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Schulmathematik » Stochastik und Kombinatorik » Wann ist eine Zufallsvariable normalverteilt?
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Schule Wann ist eine Zufallsvariable normalverteilt?
Han
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  Themenstart: 2014-12-28

Hallo, Im Buch weiß ich immer schon ob eine Zufallsvariable normalverteilt ist oder nicht. Aber mich würde interessieren woher weiß ich denn überhaupt ob eine Zufallsvariable normalverteilt ist oder nicht? Ich weiß bisher: Die Zufallsvariable muss stetig sein und als Dichtefunktion eine Glockenkurve besitzen. Eine binomialverteilte Zufallsvariable mit großem n kann man durch eine Glockenkuve annähern. Sonst gibt es kein Kriterium? Angenommen ich würde unter Menschen zwischen 20 und 22 Jahren eine Umfrage über die Körpergröße machen. Ist diese Zufallsvariable normalverteilt? Wenn ja warum? lg, Han


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Calculus
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  Beitrag No.1, eingetragen 2014-12-28

Eine Zufallsvariable nennt man normalverteilt, wenn ihre Verteilung eine Normalverteilung ist. Die größe eines Personenkreises kann nicht normalverteilt sein, weil die Normalverteilung nach oben und unten unbeschränkt ist. Die größe eines Menschen ist aber gewiss mindestens durch 0 nach unten beschränkt. Es kann aber sein, dass die Größe durch eine normalverteilung angenähert werden kann [wobei man hier noch klären muss, was genau man unter einen Näherung versteht].


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Han
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2014-12-29

Hallo, Danke fúr die Antwort. Ich frage mich nur weil in meinem Buch steht ganzzu Beginn: Mache eine Umfrage unter 50 Schuelern und frage nache der Körpergröße. Das Histogramm wird annähernd normalverteilt sein. Warum weiß ich das schon vorher? Denn es leigt ja hier keine Binomialverteilung vor, soweit ich glaube. lg, Han


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DULL
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  Beitrag No.3, eingetragen 2014-12-29

Moin Han, deine Skepsis ist sehr berechtigt. Grundsätzlich ist es so, dass man eine perfekte Normalverteilung nirgends in der realen Welt offensichtlich finden kann. Ein entscheidender Punkt ist, dass man für Situationen der realen Welt mathematische Modelle erstellt. Man übersetzt also Probleme der realen Welt in Mathematik, um diese mit mathematischen Methoden analysieren zu können. Im Gegensatz zur sonstigen Mathematik gibt es dabei aber keine "richtige" oder "falsche" Modellierung, sondern nur mehr oder weniger sinnvolle für die Fragestellung, die von Interesse ist. Möchte man etwa untersuchen, mit welcher Wahrscheinlichkeit die Schüler eine negative Körpergröße haben, ist die Modellierung der Körpergröße mittels Normalverteilung nicht sinnvoll, für andere Fragestellungen ggf. schon. Bei jeder Modellierung muss aber begründet werden, wieso diese sinnvoll ist. Bei der Körpergröße könnte ein Argument seien, dass man aus weiteren Untersuchungen weiß, dass eine solche Modellierung mit den realen Beobachtungen gut übereinstimmt (das ist dann eine Begründung mittels Statistik). Ansonsten kann auch eine Rückführung auf den Grenzfall eine Binomialverteilung passend sein, hier fällt mir dafür aber kein gutes Argument ein. Also: Nach den im Buch gegebenen Informationen kann man keineswegs wissen, dass die Normalverteilung hier zur Beschreibung sinnvoll ist. Viele Grüße, dull


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paolo_picasso
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  Beitrag No.4, eingetragen 2014-12-29

Hallo Han Es gibt zwei verschiedenen Ausgangsituationen, in den man sich für eine Normalverteilung entscheiden kann/soll: 1. Induktiv: Man hat ausreichende Daten, um einen Normalität-Test durchzuführen (Shapiro-Wilk-Test). 2. Deduktiv: Wenn die Zufallsvariable das „Resultat“ (Summe) von „ausreichenden“ und unabhängigen Faktoren (weitere Zufallsvariablen) ist, und keine dieser Faktoren „deutlich überwiegt“ (ein Beispiel wäre die Höhe eines Menschen, die sich als „Summe“ von vielen Genen und externen Einflüssen ergibt). In diesem Fall, durch die Kenntnisse des Entstehungsprozesses der Zufallsvariable, darf man auch Normalität voraussetzen, auch wenn man noch keine Realisierung der Zufallsvariable beobachtet hat (zentraler Grenzwertsatz). Freundliche Grüsse Dino


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Han
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  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2014-12-31

Danke für die Antworten. Mir ist die deduktive Methode noch nicht so ganz 100% klar. Also die deduktive Methode beruht auf Beobachtung und Erfahrung? lg, Han


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paolo_picasso
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  Beitrag No.6, eingetragen 2015-01-05

Hallo Han Nicht genau. Wenn man nur aus Beobachtungen (Daten) eine allgemein gültige Regel zieht, so etwas nennt man Induktion. 1. Meine n Beobachtungen erfüllen einen Normalitätstest. -> Ich fasse die allgemein gültige Regel ab, dass meine Zufallsvariable normalverteilt ist. Wenn man aus theoretischem Wissen (aus "Erfahrung")eine Schlussfolgerung zieht, so etwas nennt man Deduktion. 1. Die Summe von vielen zufälligen Faktoren führt immer zu einer normalverteilten Zufallsvariable (Theorie: zentraler Grenzwertsatz). 2. Ich weiss, dass der Entstehungsprozess meiner Zufallsvariable genau diese Anforderung erfüllt. -> Meine Zufallsvariable (Körpergrösse, IQ, Messfehler, usw.) muss normalverteilt sein. Grob gesagt könnte man sagen, dass die Induktion oft in der Physik vorkommt (aus vielen Beobachtungen wird eine neue Theorie oder ein Modell entwickeln, die diese Beobachtungen erklärt). Induktion bedeutet „Verallgemeinerung“ (aus vielen Beobachtungen wird ein allgemein gültiges Gesetz entwickelt). Deduktion ist eher etwas „mathematisches“, zum Beispiel bei den Wiederspruchbeweisen: Aus der bestehenden Theorie wird, durch logische Argumente, neues Wissen gewonnen. Deduktion bedeutet „das bestehende theoretische Wissen an einer speziellen Situation richtig anzuwenden“. Ich hoffe, dass konnte dir ein wenig helfen… manchmal sind die Grenzen zwischen Induktion und Deduktion auch nicht ganz klar. Dino


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Ex_Senior
  Beitrag No.7, eingetragen 2015-01-05

Ich hatte mir dazu gemerkt (Zentraler Grenzwertsatz): Die Summe von unendlich vielen unabhängigen Zufallsvariablen ist normalverteilt. Etwas schwächer formuliert gilt bereits: Die Summe von genügend vielen unabhängigen Zufallsvariablen ist näherungsweise normalverteilt (diese Näherung wird umso besser, je größer die Anzahl der unabhängigen Zufallsvariablen ist). Der ZGsz erklärt das häufige Auftreten von Normalverteilung in der Natur; denn viele Größen (Größe und Masse des Menschen, von Pflanzen / Tieren; physikalische Meßgrößen, ....) werden durch Überlagerung vieler unabhängiger Einflüsse (Zufallsgrößen) bestimmt.


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paolo_picasso
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  Beitrag No.8, eingetragen 2015-01-05

Perfekt! So kannst du direkt bestimmen, ob eine Zufallsvariable normalverteilt ist oder nicht, und das ohne eine einzige Beobachtung je gesehen zu haben (eben deduktiv) :-) Wenn du aber keine Kenntnisse über den Entstehungsprozess der Zufallsvariable hast, dass brauchst du doch eine gewisse Anzahl Beobachtungen, um einen Normalität-Test durchzuführen. Solche Tests sind aber für nicht-Mathematiker relativ komplex... Wenn du eine einfachere (auf Beobachtungen basierte) Methode suchst, um deine Beobachtungen mit einer Normalverteilung zu vergleichen, dann kannst du weiter unter QQ-Plot suchen. Diese optische Methode ist nicht sehr "wissenschaftlich", dafür aber einfach und intuitiv: Wenn deine Beobachtungen (ugf.) auf der Diagonale liegen, dann handelt es sich um eine Normalverteilung. Viel Erfolg!


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Han
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  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2015-01-06

Ok. Danke für die zahlreichen Antworten. Jetzt weiß ich schon eher Bescheid. Ich habe im Netz eine ganz gute Grafik zum Thema "Welche Hautfarbe hat ein Kind, welches schwarze und weiße Eltern hat" http://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/9/7766_Hautfarbe.jpg Greift hier auch der zentrale Grenzwertsatz? Also viele zufällige unabhänge Faktoren ergeben eine Normalverteilung? Es handelt sich ja nicht um eine Binomialverteilung. lg, Han


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paolo_picasso
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  Beitrag No.10, eingetragen 2015-01-06

Ein sehr schönes Beispiel :-) Doch, hier handelt es sich genau um eine Binomialverteilung mit p=1/2 und n=6, die durch eine Normalverteilung annährend dargestellt werden kann (die rote Linie auf dem Bild). Hier nimmt man implizit an, dass alle Genen sowohl die gleichen Eintrittswahrscheinlichkeiten besitzen (p=1/2) als auch den gleichen Beitrag zur Intensität der Farbe leisten (was in der Natur nicht zwingend der Fall sein muss: einige Genen können „wichtiger“ sein und einen stärkeren Einfluss auf die Farbe haben). Unter diesen zwei Annahmen ist die Farbe der Haut des Kindes (in der zweiten Generation F2) binomialverteilt. Der zentrale Grenzwertsatz würde trotzdem gültig bleiben, auch wenn die unabhängigen Faktoren (in deinem Beispiel die Genen) mit verschiedenen Wahrscheinlichkeiten oder Ausprägungen auftreten: Nur die Wahrscheinlichkeiten und die Ausprägungen dürfen sich nicht zu sehr voneinander unterscheiden (kein Faktor darf „dominant“ sein). D.h. man braucht nicht zwigend eine Binomialverteilung, um eine gute Nährung einer Normalverteilung zu erhalten ;-)


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