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 Linearisierung am Arbeitspunkt |
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painkiller86
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 |  Themenstart: 2014-12-25
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hi leute,
ich hab bei folgender aufgabe absolut keine idee wie ich da vorgehen soll, das thema liegt mir einfach nicht :(
hat jemand ne idee? wäre sehr dankbar :)
http://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/9/41801_bild2.jpg
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Perlsago
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| Beitrag No.1, eingetragen 2014-12-25
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Hi painkiller86 und herzlich Willkommen auf dem Matheplaneten! :-)
Wo genau sind denn deine Probleme?
Ich geh mal davon aus, dass du nicht genau weißt, was mit Linearisierung gemeint ist? Hier wirst du die ersten beiden Glieder einer Taylorentwicklung um den Arbeitspunkt berücksichtigen müssen.
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painkiller86
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2014-12-25
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hmm die ganze aufgabe ist leider mein problem, ich hab echt auch keine idee für einen ansatz..?!
oder gibts da ne bestimmte vorgehensweise, aus meinem skript werde ich auch nicht schlau :(
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Perlsago
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| Beitrag No.3, eingetragen 2014-12-25
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Geh doch einfach erst mal so vor, wie es in der Aufgabenstellung steht :-) Über einen möglichen Ansatz zur Lösung der DGL kannst du dich später kümmern.
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painkiller86
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2014-12-25
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ich weiss schon nicht was ich bei 1) machen soll..
bestimmen sie phi0´´ phi0´ und w0 ? ich hab eine gleichung und 3 unbekannte, mathematisch gesehen kann das ja schon nicht funktionieren, da bräuchte ich noch mind. 2 andere gleichungen um die 3 unbekannten rauszubekommen.. oder bin ich total auf dem holzweg?
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Perlsago
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| Beitrag No.5, eingetragen 2014-12-25
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Meine Annahme ist die, dass dein $\varphi$ am Arbeitspunkt durch eine konstante Funktion (nämlich $\varphi = \varphi_0 = \frac{\pi}{4}$) gegeben ist. (Eine andere Situation ergäbe sich, würde $\varphi_0$ - wie eigentlich üblich - nur einen Winkel zum Zeitpunkt $t=0$ bezeichnen, den man durch eine Funktion wie z.B. $\varphi = \frac{\pi}{4}cos(t)$ erhält. Das kann ich der Aufgabenstellung aber nicht entnehmen... Falls ich das falsch interpretiere, möge mich ein anderer Matheplanetarier korrigieren.)
Dann sind die Zeitableitungen natürlich einfach zu bestimmen, und du hast nur noch eine Unbekannte.
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painkiller86
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| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2014-12-26
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ich hab jetzt einfach mal phi0=pi/4 in die gleichung eingesetzt...
A\phi´´+B\phi´-0,0137C+0,0137A\omega^2=0
wie komme ich denn jetzt an meine unbekannten und was meinst du mit den zeitableitungen? :-(
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Perlsago
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| Beitrag No.7, eingetragen 2014-12-26
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Noch eine Bitte: Benutze doch den fed-Editor (alternativ auch LaTeX), damit das ganze besser aussieht :-)
Einsetzen ist schon mal gut, nur solltest du deinen Taschenrechner auf Bogenmaß umstellen ;-) $sin \varphi cos \varphi$ sollte aber trotzdem ein anderes Ergebnis liefern...
Die Zeitableitungen bestimmst du, indem du $\varphi = \varphi_0 = \frac{\pi}{4}$ nach der Zeit ableitest, das sollte fix gehen. Als einzige Unbekannte bleibt dann nach $\omega_0$, und die ist auch nicht wesentlich schwerer zu bestimmen.
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painkiller86
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| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2014-12-26
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hab jetzt taschenrechner auf bogenmaß umgestellt und das liefert mir dann folgendes ergebnis:
A\phi´´+B\phi´-0,707C+0,5A\omega^2
versteh immer noch nicht ganz wie ich das \phi´´ und \phi´ ableiten soll, kleiner tipp? :-?
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Perlsago
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| Beitrag No.9, eingetragen 2014-12-26
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Joa, aber lass das $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ruhig stehen!
Was ergibt denn eine konstante Funktion abgeleitet? ;-)
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painkiller86
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| Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2014-12-26
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ich versteh z.b. f(x)= x^3
dann wär f´(x)=3x^2
und f´´(x)=6x , das ist ja klar..
aber mich verwirrt irgendwie das phi´´ und das phi´, weil ich da keine zahlenwerte hab :(
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Perlsago
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| Beitrag No.11, eingetragen 2014-12-26
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\quoteon(2014-12-26 13:23 - painkiller86 in Beitrag No. 10)
aber mich verwirrt irgendwie das phi´´ und das phi´, weil ich da keine zahlenwerte hab :(
\quoteoff
Wieso? Du hast doch bei der Funktion $\varphi = \varphi_0 = \frac{\pi}{4}$ alle Zahlenwerte gegeben, die du brauchst ;-)
OK, probieren wir's anders. Was ändert sich denn an den Funktionswerten von $\varphi$ für eine beliebige Zeit?
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painkiller86
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| Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2014-12-26
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ich steh auf dem schlauch... :-?
werde am wochenende weiter machen, wäre cool, wenn du mir da nochmals helfen könntest :)
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painkiller86
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| Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2014-12-28
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also hab jetzt die form:
A\phi´´+B\phi´-sqrt(2)/2 C+0,5A\omega^2
was muss ich denn jetzt mit dem phi´´ und phi ´machen, damit ich das w bestimmmen kann?
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Perlsago
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| Beitrag No.14, eingetragen 2014-12-29
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Siehe Beitrag 7, 9 und 11 ;-)
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painkiller86
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| Beitrag No.15, vom Themenstarter, eingetragen 2015-03-10
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bin die aufgabe nun nochmals gründlich durchgegangen und komme auf folgendes:
zu 1)
\phi´´=0
\phi´=0
w=sqrt(sqrt(2)*C/A)
zu 2)
Linearisierung um den Arbeitspunkt:
erst die ableitungen:
dF/d\phi= -C * cosx
dF/d\ phi´
= B
dF/d\phi´´=A
meine gesamte linearisierung:
\Delta\phi*(-C*cosx) + B * \Delta\phi´ + A*\Delta\phi´´ =0
passt das soweit?
gruss
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Perlsago
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| Beitrag No.16, eingetragen 2015-03-10
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\quoteon(2015-03-10 14:04 - painkiller86 in Beitrag No. 15)
zu 1)
\phi´´=0
\phi´=0
w=sqrt(sqrt(2)*C/A)
\quoteoff
Das scheint mir so weit ok zu sein.
\quoteon(2015-03-10 14:04 - painkiller86 in Beitrag No. 15)
zu 2)
Linearisierung um den Arbeitspunkt:
erst die ableitungen:
dF/d\phi= -C * cosx
dF/d\ phi´
= B
dF/d\phi´´=A
meine gesamte linearisierung:
\Delta\phi*(-C*cosx) + B * \Delta\phi´ + A*\Delta\phi´´ =0
\quoteoff
Mir ist unklar, was du hier linearisiert hast. Ich verstehe auch nicht ganz, was du mit den Deltas ausdrücken willst, bzw. auch nicht den Sinn dieser Gleichung.
Bei der Linearisierung einer nichtlinearen DGL geht es darum, die nichtlinearen Anteile der DGL durch lineare Ausdrücke zu nähern. Bei der gegebenen DGL sind es die Funktionen $\sin\varphi$ und $\sin\varphi\cos\varphi$, die die DGL (in den jeweiligen Termen) nichtlinear machen. Diese gilt es, durch lineare Funktionen, also Polynome höchstens 1. Grades, anzunähern. Das Mittel der Wahl ist hier eine Kleinwinkelnäherung um den Arbeitspunkt, besser gesagt eine Taylorentwicklung an der Stelle des vorgegebenen Arbeitspunktes, die nach dem 1. Glied abbricht.
Das sollte dir erstmal weiterhelfen...
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painkiller86
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| Beitrag No.17, vom Themenstarter, eingetragen 2015-03-11
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ich wollte erst die komplette funktion linearisieren, wusste aber nicht, dass man nur die nichtlinearen anteile betrachten muss..
habe nun folgendes:
f(x)=sin x f´(x)= cos x
g(x)=f(\phi0)+f´(\phi0)*(x-\phi0)
g(x)= sqrt(2)/2*(1+(x-\pi/4))
analog dazu:
f(x)=cos x f´(x)= -sin x
g(x)=f(\phi0)+f´(\phi0)*(x-\phi0)
g(x)= sqrt(2)/2*(1-(x-\pi/4))
das ganze dann hier einsetzen für sin \phi und cos \phi
-C und A\omega^2 bleiben als Konstanten stehen
-Csin\phi + A\omega^2 sin\phi * cos\phi =0
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Perlsago
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| Beitrag No.18, eingetragen 2015-03-12
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\quoteon(2015-03-11 12:17 - painkiller86 in Beitrag No. 17)
ich wollte erst die komplette funktion linearisieren, wusste aber nicht, dass man nur die nichtlinearen anteile betrachten muss..
\quoteoff
Welche ganze Funktion? Was du vorliegen hast, ist eine Differentialgleichung, keine Funktion.
\quoteon(2015-03-11 12:17 - painkiller86 in Beitrag No. 17)
habe nun folgendes:
f(x)=sin x f´(x)= cos x
g(x)=f(\phi0)+f´(\phi0)*(x-\phi0)
g(x)= sqrt(2)/2*(1+(x-\pi/4))
analog dazu:
f(x)=cos x f´(x)= -sin x
g(x)=f(\phi0)+f´(\phi0)*(x-\phi0)
g(x)= sqrt(2)/2*(1-(x-\pi/4))
\quoteoff
Diese Entwicklungen scheinen mir so weit korrekt.
\quoteon(2015-03-11 12:17 - painkiller86 in Beitrag No. 17)
das ganze dann hier einsetzen für sin \phi und cos \phi
-C und A\omega^2 bleiben als Konstanten stehen
-Csin\phi + A\omega^2 sin\phi * cos\phi =0
\quoteoff
Wo hast du hier denn was eingesetzt? Was war der Sinn deiner obigen Entwicklungen? Und wohin ist die Differentialgleichung verschwunden, mit anderen Worten: warum steht hier kein $\dot\varphi$ bzw. $\ddot\varphi$ mehr?
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painkiller86
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so habs nochmals überdacht, mach halt immer noch leichte fehler, ziemlich verwirrend das ganze :P
also hab jetzt als linearisierte diffglg am AP:
A \phi´´ + B \phi´ - C
sqrt(2)/2(1+(x-\pi/4))
+A\omega^2 sqrt(2)/2*(1+(x-\pi/4)) sqrt(2)/2*(1-(x-\pi/4))
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2023-09-30 16:09 U <
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