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  Definition(en) der Fermienergie |
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MarkoBe
Ehemals Aktiv 
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 |  Themenstart: 2014-11-26
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Hallo lieber Matheplanet,
der Einleitung des Wikipediaartikels über Fermienergie entnehme ich, dass es zwei unterschiedliche Definitionen der Fermieenergie gibt.
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1.
"Sie [die Fermienergie] gibt die höchste Energie an, die ein Teilchen in einem Vielteilchensystem gleichartiger Fermionen \(sog. Fermi\-Gas) haben kann, wenn das System als Ganzes in seinem Grundzustand ist."
2.
"Führt man dem System Energie zu, dann bezeichnet die Fermi\-Energie diejenige Energie, bei der im thermodynamischen Gleichgewicht die Besetzungswahrscheinlichkeit gerade 1\/2 beträgt, siehe chemisches Potential \mu."
Also die Fermieenergie eines Teilchensystemes im Grundzustand hat eine andere Definition als die Fermienergie eines Systems, dem man Energie zuführt.
Muss nun immer aus dem Kontext entschieden werden um welche Fermienergie es sich handelt?
Liebe Grüße und vielen Dank schonmal,
MarkoBe
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Inari
Junior 
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| Beitrag No.1, eingetragen 2014-11-26
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[am besten alles streichen]
liebe Grüße
Inari
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Berufspenner
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 | Beitrag No.2, eingetragen 2014-11-26
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Moin
Im Halbleiter ist die Fermi-Energie sowohl von der Temperatur als auch von der Ladungsdichte abhängig. Die beiden zitierten Punkte schließen sich daher nicht gegenseitig aus. In einem Metall bei nahezu null Kelvin definiert die Energie des höchsten, besetzten Zustandes gerade das Fermi-Niveau. Dies entspricht Punkt 1. Im Halbleiter passt das nicht ganz, denn hier liegt das Fermi-Niveau im undotierten Fall in der Bandlücke, wo keine besetzbaren Zustände liegen. Daher ist hier der Weg über die Fermi-Verteilung sinnvoller.
[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]
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MarkoBe
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| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2014-11-26
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Die Definition nach 1. denke ich zu verstehen, damit auch deine Erklärung zur Fermienergie in Metallen.
Wie kann beim Halbleiter die Fermienergie in der Bandlücke liegen wenn Folgendes gilt?
"Alle Zustände mit Energien zwischen dem tiefstmöglichen Niveau und der Fermi-Energie sind dann mit Teilchen voll besetzt, darüber keiner."
Oder gilt dieses Zitat nicht in Halbleitern?
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Orangenschale
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 | Beitrag No.4, eingetragen 2014-11-27
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Natürlich gilt dieses Zitat auch im Halbleiter. Der Satz beginnt mit "Alle Zustände mit Energien...". Das heißt, da es von der Valenzbandoberkante bis zum Fermilevel in der Bandlücke keine Zustände gibt, gilt der Satz trotzdem.
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MarkoBe
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| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2014-11-27
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Die Fermi-Dirac-Statistik gibt an, mit welcher Wahrscheinlichkeit in einem idealen Fermi-Gas bei gegebener absoluter Temperatur T ein Zustand der Energie E von einem der Teilchen besetzt ist.
Die Fermi-Energie bezeichnet man dabei als die Energie, bei der Besetzungswahrscheinlichkeit gerade ½ beträgt.
Die Besetzungswahrscheinlichkeit ist also eine Funktion der Zeit.
Müsste sich dann nicht die Position der Fermienergie mit steigender Temperatur im Halbleiter verändern? Ich lese immer, dass sich die Fermienergie etwa in der Mitte der Bandlücke befindet.
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Orangenschale
Senior
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| Beitrag No.6, eingetragen 2014-11-27
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\quoteon(2014-11-27 12:17 - MarkoBe in Beitrag No. 5)
Die Besetzungswahrscheinlichkeit ist also eine Funktion der Zeit.
\quoteoff
Du meinst sicher "...eine Funktion der Temperatur."
Ja, die Fermi Energie ist eine Funktion der Temperatur, auch wenn die Abhängigkeit nur schwach ist.
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Berufspenner
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| Beitrag No.7, eingetragen 2014-11-27
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\quoteon(2014-11-27 12:17 - MarkoBe in Beitrag No. 5)
Müsste sich dann nicht die Position der Fermienergie mit steigender Temperatur im Halbleiter verändern? Ich lese immer, dass sich die Fermienergie etwa in der Mitte der Bandlücke befindet.
\quoteoff
Das hatte ich dir bereits in Beitrag No.2 geschrieben. Neben der Temperatur spielt auch die Ladungsdichte eine Rolle. Im intrinsischen (undotieren) Halbleiter gilt $n = p = n_i^2$. In diesem Fall liegt das Fermi-Niveau bei T = 0 K in der Bandlückenmitte. Bei steigender Temperatur verschiebt es sich zum Leitungsband hin, da nun durch termische Anregung über die Fermi-Dirac Statistik die Wahrscheinlichkeit steigt, dass einzelne Elektronen den Sprung in das Leitungsband schaffen.
Im dotierten Halbleiter ($n \neq p$) verschiebt sich das Fermi-Niveau mit steigender dotierung zum Leitungsband (n-Dotierung) oder zum Valenzband (p-Dotierung). Im Extremfall eines entarteten Halbleiters liegt das Fermi-Niveau bei zu starker Dotierung entweder im Leitungs- oder Valenzband. Du siehst also, dass es eine Abhängigkeit sowohl von der Temperatur als auch von der Ladungsdichte gibt.
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MarkoBe
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| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2014-11-27
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Wozu wird die Fermienergie bzw. das Fermi-Niveau bei Halbleitern überhaupt betrachtet?
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Berufspenner
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| Beitrag No.9, eingetragen 2014-11-27
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Die Fermi-Energie ist primär ein Begriff aus der Quantenstatistik. In der Halbleiterphysik wird sie meist zur Veranschauung der Fermi-Dirac Verteilung hergenommen und man kann aus ihrer Lage grundsätzliche Dinge wie eben z.B. die Ladungsdichte bei Dotierung ableiten.
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2023-09-30 16:09 U <
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