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 DGL 2. Ordnung, Randwertproblem, nichtlinear, analytische Lösung |
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Kallisto
Neu 
Dabei seit: 15.09.2014
Mitteilungen: 2
 |  Themenstart: 2014-09-15
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Hallo,
ich habe eine DGL 2.Ordnung in folgender Form:
0 = b0*dk/dT*(dT/dx)^2 + b1*k(T)*d2T/dx2 - b2*(b3*T+1)*da/dT*dT/dx + b4;
b0, b1, b2, b3, b4 sind Konstanten
a, da/dT sowie k, dk/dT liegen als Polynom 4. Ordnung vor
Es handelt sich um eine nichtlineare DGL, bekannt sind nur die Randwerte T(x=0) = 0 und T(x=1) = 1.
Gesucht wird eine analytische Lösung, und genau das stellt mich vor ein Problem. Mit meinen Kenntnissen ist nicht möglich eine analytische Lösung zu erhalten. Die numerische Lösung in Matlab funktioniert einwandfrei, damit kann meine Aufgabe allerdings nicht gelöst werden.
Habt ihr eine Idee oder einen Ansatz zu Lösung meines Problems?
Vielen Dank,
Kallisto
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Wally
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 | Beitrag No.1, eingetragen 2014-09-15
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Hallo, Kallisto,
herzlich willkommen auf dem Matheplaneten!
Das sieht alles ein wenig verwirrend aus (und ich erwarte nicht, dass eine analytischen Lösung angegeben werden kann).
Gesucht ist $T(x)$, oder? Wenn man $a$ und $k$ nach $T$ ableiten kann, sind das dann Funktionen von $T$ ($a$ kommt auch gar nicht vor).
Das einzige, was mir einfällt, ist $T$ in eine Potenzreihe zu entwickeln, aber daraus den Wert für $x=1$ zu bestimmen, sieht ziemlich schwierig aus.
Wenn $b_0=b_1$ ist, sind die beiden ersten Terme gleich
$\frac{d}{dx} (b_0 k(T(x)) T'(x))$.
Wally
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MontyPythagoras
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 | Beitrag No.2, eingetragen 2014-09-15
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\quoteon(2014-09-15 13:57 - Wally in Beitrag No. 1)
Wenn $b_0=b_1$ ist, sind die beiden ersten Terme gleich
$\frac{d}{dx} (b_0 k(T(x)) T'(x))$.
\quoteoff
Sie sind nicht gleich, Wally. Ich vermute, Du meinst, wenn b1 gleich b0 ist, dann ergeben die ersten beiden Terme zusammengenommen den von Dir angegebenen Term, und das stimmt.
Die Schwierigkeit liegt hier darin, dass Du, Kallisto, Koeffizienten als Funktionen von T vorliegen hast, T aber eigentlich die gesuchte Funktion von x ist. Eventuell kann man aber den Spieß umdrehen. Benutzen wir den Strich als Symbol für die Ableitung nach T (!!), dann kann man wie folgt vorgehen:
$\displaystyle\frac{\text{d}^2T}{\text{d}x^2}=\frac{\text{d}}{\text{d}x}\left(\frac{\text{d}T}{\text{d}x}\right)=\frac{\text{d}T}{\text{d}x}\cdot\frac{\text{d}}{\text{d}T}\left(\frac{1}{x'}\right)=\frac{1}{x'}\cdot\frac{-x''}{x'^2}=-\frac{x''}{x'^3}$
Damit sieht Deine Gleichung so aus:
$\displaystyle0=b_0k'(T)\frac{1}{x'^2}-b_1k(T)\frac{x''}{x'^3}-b_2\left(b_3T+1\right)a'(T)\frac{1}{x'}+b_4$
Und jetzt noch mit x'^3 multiplizieren:
$\displaystyle0=b_0k'(T)x'-b_1k(T)x''-b_2\left(b_3T+1\right)a'(T)x'^2+b_4x'^3$
Das ist jetzt auch nicht einfach, aber wenigstens hast Du nun nur Funktionen von T vorliegen, wobei alle Koeffizienten Polynome sind. Am Ende ist es vielleicht möglich, x(T) analytisch zu berechnen. Und wenn man gaaanz viel Glück hat, die Umkehrfunktion T(x).
Ciao,
Thomas
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Wally
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Dabei seit: 02.11.2004
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| Beitrag No.3, eingetragen 2014-09-15
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Hallo, MontyPythagoras,
genau das meinte ich.
Immerhin ist das nach deiner Umfomung eine Dgl. erster Ordnung für $y=x'$.
Wally
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MontyPythagoras
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| Beitrag No.4, eingetragen 2014-09-15
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Hallo Wally,
ja, aber mein Gefühl sagt mir, dass es sich nicht um eine "konstruierte" DGL handelt, die lösbar ist, weil der Aufgabenerfinder es so wollte, sondern dass es sich um eine Aufgabe aus der Physik handelt, wo die Koeffizienten b und auch die Polynome a und k beliebig und zufällig sind. Dann ist es praktisch aussichtslos, nur die numerische Berechnung ist so eventuell etwas einfacher.
Ciao,
Thomas
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Wally
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Dabei seit: 02.11.2004
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| Beitrag No.5, eingetragen 2014-09-15
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Hallo Thomas,
da fühlen wir wohl mit den (mathematischen) Herzen im Gleichklang.
Wally
P.S. wie romantisch....
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MontyPythagoras
Senior
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| Beitrag No.6, eingetragen 2014-09-16
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Der Fragesteller lässt uns über die Natur der Gleichung offenbar im Unklaren.
Ich würde jetzt wahrscheinlich als nächstes eine Näherungslösung mittels Störungsrechnung versuchen, falls die Terme vor x'^2 und x'^3 verhältnismäßig klein sind. Dann vereinfacht sich das nämlich erst einmal zu
$\displaystyle b_0k'(T)x'-b_1k(T)x''=0$
$\displaystyle \frac{x''}{x'}=\frac{b_0}{b_1}\cdot\frac{k'}{k}$
$\displaystyle \ln x'=\frac{b_0}{b_1}\ln k+c_1$
$\displaystyle x'=c\cdot k(T)^{\frac{b_0}{b_1}}$
Spätestens hier hört es auf, Spaß zu machen, da nicht anzunehmen ist, dass b_0/b_1 eine ganze Zahl ist und daher aus x' kein x zu berechnen sein wird. Von der Erweiterung um den Störungsterm mit anschließender Berechnung der Umkehrfunktion ganz zu schweigen.
Ciao,
Thomas
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Kallisto
Neu 
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| Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2014-09-16
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Hallo,
vielen Dank erstmal für eure Antworten.
\quoteon(2014-09-15 13:57 - Wally in Beitrag No. 1)
Gesucht ist $T(x)$, oder?
\quoteoff
Genau so ist es. Es handelt sich um eine physikalisches Problem, bei dem T(x) ein Temperaturprofil ist, dass vom Weg x abhängig ist.
Die Polynome k(T) und a(T) sind Materialwerte, sie können positiv und negativ sein. Die Länge des Polynoms ist prinzipiell variabel, wobei 4. Ordnung erwünscht ist.
Die Ableitung dieser Polynome ist daher kein Problem, allerdings hilft mir das bei der Lösung der DGL auch nicht weiter.
b0...b4 sind dimensionslose Konstanten, aber keine ganzen Zahlen.
Einen Potenzreihenansatz habe ich schon versucht, allerdings gilt der afiak nur für AWA, ich habe jedoch eine Randwertaufgabe. Der Versuch das Gleichungssystem in Matlab zu lösen ist leider gescheitert.
Gruß
Kallisto
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MontyPythagoras
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| Beitrag No.8, eingetragen 2014-09-16
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\quoteon(2014-09-16 17:35 - Kallisto in Beitrag No. 7)
b0...b4 sind dimensionslose Konstanten, aber keine ganzen Zahlen.
Einen Potenzreihenansatz habe ich schon versucht, allerdings gilt der afiak nur für AWA, ich habe jedoch eine Randwertaufgabe.
\quoteoff
Ob b0 ODER b1 eine ganze Zahl ist, ist nicht entscheidend, sondern ob $\frac{b_0}{b_1}$ eine ganze Zahl ist. Aber auch das dürfte unwahrscheinlich sein, und selbst wenn es eine ganze Zahl wäre, geht die Chance trotzdem gegen null, dass die DGL analytisch lösbar ist.
Ciao,
Thomas
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