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Analysis » Integration » Herleitung der trigonometrischen Substitution
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Universität/Hochschule J Herleitung der trigonometrischen Substitution
butts
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  Themenstart: 2014-07-18

Hallo Planetarier ! In Hairer, Wanner Analysis in historischer Entwicklung, Kap II S. 135 bin ich auf folgendes gestoßen: http://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/9/10012_trigSubstitution.jpg Zunächst frage ich mich wie man die dort angegebenen Gleichungen (5.21) $\sin x= \dfrac{2u}{1+u^2}, \cos x = \dfrac{1-u^2}{1+u^2} , \tan= \dfrac{2u}{1-u^2} x)\, dx$ erhält ? Die Bildungsvorschrift der erwähnten Tripel ist mir bekannt $(u, (u^2-1)/2, (u^2+1)/2)$ Aber wie komme ich damit auf die Gleichungen (5.21) ? Ich betrachte die Skizze und dort den mit x bezeichneten Winkel. Nimmt man dann beispielsweise die Definition des sinus als Verhältnis von Gegenkathete zu Hypothenuse her. Ich sehe nicht wie ich dann die Ausdrücke erhalte, die in der Skizze an die dick nachgezeichneten Strecken im Enheitskreis der Skizze gezeichnet sind. $\dfrac{1-u^2}{1+u^2}$ steht ja an der Ankathete von x und $\dfrac{2u}{1+u^2}$ steht an die Gegenkathete geschrieben. Woher kommen diese Ausdrücke? DANKE ! mfg butts


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Ex_Senior
  Beitrag No.1, eingetragen 2014-07-18

\quoteon(2014-07-18 08:38 - butts im Themenstart) $\sin x= \dfrac{2u}{1+u^2}, \cos x = \dfrac{1-u^2}{1+u^2} , \tan= \dfrac{2u}{1-u^2} x)\, dx$ erhält ? \quoteoff Der Einleitungstext ('Sherlock Holmes in Babylon', 'pythagoräische Tripel') klingt interessant; entsprechende Rechenungen, rein davon ausgehend, sind es sicher auch. Die klassische Herleitung dieser Formeln setzt an bei der sogen. Generalsubstitution (trig. Substitution, Weierstrass-Substitution): $\displaystyle \boxed{\tan\left(\frac{x}{2}\right) = u}$. Der Rest ergibt sich dann über trigonometrische Identitäten (siehe im Link). Bemerkung: Rüge an dieses zitierte Buch: Der Übergang pythagoräische Tripel zu trigonometrische Substitution ist m.E. nicht offensichtlich bzw. zu wenig ausgeführt; auch handelt es sich um verschiedene Sachen - einmal Beziehung in natürlichen Zahlen, einmal Beziehung in reellen Zahlen. Klingt insgesamt so, als wolle jmd. Schaum schlagen.


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Redfrettchen
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  Beitrag No.2, eingetragen 2014-07-18

Hallo, von dem Text hab ich es auch nicht verstanden. Hier gibt es eine bessere Erklärung. cis, es sollte wohl gerade erklärt werden, wie man auf den Tangens-Halbe-Ansatz kommt. Grüße Thomas


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FriedrichLaher
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  Beitrag No.3, eingetragen 2014-07-18

Aus der Zeichnung, 2ter Quadrant, ist u = tan(x/2) leicht ersichtlich. Der Rest sind dann simple trigonometrische Umformungen.


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fru
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  Beitrag No.4, eingetragen 2014-07-18

Hallo butts! \ Aus der Ähnlichkeit der beiden rechtwinkeligen Dreiecke folgt \ll(1)s/(1+c)=u/1 und das ergibt zusammen mit dem trigonometrischen Pythagoras \ll(2)c^2+s^2=1 und der Definition \ll(3)t=s/c ein leicht zu lösendes Gleichungssystem für die drei durch c:=cos(x) s:=sin(x) t:=tan(x) definierten Unbekannten c, s und t. Man kann z.$B. ref(1) nach s auflösen und in ref(2) einsetzen, was eine Bestimmungsgleichung für c liefert. Liebe Grüße, Franz


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butts
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  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2014-07-18

Hallo ! Erstmal vielen Dank Euch Allen!! @ Franz also \ (1) s/(1+c)=u/1 (1a) s=u(1+c)=u+uc | in (2) einsetzen (2) c^2+s^2=1 (2a) c^2+(u+uc)^2=1 (2b) c^2+u^2+2u^2 c+u^2 c^2=1 |-u^2 (2c) c^2+2u^2 c+u^2 c^2=1-u^2 wie komme ich jetzt an c ? Also wie kann ich' s isolieren ? lG butts


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Ex_Senior
  Beitrag No.6, eingetragen 2014-07-18

\quoteon(2014-07-18 17:41 - butts in Beitrag No. 5) wie komme ich jetzt an c ? \quoteoff Wenn die Schritte stimmen, ist das jetzt eine QGL. Gar nicht kommst Du so auf die Beziehung u = tan(x/2). Dafür scheint mir die Anleitung #3 deutlich einfacher; allerdings sollten erstmal die Winkel (insb. x/2) im Bild verfiziert werden.


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butts
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  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2014-07-18

Hallo cis ! \quoteon(2014-07-18 18:34 - cis in Beitrag No. 6) ... allerdings sollten erstmal die Winkel (insb. x/2) im Bild verfiziert werden. \quoteoff ???? Was meinst Du mit Winkel verifizieren ?? Nimmt man das rechtwinklige Dreieck her, in welchem der Winkel x/2 eingezeichnet ist, dann ist die Beziehung tan(x/2)=u offensichtlich. Daß x/2 die Hälfte von x sein soll, ist für mich \ \stress nicht offensichtlich. Oder was meinst Du mit Deiner Bemerkung? lG butts


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Ex_Senior
  Beitrag No.8, eingetragen 2014-07-18

Naja, damit meine ich: Ist Dir klar, daß sich der fragliche Winkel im Bild, bei der Konstruktion, zu $x / 2 $ ergibt? Ansonsten sollte das kurz verifiziert werden. PS: Der fed-Fehler ist übrigens gut: \quoteon(2014-07-18 18:43 - butts in Beitrag No. 7) \ \stress nicht \quoteoff


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butts
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  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2014-07-18

Hallo cis, also ich befürchte nein ! \quoteon(2014-07-18 19:16 - cis in Beitrag No. 8) Ist Dir klar, daß sich der fragliche Winkel im Bild, bei der Konstruktion, zu $x / 2 $ ergibt? \quoteoff Es gibt doch zwei Winkel in der Skizze x und $x/2$. Warum der erstere das Doppelte des letzteren ist weiß ich nicht:-( Was ist denn überhaupt konstruiert worden ????? lG butts


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FriedrichLaher
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  Beitrag No.10, eingetragen 2014-07-18

der Außenwinkel eines (hier gleichschenkeligen) Dreiecks ist ...


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butts
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  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2014-07-18

Hallo ! \quoteon(2014-07-18 19:54 - FriedrichLaher in Beitrag No. 10) der Außenwinkel eines (hier gleichschenkeligen) Dreiecks ist ... \quoteoff also der Außenwinkel x ist gleich der Summe der beiden nichtanliegenden Innenwinkel $(x/2)$ JAAA ! So war das ! Stimmt's so oder hab ich mich vertan ? lg butts


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Ex_Senior
  Beitrag No.12, eingetragen 2014-07-18

\quoteon(2014-07-18 19:44 - butts in Beitrag No. 9) Was ist denn überhaupt konstruiert worden ????? \quoteoff Ja, das sollte doch außer Frage stehen - normalerweise hast Du bei der Einheitskreisdarstellung der Kreisfunktionen, das Dreieck am Winkel x; alles andere ist konstruiert.


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butts
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  Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2014-07-18

Hallo cis 1 aha das meinst Du also. Ja da gehe ich mit. Aber nun ist immernoch offen wie ich auf die Ausdrücke für sinx und cosx komme. tanx ergibt sich ja dann daraus. Daß gílt tan(x/2)=u sehe ich nun auch in der Skizze. Aber warum führen denn die von fru vorgeschlagenen Umformungen nicht zum Gewünschten? Ach übrigens "QGl" meint Quadratische Gleichung ?? Kann Gleichung (2c) aus Beitrag Nr. 5 nicht weiter zu c aufgelöst werden ? lG butts


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FriedrichLaher
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  Beitrag No.14, eingetragen 2014-07-18

natürlich kann nach c gelöst werden


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Ex_Senior
  Beitrag No.15, eingetragen 2014-07-18

\quoteon(2014-07-18 20:12 - butts in Beitrag No. 13) Aber nun ist immernoch offen wie ich auf die Ausdrücke für sinx und cosx komme. \quoteoff Das folgt, wie in #1 und #3 erwähnt, aus trigonometrischen Beziehungen; auch wurde dafür ein Link angegeben. [Die Antwort wurde nach Beitrag No.13 begonnen.]


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butts
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  Beitrag No.16, vom Themenstarter, eingetragen 2014-07-18

Hallo cis ! \quoteon(2014-07-18 20:19 - cis in Beitrag No. 15) \quoteon(2014-07-18 20:12 - butts in Beitrag No. 13) Aber nun ist immernoch offen wie ich auf die Ausdrücke für sinx und cosx komme. \quoteoff Das folgt, wie in #1 und #3 erwähnt, aus trigonometrischen Beziehungen; auch wurde dafür ein Link angegeben. \quoteoff nochmal meine Frage: \quoteon(2014-07-18 20:12 - butts in Beitrag No. 13) Kann Gleichung (2c) aus Beitrag Nr. 5 nicht weiter zu c aufgelöst werden ? \quoteoff Den Link habe ich gesehen. Es gibt sicher mehr als eine Möglichkeit. Stimmt Frus Ansatz denn nicht? Komme ich so nicht zum Ziel? lG butts


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fru
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  Beitrag No.17, eingetragen 2014-07-18

\quoteon(2014-07-18 17:41 - butts in Beitrag No. 5) \ (2c) c^2+2u^2 c+u^2 c^2=1-u^2 wie komme ich jetzt an c ? Also wie kann ich' s isolieren ? \quoteoff Das ist eigentlich Schulstoff der Mittelstufe, Stichwort "quadratische Ergänzung": \ (1+u^2)*c^2+2*u^2*c=1-u^2 $ $ $ \|*(1+u^2) ((1+u^2)*c)^2+2*(1+u^2)*c*u^2=1-u^4 $ $ $ \|+(u^2)^2 ((1+u^2)*c+u^2)^2=1 [Die Antwort wurde nach Beitrag No.13 begonnen.]


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butts
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  Beitrag No.18, vom Themenstarter, eingetragen 2014-07-18

Hallo ! \quoteon(2014-07-18 20:50 - fru in Beitrag No. 17) Das ist eigentlich Schulstoff der Mittelstufe, Stichwort "quadratische Ergänzung": \ (1+u^2)*c^2+2*u^2*c=1-u^2 $ $ $ \|*(1+u^2) ((1+u^2)*c)^2+2*(1+u^2)*c*u^2=1-u^4 $ $ $ \|+(u^2)^2 ((1+u^2)*c+u^2)^2=1 \quoteoff \ (3)(1+u^2)*c+u^2 =\pm 1 Bei Berücksichtigung lediglich der positiven Lösung gibt das: (4)(1+u^2)*c+u^2 = 1 |-u^2 (5)(1+u^2)*c = 1-u^2 |: (1+u^2) c=(1-u^2)/(1+u^2) . . gut damit wäre der Ausdruck für den cosinus gefunden. DANKE ! Was ist denn mit der negativen Lösunfg, die sich in Gleichung (3) ergab und die ich nun noch nicht berücksichtigt habe. Kann man die so einfach vernachlässigen ? Könntest Du mir für den sinus nochmal den Weg weisen ? DANKE ! lG butts


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fru
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  Beitrag No.19, eingetragen 2014-07-18

\quoteon(2014-07-18 21:24 - butts in Beitrag No. 18) Was ist denn mit der negativen Lösunfg, die sich in Gleichung (3) ergab und die ich nun noch nicht berücksichtigt habe. Kann man die so einfach vernachlässigen ? \quoteoff Nein, nicht "so einfach". Aber: \ (1+u^2)*c+u^2=-1 ist offenbar gleichwertig mit (1+u^2)*(1+c)=0, also \(wegen u^2>=0=>1+u^2>=1>0 => 1+u^2!=0) auch mit c=-1. Dieser Wert war aber von Anfang an ausgeschlossen, weil sonst der Term s\/(1+c) in Gleichung ref(1) gar nicht definiert wäre. Überhaupt gilt unsere Herleitung nur für positives c, weil wir nur darauf unseren Ansatz mit der Ähnlichkeit der Dreiecke gegründet haben. Nachträglich sehen wir aber leicht, daß wir den Fall c=-1 gar nicht zu berücksichtigen brauchen, weil er offenbar mit x=\p, also x\/2=\p\/2 zusammenfällt, und die Substitution u=tan(x\/2) \(um die es letztlich ja geht\!) dort gar nicht zulässig ist, weil tan(x\/2) an der Stelle x=\p nicht definiert ist. \quoteon(2014-07-18 21:24 - butts in Beitrag No. 18) Könntest Du mir für den sinus nochmal den Weg weisen ? \quoteoff s ergibt sich aus c durch Einsetzen in die Substitutionsgleichung (1).


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Ex_Senior
  Beitrag No.20, eingetragen 2014-07-18

\quoteon(2014-07-18 20:26 - butts in Beitrag No. 16) Hallo cis ! .... nochmal meine Frage: \quoteon(2014-07-18 20:12 - butts in Beitrag No. 13) Kann Gleichung (2c) aus Beitrag Nr. 5 nicht weiter zu c aufgelöst werden ? \quoteoff \quoteoff Wie schon in einem Beitrag erwähnt, liegt eine QGL (= 'Quadratische Gleichung') vor. Allgemeiner hätte ich dazu gesagt, das mußt Du schon mit fru klären, der diesen Tip gab - wie ja dann auch noch geschehen. Ansonsten laufen hier zwei Wege parallel. M.E. lohnt es sich eher, den den 'Weg über die Skizze' (#3) zu verfolgen und den Inhalt des Links #1 durchzuarbeiten, dann hat direkt auch die Formel u = tan(x/2); und diese sogen 'Generalsubstitution' kommt, zusammen mit den restlichen Formeln für sin(x), cos(x) und dx, sehr häufig vor. [Die Antwort wurde nach Beitrag No.18 begonnen.]


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butts
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  Beitrag No.21, vom Themenstarter, eingetragen 2014-07-18

Hallo ! \quoteon(2014-07-18 21:41 - fru in Beitrag No. 19) s ergbit sich aus c durch Einsetzen in die Substitutionsgleichung (1). \quoteoff \ mit s/(1+c)=u und dem Erhaltenen: c=(1-u^2)/(1+u^2) dann (6) s/(1+(1-u^2)/(1+u^2))=u (7) s/((1+u^2+1-u^2)/(1+u^2))=u (8) (s(1+u^2))/(2) = u (9) s=(2u)/(1+u^2) und damit ergibt sich dann auch t=(2u)/(1-u^2) Danke fru ! \quoteon(2014-07-18 21:46 - cis in Beitrag No. 20) M.E. lohnt es sich eher, den den 'Weg über die Skizze' (#3) zu verfolgen und den Inhalt des Links #1 durchzuarbeiten, dann hat direkt auch die Formel u = tan(x/2); und diese sogen 'Generalsubstitution' kommt, zusammen mit den restlichen Formeln für sin(x), cos(x) und dx, sehr häufig vor. [Die Antwort wurde nach Beitrag No.18 begonnen.] \quoteoff @cis Ich weiß nicht was Du mit: 'Weg über die Skiizze' (#3) meinst ?? Wenn sich das auf Beitrag Nr. 3 dieses threads bezieht, dann ist das der Beitrag von FriedrichLaher und der enthält doch keine Skizze ! Der in Beitrag Nr. 1 enthaltene Link führt zu einem Wikipedia-Eintrag. Also wenn ich hier im Forum eine Frage stelle und diese läßt sich auch direkt im Forum beantworten dann finde ich persönlich das besser als einen Link. Der Link enthält dann wieder einen Link( so ist es auch bei dm besagten Link in Beitrag Nr.1), und der auch wieder einen und so fort. Für andere Ratsuchende im Forum ist es doch besser den kompletten Lösungsweg hier lediglich durch herunterscrollen nachlesen zu können. DANKE an ALLE ! lG butts


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Ex_Senior
  Beitrag No.22, eingetragen 2014-07-18

\quoteon(2014-07-18 22:25 - butts in Beitrag No. 21) @cis Ich weiß nicht was Du mit: 'Weg über die Skiizze' (#3) meinst ?? .... \quoteoff Ähm, jein FriedrichLaher hat Dir in #3 keine Skizze angegeben (der MP ist halt leider immer noch kein Service-Unternehmen), aber er hat Dir dort (und in weiteren Beiträgen) gesagt, wie mit der Skizze #0 umzugehen ist. Beim Rest hast Du vollkommen Recht: ·Du kannst also eine Skizze erstellen - e i n Beispiel, wie man derartige Graphen hier reinstellen kann, findest Du hier hier. Dabei kannst Du die angesprochene Winkelproblematik, etwa durch Einzeichnen entsprechender Hilfswinkel klären. ·Dazu kannst Du dann die Rechnung des 'Links' intern machen; erfahrungsgemäß ergibt sich bei sowas, also eigener Zuarbeit, dann eine bessere Herleitung. Dann hast Du und andere für diesen Weg ein geschlossenes Ergebnis hier gespeichert, was, wie Du schon sagst, besser ist, als sich durch Links durchzuklicken.


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fru
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  Beitrag No.23, eingetragen 2014-07-18

\quoteon(2014-07-18 12:46 - fru in Beitrag No. 4) \ \ll(1)s/(1+c)=u/1 \ll(2)c^2+s^2=1 \ll(3)t=s/c [...] Man kann z.$B. ref(1) nach s auflösen und in ref(2) einsetzen, was eine Bestimmungsgleichung für c liefert. \quoteoff \ Etwas einfacher gestaltet sich die Rechnung übrigens, wenn man stattdessen ref(2) in der Form \ll(2')1-c^2=s^2 schreibt. Dividiert man nun ref(2') durch s(1\+c) und addiert ref(1), folgt leicht \ll(2'')c=1-us, was, in ref(2) eingesetzt, nach einfacher Umstellung s((1+u^2)*s-2u)=0 ergibt. Alternativ dazu kann man ref(2'') auch in ref(1) substituieren, um c zu elimieren. Das ergibt sofort s/(1+(1-us))=u $ $ $ \|*(2-us) s=2u-u^2\.s usw.


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butts
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  Beitrag No.24, vom Themenstarter, eingetragen 2014-07-19

Hallo und guten Morgen ! Danke cis und fru daß ihr nochmal geschaut und nochmal geantwortet habt. Ich wünsche Euch und allen Planetariern ein schattiges Plätzchen an diesen heißen Tagen ! lG butts


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Ex_Senior
  Beitrag No.25, eingetragen 2014-07-19

Da das anscheinend frühstens als Kundendienst akzeptiert wird... $\hline$ Generalsubstitution $ % 1 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \def\scala{2.0} \begin{tikzpicture}[>=latex, font=\footnotesize, scale=\scala] %Koordinaten \coordinate (O) at (0,0); \coordinate (L) at ($({cos(50)},{0})$); \coordinate (P) at ($({cos(50)},{sin(50)})$); \coordinate (Q) at (-1,0); \coordinate (U) at ($({0},{tan(50/2)})$); \coordinate (U1) at (-0.5,0.5); \coordinate (U2) at ($({0},{tan(50/2)/2})$); \coordinate (T) at ($({1},{tan(50)})$); \coordinate (F) at (1,0); %Einheitskreisbogen \draw[very thin] ([shift=(-55:1)]O) arc (-55:225:1); %Bogen mit Zentrum (0,0) %Strecken %Koordinatensystem: \draw[thin, ->] (-1.25,0) -- (1.25,0) node[]{$$}; \draw[thin, ->] (0,-1.0) -- (0,1.25) node[]{$$}; \draw[] (1,2pt/\scala) -- (1,-2pt/\scala) node[right=5pt, below]{$1$}; \draw[] (-1,2pt/\scala) -- (-1,-2pt/\scala) node[left=7.5pt, below]{$-1$}; \draw[] (2pt/\scala,1) -- (-2pt/\scala,1) node[left=5pt, above]{$1$}; %Radius \draw[] (O) -- (P) node[midway, below, sloped]{$1$}; %Hilfslinie %\draw[] (Q) -- (P) node[]{$$}; %tan x/2 %\draw[very thick] (O) -- (U) node[midway, right, yshift=7.5pt, xshift=-2.5pt]{$\mathbf{u}$}; %\draw[very thin, shorten >=2.0pt, shorten <=4.5pt] (U1)--([yshift=2.5pt]U2) node[above=-6pt, pos=0, xshift=2.5pt]{$u = \tan\left(\frac{x}{2}\right)$}; %cos \draw[very thick] (O) -- (L) node[midway, below, xshift=7.5pt]{$\cos(x)$}; %sin \draw[very thick] (P) -- (L) node[fill=white!99!black, align=left, midway, right=-3pt, yshift=4.5pt]{$\sin(x)$}; \draw[very thick] (P) -- (L); %tan: %\draw[very thick] (T) -- (F) node[midway, right]{$\tan(x) = \frac{2u}{1-u^2}$}; %\draw[densely dashed,shorten >= -10pt] (P) -- (T) node[]{$$}; %Winkel \draw[very thin] ([shift=(0:0.25)]O) arc (0:50:0.25) node[left=-2pt, below=2pt]{$x$}; %\draw[very thin] ([shift=(0:0.5)]Q) arc (0:25:0.5) node[xshift=-0.4cm, yshift=-0.35cm]{$x/2$}; %\draw[very thin] ([shift=(205:0.4)]P) arc (205:230:0.4) node[xshift=0.15cm, yshift=0.4cm]{$\varrho$}; %\draw[<->, very thin] ([shift=(50:0.25)]O) arc (50:180:0.25) node[xshift=0.0cm, yshift=0.5cm]{$\chi$}; \draw[very thin] ([shift=(90:0.15)]L) arc (90:180:0.15) node[xshift=0.15cm, yshift=0.15cm]{\Large$\cdot$}; %Punkte \draw[] plot[mark=*, mark size=1.5pt/\scala, mark options={fill=white}] coordinates{(O)} node[left=5pt, below]{$O$}; \draw[] plot[mark=*, mark size=1.5pt/\scala, mark options={fill=white}] coordinates{(L)} node[left]{$$}; \draw[] plot[mark=*, mark size=1.5pt/\scala, mark options={fill=white}] coordinates{(P)} node[above]{$P$}; %\draw[] plot[mark=*, mark size=1.5pt/\scala, mark options={fill=white}] coordinates{(Q)} node[above=5pt, left]{$Q$}; %\draw[] plot[mark=*, mark size=1.5pt/\scala, mark options={fill=white}] coordinates{(U)} node[below=5pt, right]{$$}; %\draw[] plot[mark=*, mark size=1.5pt/\scala, mark options={fill=white}] coordinates{(T)} node[below=5pt, right]{$$}; %\draw[] plot[mark=*, mark size=1.5pt/\scala, mark options={fill=white}] coordinates{(F)} node[below=5pt, right]{$$}; \end{tikzpicture} % 1 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% $ ·Ergänzt man die Strecke $PQ$ so wie im Bild, $ % 2 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \def\scala{2.5} \begin{tikzpicture}[>=latex, font=\footnotesize, scale=\scala] %Koordinaten \coordinate (O) at (0,0); \coordinate (L) at ($({cos(50)},{0})$); \coordinate (P) at ($({cos(50)},{sin(50)})$); \coordinate (Q) at (-1,0); \coordinate (U) at ($({0},{tan(50/2)})$); \coordinate (U1) at (-0.5,0.5); \coordinate (U2) at ($({0},{tan(50/2)/2})$); \coordinate (T) at ($({1},{tan(50)})$); \coordinate (F) at (1,0); %Einheitskreisbogen \draw[very thin] ([shift=(-55:1)]O) arc (-55:225:1); %Bogen mit Zentrum (0,0) %Strecken %Koordinatensystem: \draw[thin, ->] (-1.25,0) -- (1.25,0) node[]{$$}; \draw[thin, ->] (0,-1.0) -- (0,1.25) node[]{$$}; \draw[] (1,2pt/\scala) -- (1,-2pt/\scala) node[right=5pt, below]{$1$}; \draw[] (-1,2pt/\scala) -- (-1,-2pt/\scala) node[left=7.5pt, below]{$-1$}; \draw[] (2pt/\scala,1) -- (-2pt/\scala,1) node[left=5pt, above]{$1$}; %Radius \draw[] (O) -- (P) node[midway, below, sloped]{$1$}; %Hilfslinie \draw[] (Q) -- (P) node[]{$$}; %tan x/2 %\draw[very thick] (O) -- (U) node[midway, right, yshift=7.5pt, xshift=-2.5pt]{$\mathbf{u}$}; %\draw[very thin, shorten >=2.0pt, shorten <=4.5pt] (U1)--([yshift=2.5pt]U2) node[above=-6pt, pos=0, xshift=2.5pt]{$u = \tan\left(\frac{x}{2}\right)$}; %cos \draw[very thick] (O) -- (L) node[midway, below, xshift=7.5pt]{$\cos(x)$}; %sin \draw[very thick] (P) -- (L) node[fill=white!99!black, align=left, midway, right=-3pt, yshift=4.5pt]{$\sin(x)$}; \draw[very thick] (P) -- (L); %tan: %\draw[very thick] (T) -- (F) node[midway, right]{$\tan(x) = \frac{2u}{1-u^2}$}; %\draw[densely dashed,shorten >= -10pt] (P) -- (T) node[]{$$}; %Winkel \draw[very thin] ([shift=(0:0.25)]O) arc (0:50:0.25) node[left=-2pt, below=2pt]{$x$}; \draw[very thin, red] ([shift=(0:0.5)]Q) arc (0:25:0.5) node[xshift=-0.4cm, yshift=-0.35cm]{$\varrho$}; \draw[very thin, red] ([shift=(205:0.4)]P) arc (205:230:0.4) node[xshift=0.15cm, yshift=0.4cm]{$\varrho$}; \draw[<->, very thin, red] ([shift=(50:0.25)]O) arc (50:180:0.25) node[xshift=0.0cm, yshift=0.5cm]{$\chi$}; \draw[very thin] ([shift=(90:0.15)]L) arc (90:180:0.15) node[xshift=0.25cm, yshift=0.15cm]{\Large$\cdot$}; %Punkte \draw[] plot[mark=*, mark size=1.5pt/\scala, mark options={fill=white}] coordinates{(O)} node[left=5pt, below]{$O$}; \draw[] plot[mark=*, mark size=1.5pt/\scala, mark options={fill=white}] coordinates{(L)} node[right=5pt, below]{$L$}; \draw[] plot[mark=*, mark size=1.5pt/\scala, mark options={fill=white}] coordinates{(P)} node[above]{$P$}; \draw[] plot[mark=*, mark size=1.5pt/\scala, mark options={fill=white}] coordinates{(Q)} node[above=5pt, left]{$Q$}; %\draw[] plot[mark=*, mark size=1.5pt/\scala, mark options={fill=white}] coordinates{(U)} node[below=5pt, right]{$$}; %\draw[] plot[mark=*, mark size=1.5pt/\scala, mark options={fill=white}] coordinates{(T)} node[below=5pt, right]{$$}; %\draw[] plot[mark=*, mark size=1.5pt/\scala, mark options={fill=white}] coordinates{(F)} node[below=5pt, right]{$$}; \end{tikzpicture} % 2 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% $ wird für den Winkel $\chi$ im gleichschenkligen Dreieck $OPQ$ (1) $\chi = 180° - 2\varrho$ ("Winkelsumme im Dreieck") (2) $\chi = 90° + (90° - x)$ (Da der Außenwinkel $\chi$ des Winkels $x$ gleich der Summe der beiden nichtanliegenden Innenwinkel im Dreieck $OLP$ ist, "Außenwinkelsatz") Entsprechend ergibt sich für den Winkel $\varrho = \dfrac{x}{2}$. · Den Tangens dieses Winkels findet man als Strecke $u$ im Bild $ % 3 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \def\scala{2.5} \begin{tikzpicture}[>=latex, font=\footnotesize, scale=\scala] %Koordinaten \coordinate (O) at (0,0); \coordinate (L) at ($({cos(50)},{0})$); \coordinate (P) at ($({cos(50)},{sin(50)})$); \coordinate (Q) at (-1,0); \coordinate (U) at ($({0},{tan(50/2)})$); \coordinate (U1) at (-0.5,0.5); \coordinate (U2) at ($({0},{tan(50/2)/2})$); \coordinate (T) at ($({1},{tan(50)})$); \coordinate (F) at (1,0); %Einheitskreisbogen \draw[very thin] ([shift=(-55:1)]O) arc (-55:225:1); %Bogen mit Zentrum (0,0) %Strecken %Koordinatensystem: \draw[thin, ->] (-1.25,0) -- (1.25,0) node[]{$$}; \draw[thin, ->] (0,-1.0) -- (0,1.25) node[]{$$}; \draw[] (1,2pt/\scala) -- (1,-2pt/\scala) node[right=5pt, below]{$1$}; \draw[] (-1,2pt/\scala) -- (-1,-2pt/\scala) node[left=7.5pt, below]{$-1$}; \draw[] (2pt/\scala,1) -- (-2pt/\scala,1) node[left=5pt, above]{$1$}; %Radius \draw[] (O) -- (P) node[midway, below, sloped]{$1$}; %Hilfslinie \draw[] (Q) -- (P) node[]{$$}; %tan x/2 \draw[very thick] (O) -- (U) node[midway, right, yshift=7.5pt, xshift=-2.5pt]{$\mathbf{u}$}; \draw[very thin, shorten >=2.0pt, shorten <=4.5pt] (U1)--([yshift=2.5pt]U2) node[above=-6pt, pos=0, xshift=2.5pt]{$u = \tan\left(\frac{x}{2}\right)$}; %cos \draw[very thick] (O) -- (L) node[midway, below, xshift=7.5pt]{$\cos(x)$}; %sin \draw[very thick] (P) -- (L) node[fill=white!99!black, align=left, midway, right=-3pt, yshift=4.5pt]{$\sin(x)$}; \draw[very thick] (P) -- (L); %tan: %\draw[very thick] (T) -- (F) node[midway, right]{$\tan(x) = \frac{2u}{1-u^2}$}; %\draw[densely dashed,shorten >= -10pt] (P) -- (T) node[]{$$}; %Winkel \draw[very thin] ([shift=(0:0.25)]O) arc (0:50:0.25) node[left=-2pt, below=2pt]{$x$}; \draw[very thin] ([shift=(0:0.5)]Q) arc (0:25:0.5) node[xshift=-0.4cm, yshift=-0.35cm]{$x/2$}; %\draw[very thin] ([shift=(205:0.4)]P) arc (205:230:0.4) node[xshift=0.15cm, yshift=0.4cm]{$\varrho$}; %\draw[<->, very thin] ([shift=(50:0.25)]O) arc (50:180:0.25) node[xshift=0.0cm, yshift=0.5cm]{$\chi$}; \draw[very thin] ([shift=(90:0.15)]L) arc (90:180:0.15) node[xshift=0.25cm, yshift=0.15cm]{\Large$\cdot$}; %Punkte \draw[] plot[mark=*, mark size=1.5pt/\scala, mark options={fill=white}] coordinates{(O)} node[left=5pt, below]{$O$}; \draw[] plot[mark=*, mark size=1.5pt/\scala, mark options={fill=white}] coordinates{(L)} node[left]{$$}; \draw[] plot[mark=*, mark size=1.5pt/\scala, mark options={fill=white}] coordinates{(P)} node[above]{$P$}; \draw[] plot[mark=*, mark size=1.5pt/\scala, mark options={fill=white}] coordinates{(Q)} node[above=5pt, left]{$Q$}; \draw[] plot[mark=*, mark size=1.5pt/\scala, mark options={fill=white}] coordinates{(U)} node[below=5pt, right]{$$}; %\draw[] plot[mark=*, mark size=1.5pt/\scala, mark options={fill=white}] coordinates{(T)} node[below=5pt, right]{$$}; %\draw[] plot[mark=*, mark size=1.5pt/\scala, mark options={fill=white}] coordinates{(F)} node[below=5pt, right]{$$}; \end{tikzpicture} % 3 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% $ also $u = \tan\left(\dfrac{x}{2}\right)$. ·Damit wird (i) $u = \tan\left(\dfrac{x}{2}\right) = \dfrac{\sin\left(\dfrac{x}{2}\right)}{\cos\left(\dfrac{x}{2}\right)} = u \Rightarrow u^2 \cdot \cos^2\left(\dfrac{x}{2}\right) = 1-\cos^2\left(\dfrac{x}{2}\right) \Rightarrow \cos^2\left(\dfrac{x}{2}\right) = \dfrac{1}{1+u^2} $ (ii) $ \sin(x) = 2\sin\left(\dfrac{x}{2}\right)\cos\left(\dfrac{x}{2}\right) = 2\tan\left(\dfrac{x}{2}\right) \cdot \cos^2\left(\dfrac{x}{2}\right) = 2u \cdot \cos^2\left(\dfrac{x}{2}\right) = \dfrac{2u}{1+u^2} $ Die Formel $\sin(x) = 2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)$ folgt dabei direkt aus dem Additionstheorem $ \sin (\alpha + \beta) = \sin(\alpha) \; \cos(\beta) + \cos(\alpha) \; \sin(\beta) $. (iii) $ \cos(x) = \sqrt{1-\sin^2(x)} = \sqrt{1 - \dfrac{4u^2}{(1+u^2)^2} } = \dfrac{1-u^2}{1+u^2} $ (iv) $\tan(x) = \dfrac{\sin(x)}{\cos(x)} = \dfrac{\dfrac{2u}{1+u^2}}{\dfrac{1-u^2}{1+u^2}} = \dfrac{2u}{1-u^2}$ (v) Ferner wird mit $x = 2 \cdot \arctan(u)$ für die Ableitung $\dfrac{dx}{du} = 2 \cdot \dfrac{1}{1+u^2} $ ·Damit hat man also die Ergebnisse: $ \boxed{ \begin{array}{lll} u = \tan\left(\dfrac{x}{2}\right), & x = 2 \cdot \arctan(u) & \\ \\ \sin(x) = \dfrac{2u}{1+u^2}, & \cos(x) = \dfrac{1-u^2}{1+u^2}, & \tan(x) = \dfrac{2u}{1-u^2} \\ \\ dx = \dfrac{2}{1+u^2} ~ du \end{array}} $ $ % 4 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \def\scala{2.5} \begin{tikzpicture}[>=latex, font=\footnotesize, scale=\scala] %Koordinaten \coordinate (O) at (0,0); \coordinate (L) at ($({cos(50)},{0})$); \coordinate (P) at ($({cos(50)},{sin(50)})$); \coordinate (Q) at (-1,0); \coordinate (U) at ($({0},{tan(50/2)})$); \coordinate (U1) at (-0.5,0.5); \coordinate (U2) at ($({0},{tan(50/2)/2})$); \coordinate (T) at ($({1},{tan(50)})$); \coordinate (F) at (1,0); %Einheitskreisbogen \draw[very thin] ([shift=(-55:1)]O) arc (-55:225:1); %Bogen mit Zentrum (0,0) %Strecken %Koordinatensystem: \draw[thin, ->] (-1.25,0) -- (1.25,0) node[]{$$}; \draw[thin, ->] (0,-1.0) -- (0,1.25) node[]{$$}; \draw[] (1,2pt/\scala) -- (1,-2pt/\scala) node[right=5pt, below]{$1$}; \draw[] (-1,2pt/\scala) -- (-1,-2pt/\scala) node[left=7.5pt, below]{$-1$}; \draw[] (2pt/\scala,1) -- (-2pt/\scala,1) node[left=5pt, above]{$1$}; %Radius \draw[] (O) -- (P) node[midway, below, sloped]{$$}; %Hilfslinie \draw[] (Q) -- (P) node[]{$$}; %tan x/2 \draw[very thick] (O) -- (U) node[midway, right, yshift=7.5pt, xshift=-2.5pt]{$\mathbf{u}$}; \draw[very thin, shorten >=2.0pt, shorten <=4.5pt] (U1)--([yshift=2.5pt]U2) node[above=-6pt, pos=0, xshift=2.5pt]{$u = \tan\left(\frac{x}{2}\right)$}; %cos \draw[very thick] (O) -- (L) node[midway, below, xshift=7.5pt]{$\cos(x)=\frac{1-u^2}{1+u^2}$}; %sin \draw[very thick] (P) -- (L) node[fill=white!99!black, align=left, midway, right=-3pt, yshift=4.5pt]{$\sin(x)$ \\ \tiny$=\!\frac{2u}{1+u^2}$}; \draw[very thick] (P) -- (L); %tan: \draw[very thick] (T) -- (F) node[midway, right]{$\tan(x) = \frac{2u}{1-u^2}$}; \draw[densely dashed,shorten >= -10pt] (P) -- (T) node[]{$$}; %Winkel \draw[very thin] ([shift=(0:0.25)]O) arc (0:50:0.25) node[left=-2pt, below=2pt]{$x$}; \draw[very thin] ([shift=(0:0.5)]Q) arc (0:25:0.5) node[xshift=-0.4cm, yshift=-0.35cm]{$x/2$}; %\draw[very thin] ([shift=(205:0.4)]P) arc (205:230:0.4) node[xshift=0.15cm, yshift=0.4cm]{$\varrho$}; %\draw[<->, very thin] ([shift=(50:0.25)]O) arc (50:180:0.25) node[xshift=0.0cm, yshift=0.5cm]{$\chi$}; \draw[very thin] ([shift=(90:0.15)]L) arc (90:180:0.15) node[xshift=0.25cm, yshift=0.15cm]{\Large$\cdot$}; %Punkte \draw[] plot[mark=*, mark size=1.5pt/\scala, mark options={fill=white}] coordinates{(O)} node[left=5pt, below]{$$}; \draw[] plot[mark=*, mark size=1.5pt/\scala, mark options={fill=white}] coordinates{(L)} node[left]{$$}; \draw[] plot[mark=*, mark size=1.5pt/\scala, mark options={fill=white}] coordinates{(P)} node[above]{$$}; \draw[] plot[mark=*, mark size=1.5pt/\scala, mark options={fill=white}] coordinates{(Q)} node[above=5pt, left]{$$}; \draw[] plot[mark=*, mark size=1.5pt/\scala, mark options={fill=white}] coordinates{(U)} node[below=5pt, right]{$$}; \draw[] plot[mark=*, mark size=1.5pt/\scala, mark options={fill=white}] coordinates{(T)} node[below=5pt, right]{$$}; \draw[] plot[mark=*, mark size=1.5pt/\scala, mark options={fill=white}] coordinates{(F)} node[below=5pt, right]{$$}; \end{tikzpicture} % 4 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% $ [Die Antwort wurde nach Beitrag No.23 begonnen.]


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  Beitrag No.26, vom Themenstarter, eingetragen 2014-07-19

Hallo cis ! Danke für Deine sehr lange, ausführliche und durch Deine Abbildungen anschauliche Antwort. mit dem letzten Post von fru war ich schon ganz glücklich. Nun hast Du nochmal "nachgelegt" ;-) NOCHMAL DAANKEE ! lg butts


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  Beitrag No.27, eingetragen 2014-07-21

Das mit den pythagoräischen Tripeln (#0) ist wohl so gemeint: (1) Sind $X,Y,Z$ natürliche Zahlen, so ist $(X,Y,Z)$ ein pythagoreisches Tripel, wenn $X^2 + Y^2 = Z^2$, der Satz des Pythagoras, gilt. $\Rightarrow \dfrac{X^2}{Z^2} + \dfrac{Y^2}{Z^2} = 1$ (2) Setzt man $x = \dfrac{X}{Z}$ und $y = \dfrac{Y}{Z}$, kann $P(x,y)$ als Punkt auf dem Einheitskreis $x^2 + y^2 = 1$ interpretiert werden $ % 1 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \def\scala{2.0} \begin{tikzpicture}[>=latex, font=\footnotesize, scale=\scala] %Koordinaten \coordinate (O) at (0,0); \coordinate (L) at ($({cos(50)},{0})$); \coordinate (P) at ($({cos(50)},{sin(50)})$); \coordinate (Q) at (-1,0); \coordinate (U) at ($({0},{tan(50/2)})$); \coordinate (U1) at (-0.5,0.5); \coordinate (U2) at ($({0},{tan(50/2)/2})$); \coordinate (T) at ($({1},{tan(50)})$); \coordinate (F) at (1,0); %Einheitskreisbogen \draw[very thin] ([shift=(-55:1)]O) arc (-55:225:1); %Bogen mit Zentrum (0,0) %Strecken %Koordinatensystem: \draw[thin, ->] (-1.25,0) -- (1.25,0) node[]{$$}; \draw[thin, ->] (0,-1.0) -- (0,1.25) node[]{$$}; \draw[] (1,2pt/\scala) -- (1,-2pt/\scala) node[right=5pt, below]{$1$}; \draw[] (-1,2pt/\scala) -- (-1,-2pt/\scala) node[left=7.5pt, below]{$-1$}; \draw[] (2pt/\scala,1) -- (-2pt/\scala,1) node[left=5pt, above]{$1$}; %Radius \draw[] (O) -- (P) node[midway, below, sloped]{$1$}; %Hilfslinie %\draw[] (Q) -- (P) node[]{$$}; %tan x/2 %\draw[very thick] (O) -- (U) node[midway, right, yshift=7.5pt, xshift=-2.5pt]{$\mathbf{u}$}; %\draw[very thin, shorten >=2.0pt, shorten <=4.5pt] (U1)--([yshift=2.5pt]U2) node[above=-6pt, pos=0, xshift=2.5pt]{$u = \tan\left(\frac{x}{2}\right)$}; %cos \draw[very thick] (O) -- (L) node[midway, below, xshift=7.5pt]{$\cos(\varphi)$}; %sin \draw[very thick] (P) -- (L) node[fill=white!99!black, align=left, midway, right=-3pt, yshift=4.5pt]{$\sin(\varphi)$}; \draw[very thick] (P) -- (L); %tan: %\draw[very thick] (T) -- (F) node[midway, right]{$\tan(x) = \frac{2u}{1-u^2}$}; %\draw[densely dashed,shorten >= -10pt] (P) -- (T) node[]{$$}; %Winkel \draw[very thin] ([shift=(0:0.25)]O) arc (0:50:0.25) node[left=-2pt, below=2pt]{$\varphi$}; %\draw[very thin] ([shift=(0:0.5)]Q) arc (0:25:0.5) node[xshift=-0.4cm, yshift=-0.35cm]{$x/2$}; %\draw[very thin] ([shift=(205:0.4)]P) arc (205:230:0.4) node[xshift=0.15cm, yshift=0.4cm]{$\varrho$}; %\draw[<->, very thin] ([shift=(50:0.25)]O) arc (50:180:0.25) node[xshift=0.0cm, yshift=0.5cm]{$\chi$}; \draw[very thin] ([shift=(90:0.15)]L) arc (90:180:0.15) node[xshift=0.15cm, yshift=0.15cm]{\Large$\cdot$}; %Punkte \draw[] plot[mark=*, mark size=1.5pt/\scala, mark options={fill=white}] coordinates{(O)} node[left=5pt, below]{$O$}; \draw[] plot[mark=*, mark size=1.5pt/\scala, mark options={fill=white}] coordinates{(L)} node[left]{$$}; \draw[] plot[mark=*, mark size=1.5pt/\scala, mark options={fill=white}] coordinates{(P)} node[above, right]{$P(x,y)$}; %\draw[] plot[mark=*, mark size=1.5pt/\scala, mark options={fill=white}] coordinates{(Q)} node[above=5pt, left]{$Q$}; %\draw[] plot[mark=*, mark size=1.5pt/\scala, mark options={fill=white}] coordinates{(U)} node[below=5pt, right]{$$}; %\draw[] plot[mark=*, mark size=1.5pt/\scala, mark options={fill=white}] coordinates{(T)} node[below=5pt, right]{$$}; %\draw[] plot[mark=*, mark size=1.5pt/\scala, mark options={fill=white}] coordinates{(F)} node[below=5pt, right]{$$}; \end{tikzpicture} % 1 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% $ entsprechend auch $x = \cos(\varphi)$ und $y = \sin(\varphi)$. (3) Ergänzt man eine Hilfsgerade so wie im Bild $ % 2 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \def\scala{2.0} \begin{tikzpicture}[>=latex, font=\footnotesize, scale=\scala] %Koordinaten \coordinate (O) at (0,0); \coordinate (L) at ($({cos(50)},{0})$); \coordinate (P) at ($({cos(50)},{sin(50)})$); \coordinate (Q) at (-1,0); \coordinate (U) at ($({0},{tan(50/2)})$); \coordinate (U1) at (-0.5,0.5); \coordinate (U2) at ($({0},{tan(50/2)/2})$); \coordinate (T) at ($({1},{tan(50)})$); \coordinate (F) at (1,0); %Einheitskreisbogen \draw[very thin] ([shift=(-55:1)]O) arc (-55:225:1); %Bogen mit Zentrum (0,0) %Strecken %Koordinatensystem: \draw[thin, ->] (-1.25,0) -- (1.25,0) node[]{$$}; \draw[thin, ->] (0,-1.0) -- (0,1.25) node[]{$$}; \draw[] (1,2pt/\scala) -- (1,-2pt/\scala) node[right=5pt, below]{$1$}; \draw[] (-1,2pt/\scala) -- (-1,-2pt/\scala) node[left=7.5pt, below]{$-1$}; \draw[] (2pt/\scala,1) -- (-2pt/\scala,1) node[left=5pt, above]{$1$}; %Radius \draw[] (O) -- (P) node[midway, below, sloped]{$1$}; %Hilfslinie \draw[densely dashed, shorten <=-5ex, shorten >=-5ex,] (Q) -- (P) node[]{$$}; %tan x/2 %\draw[very thick] (O) -- (U) node[midway, right, yshift=7.5pt, xshift=-2.5pt]{$\mathbf{u}$}; %\draw[very thin, shorten >=2.0pt, shorten <=4.5pt] (U1)--([yshift=2.5pt]U2) node[above=-6pt, pos=0, xshift=2.5pt]{$u = \tan\left(\frac{x}{2}\right)$}; %cos \draw[very thick] (O) -- (L) node[midway, below, xshift=7.5pt]{$\cos(\varphi)$}; %sin \draw[very thick] (P) -- (L) node[fill=white!99!black, align=left, midway, right=-3pt, yshift=4.5pt]{$\sin(\varphi)$}; \draw[very thick] (P) -- (L); %tan: %\draw[very thick] (T) -- (F) node[midway, right]{$\tan(x) = \frac{2u}{1-u^2}$}; %\draw[densely dashed,shorten >= -10pt] (P) -- (T) node[]{$$}; %Winkel \draw[very thin] ([shift=(0:0.25)]O) arc (0:50:0.25) node[left=-2pt, below=2pt]{$\varphi$}; %\draw[very thin] ([shift=(0:0.5)]Q) arc (0:25:0.5) node[xshift=-0.4cm, yshift=-0.35cm]{$x/2$}; %\draw[very thin] ([shift=(205:0.4)]P) arc (205:230:0.4) node[xshift=0.15cm, yshift=0.4cm]{$\varrho$}; %\draw[<->, very thin] ([shift=(50:0.25)]O) arc (50:180:0.25) node[xshift=0.0cm, yshift=0.5cm]{$\chi$}; \draw[very thin] ([shift=(90:0.15)]L) arc (90:180:0.15) node[xshift=0.15cm, yshift=0.15cm]{\Large$\cdot$}; %Punkte \draw[] plot[mark=*, mark size=1.5pt/\scala, mark options={fill=white}] coordinates{(O)} node[left=5pt, below]{$O$}; \draw[] plot[mark=*, mark size=1.5pt/\scala, mark options={fill=white}] coordinates{(L)} node[left]{$$}; \draw[] plot[mark=*, mark size=1.5pt/\scala, mark options={fill=white}] coordinates{(P)} node[above, right]{$P(x,y)$}; \draw[] plot[mark=*, mark size=1.5pt/\scala, mark options={fill=white}] coordinates{(Q)} node[above=5pt, left]{$$}; %\draw[] plot[mark=*, mark size=1.5pt/\scala, mark options={fill=white}] coordinates{(U)} node[below=5pt, right]{$$}; %\draw[] plot[mark=*, mark size=1.5pt/\scala, mark options={fill=white}] coordinates{(T)} node[below=5pt, right]{$$}; %\draw[] plot[mark=*, mark size=1.5pt/\scala, mark options={fill=white}] coordinates{(F)} node[below=5pt, right]{$$}; \end{tikzpicture} % 2 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% $ findet man für den Wert ihrer Steigung: $u = \dfrac{y}{x+1}$. $\Rightarrow y = u (x+1) $. (4) Die Gleichung des Einheitskreises wird damit $1 = x^2 + u^2 (x + 1)^2$ $\Rightarrow 0 = (x+1)\left[(x-1) + u^2 (x+1)\right]$ $\Rightarrow $ $x = -1$ oder $(x-1) + u^2 (x+1) = 0 $ Also $x = \dfrac{1-u^2}{1+u^2}$ und $y = u (x +1) = u \left(\dfrac{1-u^2}{1+u^2} + 1\right) = \dfrac{2u}{1+u^2} = y$ Damit hat man also die Formeln für Sinus und Kosinus, auch ergibt sich direkt jene für den Tangens. Die Beziehung $u = \tan\left(\dfrac{\varphi}{2}\right)$ muß man dann nichtsdestoweniger wie in #25 herleiten. Das steht im Prinzip so auch in dem Buch #0; etwas ausführlicher wäre jetzt auch nicht verboten gewesen.


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  Beitrag No.28, vom Themenstarter, eingetragen 2014-07-24

Hallo ! . . cis also meine Frage das scheint ja wirklich Dein Thema zu sein, oder ? ;-) Danke nochmal für Deine Mühe! Sagmal bist Du der cis, der mir da kürzlich auf meine Frage im Forum TexWelt geantwortet hat? lG butts


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  Beitrag No.29, eingetragen 2014-07-24

\quoteon(2014-07-24 14:44 - butts in Beitrag No. 28) 1) cis also meine Frage das scheint ja wirklich Dein Thema zu sein, oder ? ;-) 2) Sagmal bist Du der cis, der mir da kürzlich auf meine Frage im Forum TexWelt geantwortet hat? \quoteoff 1) Och, es war halt an der Zeit, einmal wieder ein TikZ-Bild zu malen; und da hab ich eben irgendeinen Vorwand gebraucht. 2) Wenn Du der butts bist, der kürzlich im Forum TexWelt eine Frage gestellt hat, dann schon. ;-)


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butts
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  Beitrag No.30, vom Themenstarter, eingetragen 2014-07-24

Hallo ! cis - nun weiß ich auch wie Du die Abbildungen gemacht hast. lG butts


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Ex_Senior
  Beitrag No.31, eingetragen 2014-07-24

\quoteon(2014-07-24 17:41 - butts in Beitrag No. 30) cis - nun weiß ich auch wie Du die Abbildungen gemacht hast. \quoteoff Ja da gilt hier, auf dem MP: "Für den Code, klick' auf Quote".


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butts hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
butts hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.

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