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 Dimension von Unterräumen |
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evelyne
Neu 
Dabei seit: 04.12.2001
Mitteilungen: 4
Wohnort: sachsen
 |  Themenstart: 2001-12-05
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Wie bestimme ich die Dimension von U1, U2, U1 Ç U2 und U1+U2?
U1:{x e Rn : x1+...xn =0}
U2:{x e Rn : x1-x2+x3-...+(-1)n-1 xn=0}
und ist Rn die direkte Summe von U1 und U2?
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 Profil
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matroid
Senior 
Dabei seit: 12.03.2001
Mitteilungen: 14610
Wohnort: Solingen
 | Beitrag No.1, eingetragen 2001-12-05
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U1:{x e Rn : x1+...xn =0}
hat dim = n-1.
Warum? Die Dimension ist sicher <= n.
Es ist leicht, einen Vektor aus IRn anzugeben, der nicht in U1 ist. Folglich ist dim echt < n.
Eine Basis für U1 sind die Vektoren
bi mit i = 1,...,n-1
bij = 1 für j=i
bij = -1 für j=i+1
und 0 sonst.
Beispiel: IR³:
(1, -1, 0 )
(0, 1, -1 )
Der n-te Vektor dieser Bauart ist
(-1, 0, 1 )
aber der ist die negative Summe der übrigen.
Du mußt noch anständig zeigen, daß die n-1 Vektoren bi linear unabhängig sind.
U2 geht vermutlich sehr ähnlich. Dimension von U2 dürft auch n-1 sein.
Die Summe von U1 und U2 ist der von der Vereinigung der Basen aufgespannte Vektorraum. In den zwei Basen sind 2n-2 Vektoren. Am leichtesten kommt man hier weiter, wenn man zur Basis von U1 irgendeinen Basisvektor von U2 hinzutut und zeigt, daß die n ausgewählten Vektoren linear unabhängig sind. Da es n Vektoren aus IRn sind, ist das dann schon eine Basis von IRn und darum hat U1+U2 die Dimension n.
Alternativ kannst Du auch zeigen, daß die kanonische Basis des IRn sich durch das Erzeugendensystem aus den 2n-2 Vektoren der beiden Basen darstellen läßt.
Der Durchschnitt ist nicht leer, beispielsweise ist (1,0,-1,0,...0) in U1 und in U2.
Da kannst Du auch wieder eine Basis suchen.
Ich tippe auf dim(U1gU2) = n-2.
Direkte Summe? Nein, dazu müßte der Durchschnitt von U1 und U2 der Nullvektorraum sein.
Anmerkung: IRn hat Dimension n, weil es in jedem Vektor n frei wählbare Koordinaten gibt. Durch eine weitere Bedingung - wie z.B. x1+x2+...+xn=0 geht ein Freiheitsgrad verloren. Man kann nur noch n-1 Koordinaten frei wählen und die letzte ist damit schon festgelegt (dim = n-2). Im Schnitt von U1 und U2 gelten zwei Bedingungen, man kann darum nur n-2 Koordinaten wählen und die beiden letzten sind dann schon entschieden.
Gruß
Matroid
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