeleitet, da diese Herleitung wohl zu schwer sei (wir kennen nicht alle physikalischen Zusammenhänge) und außerdem wird ein Gebiet der Mathematik benötigt, das wir ebenfalls noch nicht kennen, wurde uns gesagt.
Wer kennt diesen Beweis und kann ihn mir mal grob skizzieren (ohne jedes komplizierte Detail)?
Welches Gebiet der Mathematik ist gemeint?
Das ich den Beweis nicht komplett verstehen werde, ist mir klar, aber diese Bemerkung hat mich halt neugierig gemacht.
Viele Grüße
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chrissy
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 18.08.2003
Mitteilungen: 746
Wohnort: Trier
 | Beitrag No.1, eingetragen 2004-04-28
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Hi,
ich kann dir das aufschreiben wie wir es in der shcule gemacht haben war für mich damals nciht gut nachvollziehbar es geth mit einer homogenen differentialgleichung.
also grob skizzier lief das so :
Aufladestrom:
I(t)= Q'(t)
spannungsabfall:
am widerstand: U_R(t)=RQ'(t)
am Kondensator: U_C(t)=U_G-U_R(t)
Kondensatorentladung
Q(t)=C*U_c(t)
=>CU_G-Q(t)=RC*Q'(t)
damit konnten wir dann anfangen die sachen herzuleiten:
U_G ist null biem entladen somit fällt das aus der lgeihcung raus.
Man hat dann eine homogene differentialgleichung mit der man dann rausbekommt wie die spannung zu Beginn der Entladung ist und schließlich mit nohcmaligem ablieten I(t) erhält
I(t)=-U_o/R exp(-1/RC *t)
wenn du alles genau haben möchtest kein problem:-)
mfg
Chrissy
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Eckard
Senior 
Dabei seit: 14.10.2002
Mitteilungen: 6828
Wohnort: Magdeburg
 | Beitrag No.2, eingetragen 2004-04-28
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Hi Gonzbert,
schön, dass du neugierig bleibst! Nur wer neugierig bleibt, gelangt zu neuen Ufern.
Die Mathematik, die du noch nicht kennst (kennen sollst?), sind Differentialgleichungen (DGLen), dafür haben wir hier auch ein extra Unterforum. Ok. Was passiert hier?
Du hast einen einfachen Stromkreis, bestehend aus einem prall gefüllten Kondensator, der per "Schalter zu" über einen Widerstand entladen wird. Der Kondensator trage die Ladung Q und sei vermöge seiner Kapazität C mit der Spannung U geladen:
U=Q/C
Wenn der Schalter geschlossen wird, fließt ein Strom i=dq/dt
(zeitlich veränderliche Größen bekommen kleine Buchstaben)
und über dem Widerstand R fällt demzufolge die Spannung -i*R ab.
Also gilt:
u=q/C=-i|R=-R|dq/dt
oder umgestellt
dq/dt+1/(R|C)|q=0
Das ist eine einfache DGL für die Funktion q(t). Man nennt zur Abkürzung auch tau=R*C. Beachte, dass nur zur Zeit t=0 die Ladung q=Q ist. Das ist die sog. Anfangsbedingung.
Vielleicht morgen weiter?
Gruß Eckard
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Gonzbert
Senior
Dabei seit: 20.02.2004
Mitteilungen: 2176
| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2004-04-29
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Ich danke euch für die Antworten!
Ich versuche mal, das zu verstehen.
Also I=dQ/dt ist mir klar, das ist I=Q'(t), wie chrissy auch schrieb.
Bis Eckards Schritt U = -R dQ/dt ist auch klar. Wenn ich das allerdings zu
0=dQ/dt+1/(R*C) q umforme, teile ich doch einmal durch R, d.h. R != 0. Es ist doch der Widerstand gemeint, den wir in der Schaltung zusätzlich eingebaut haben. Was passiert wenn diesen weg lässt? (Wir haben das Experiment gemacht, aber ich habe das nicht ausprobiert)
Nunja, wie ich diese Differentialgleichung löse, weiß ich nicht.
Wir haben heute die Gleichung für die elektrische Energie hergeleitet, die erforderlich ist, um einen Kondensator aufzuladen. Dafür haben wir ja auch I=dQ/dt gebraucht. Das war ganz interessant.
Allerdings haben wir die Groß- und Kleinschreibung so verwendet wie ich hier, nicht so wie Eckard. Eigentlich alles nur eine Frage der Konvention, oder?
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Eckard
Senior
Dabei seit: 14.10.2002
Mitteilungen: 6828
Wohnort: Magdeburg
| Beitrag No.4, eingetragen 2004-04-30
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Hi Gonzbert,
Schreibweise ist immer Konventionssache. Was muss bloß wissen, was man meint. ;-)
R=0 geht nicht, da auch Leiter einen (zumindest kleinen) Widerstand haben. Wenn du eine andere Schaltung meinst, poste sie bitte.
Die DGL löst man mit einem Verfahren, das sich Trennung der Veränderlichen nennt. Schau mal dazu ins DGL-Forum, das ist voll davon.
Man setzt zur Abkürzung \t=R|C und nennt das Zeitkonstante.
dq/dt=-1/\t|q
=>dq/q=-1/\t|dt
=>int(1/q,q,Q,q)=-1/\t|int(,t,0,t)
Dabei ist Q=q(0) die Anfangsladung auf dem Kondensator.
=>ln(q/Q)=-t/\t
=>q(t)=Q|e^(-t/\t)
Soweit klar? Jetzt noch den Strom ausgerechnet:
i(t)=dq/dt=-Q/\t|e^(-t/\t)=I_0|e^(-t/\t)
Damit wäre deine Frage nach der Herleitung dieser Gleichung beantwortet.
Die Physik besteht zu einem großen Teil aus dem Aufstellen und Lösen von Differentialgleichungen, und das in fast allen Gebieten der Physik. Schön, nicht wahr?
Gruß Eckard
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Gonzbert
Senior
Dabei seit: 20.02.2004
Mitteilungen: 2176
| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2004-05-03
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Hi Eckard!
Danke für die Erklärung! Ich habe das so ganz gut nachvollziehen können, und verstehe nur an einer Stelle nicht, was du gemacht hast.
Und zwar, wie kommst du bei deinem 3. Schritt auf die Integralgrenzen? Ergeben die sich einfach aus dem physikalischen Hintergrund, oder gibt es da etwas anderes zu beachten?
Viele Grüße
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Eckard
Senior
Dabei seit: 14.10.2002
Mitteilungen: 6828
Wohnort: Magdeburg
| Beitrag No.6, eingetragen 2004-05-03
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Hi Gonzbert,
man kann die Integralgrenzen eigentlich völlig frei wählen. Man muss nur beachten, dass untere Grenze links zu unterer Grenze rechts gehört, ebenso gehören die beiden oberen zusammen. Du weißt aus der Integralrechnung, dass ein Integral mit konstanter unterer und variabler obere Grenze wieder eine Funktion ist, nämlich eine Funktion von der oberen Grenze. Da du eine Funktion als Lösung der DGL bekommen möchtest, machst du halt die obere Grenze variabel.
Die beiden zusammengehörigen unteren Grenzen bilden immer die sog. Anfangsbedingung.
Gruß Eckard
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Gonzbert
Senior
Dabei seit: 20.02.2004
Mitteilungen: 2176
| Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2004-05-03
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Achso, vielen Dank für die Erklärungen! 
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Gonzbert hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Gonzbert hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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