| |
| Autor |
 Nichtlineare gewöhnliche DGL 2. Ordnung |
|
Ehemaliges_Mitglied
 |  Themenstart: 2014-06-17
|
Praeskriptum: Homogenietät ergibt bei Nichtlinearität keinen Sinn, sorry.
Hallo Leute,
DGLen 1. Ordnung sowie lineare homogene DGLen 2. Ordnung ( vom Typ y''+ay'+by=0) kriege ich gelöst.
Jetzt stellt sich mir ein Problem beim Lösen einer nichtlinearen DGL 2. Ordnung. Es geht um folgende:
\
y''=-1/(2*y^2) , y(0)=1 , y'(0)=1
Wie geht man da vor? hab schon wie wild rumgeformt und den Ansatz y(t)=e^(lambda*t) ausprobiert - Das endete aber alles nicht gut.
Hab was gelesen vonwegen "Substituiere v=y'" aber das hilft mir bei derzeitigem Wissensstand leider auch nicht weiter.
Bin über jede Hilfestellung dankbar :)
Grüße,
-Armageddon
|
 Profil
|
Wally
Senior 
Dabei seit: 02.11.2004
Mitteilungen: 9773
Wohnort: Dortmund, Old Europe
 | Beitrag No.1, eingetragen 2014-06-17
|
Hallo Armageddon,
multipliziere beide Seiten mit y' - dann stehen da zwei Ableitungen.
Wally
P.S. bei "nichtlinear" ist "homogen" sinnfrei.
|
Profil
|
Ehemaliges_Mitglied
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2014-06-17
|
Hi,
danke schonmal soweit,
so richtig erleuchten tut mich:
\
y''*y'=(-1/2)*y^(-2)*y'
aber noch nicht :/
Bin aber auch ein Künstler darin Dinge zu übersehen wenn ich mich dran festnage :/
|
Profil
|
Wally
Senior
Dabei seit: 02.11.2004
Mitteilungen: 9773
Wohnort: Dortmund, Old Europe
| Beitrag No.3, eingetragen 2014-06-17
|
Na gut ...
die linke Seite ist die Ableitung von $\frac{1}{2} y'^2$, die rechte die von $\frac{-1}{2}\cdot\frac{1}{y}$.
Beim Integrieren bestimme die Integrationskonstante aus den Anfangswerten.
Wally
|
Profil
|
Ehemaliges_Mitglied
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2014-06-18
|
Oh ja, das ergibt Sinn.
dann kann ich beide Seiten zu
\
1/6*y'^3=-ln(y)/2+c_1
integrieren.
Rechne c_1 aus indem ich für y'(0)=1 und für y(0)=1 einsetze, wo dann 1/6 rauskommt.
Tja dann stehe ich da mit
\
1/6*y'^3+ln(y)/2-1/3=0
Jez wirds glaube ich unlustig, dennoch muss ich fragen: Und nun?
Habe damit ja immernoch keine schöne Lösung im Stil von
\
y(x)=c*e^(lambda*x)
und komme da auch nicht ganz ohne Schwierigkeiten hin, da ich nen ln(y) und nen y'^3 vorliegen habe :o
|
Profil
|
lula
Senior
Dabei seit: 17.12.2007
Mitteilungen: 11545
Wohnort: Sankt Augustin NRW
 | Beitrag No.5, eingetragen 2014-06-18
|
Hallo
was du machst ist falsch.
du hast
\
y''*y'=(-1/2)*y^(-2)*y'
jetzt integriere beide Seiten!
da kommt nicht raus, was du schriebst!
bis dann, lula
|
Profil
|
Ehemaliges_Mitglied
| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2014-06-18
|
Ja wenn ich direkt das Integral nehme davon kommt auch was anderes raus :)
So dann also:
\
integral(y''*y')dy=integral(-1/2*y^(-2)*y')dy =>
y*y'*y''+c_1=1/2*y'*y^(-1)+c_2
Gleiches schönes Problem wie vorher :/
Kann kein lineares Lösungsverfahren anwenden.
Sorry, brauche wohl noch mehr Unterstützung, werde eindeutig zu sehr in's kalte Wasser geschmissen von dem Prof :(
|
Profil
|
MontyPythagoras
Senior 
Dabei seit: 13.05.2014
Mitteilungen: 3414
Wohnort: Werne
 | Beitrag No.7, eingetragen 2014-06-18
|
Hallo Armageddon,
Wally hat die Lösung in Beitrag 3 schon vorgezeichnet.
Aus
\
y'' y'=-1/(2y^2) y'
wird nach einmaliger Integration:
\
1/2 y'^2=1/2 1/y +1/2 C
Leite beide Seiten einmal ab, dann wirst Du sehen, dass das stimmt. Ich habe 1/2 C gesetzt, um mit zwei zu multiplizieren und dann nicht den Faktor 1/2 die ganze Zeit mitschleppen zu müssen. C ist eine beliebige Integrationskonstante, die Du irgendwann aus den Anfangsbedingungen y(0)=1 und y'(0)=1 bestimmen musst.
Jetzt hast Du links aber y'^2. Du musst also erst einmal die Wurzel ziehen, um auf y' zu kommen:
\
y'=sqrt(1/y+C)
Kommst Du von hier allein weiter?
Ciao,
Thomas
|
Profil
| Folgende Antworten hat der Fragensteller vermutlich noch nicht gesehen.
Er/sie war noch nicht wieder auf dem Matheplaneten |
Toasten47
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 21.05.2013
Mitteilungen: 1775
| Beitrag No.8, eingetragen 2014-12-14
|
Hallo Thomas,
\quoteon(2014-06-18 11:13 - MontyPythagoras in Beitrag No. 7)
Jetzt hast Du links aber y'^2. Du musst also erst einmal die Wurzel ziehen, um auf y' zu kommen:
\
y'=sqrt(1/y+C)
\quoteoff
Das stimmt nicht, du hast lediglich
$\displaystyle y'=\pm\sqrt{\frac{1}{y}+C}$
Ich habe in einer vergleichbaren DGL, nämlich $y''=y-y^3$, auf
$\displaystyle y'=\pm\underbrace{\frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{1+C-(y^2-1)^2}}_{=:f(y)}$
umgeformt und möchte die globale Existenz der DGL zeigen. Ich komme an dieser Stelle jedoch nicht weiter, da die Nullstellen (Gleichgewichte) von $f$ ($y'=f(y)$) genau die Nullstellen des Nenners von
$\displaystyle f'(y)=\frac{2(y^2-1)y}{2f(y)}$
sind.
Wie muss man hier weiter vorgehen?
Gruß
Toasten
|
Profil
|
|
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2023 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die
Nutzungsbedingungen,
die Distanzierung,
die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]
|
Home / Seite ohne Frame
Wie unterstütze ich den Matheplaneten mit Geld?
