| |
| Autor |
 Eulersche DGL 3. Grades |
|
chino3000
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 04.10.2013
Mitteilungen: 34
 |  Themenstart: 2015-01-08
|
Hallöchen,
ich habe mal wieder ein Problem mit den DGLs.
Folgende homogene Eulersche DGL soll gelöst werden.
\
x^3*y''' + 3x^2*y'' - 2x*y' - 2*y = 0
Nun habe ich diese DGL mit
\
x = exp(t)
in eine lineare homogene DGL mit konstanten Koeffizienten transformiert
\
y^*** - 3*y^* - 2*y = 0
Im Anschluss erhalte ich mit dem Ansatz
\
y = exp(kt)
die charakteristische Gleichung
\
k^3 - 3*k -2 = 0
Nun habe ich mit Hilfe der Polynomdivision 2 Lösungen für k ermittelt.
\
k_1 = 2 -> y_1 = exp(2t)
k_2 = -1 -> y_2 = exp(-t)
Und hier kann doch irgendetwas nicht stimmen!!
Sollte ich bei einer charakteristischen Gleichung in 3. Potenz nicht auch 3 Lösungen erhalten?
Wenn ich mit meinen 2 Lösungen weiter mache erhalten ich schlussendlich nach Rücktransformation mit
\
x = exp(t)
t = ln(x)
folgende allgemeine Lösung der DGL:
\
y = C_1*x^2 + C_2 / x
WolframAplpha sagt mir aber leider eine andere Lösung.
Wo ist mein Fehler?
Gruß, chino.
|
 Profil
|
Wally
Senior 
Dabei seit: 02.11.2004
Mitteilungen: 9774
Wohnort: Dortmund, Old Europe
 | Beitrag No.1, eingetragen 2015-01-08
|
Hallo, chino,
du hast übersehen, dass $-1$ doppelte Nullstelle ist.
Wally
|
Profil
|
grosserloewe
Senior
Dabei seit: 29.12.2012
Mitteilungen: 249
Wohnort: Thueringen
|  Beitrag No.2, eingetragen 2015-01-08
|
Hallo
Es ist
(k-2)( k+1)^2=0
k1,2= -1
k3= 2
k ist doppelte Nullstelle.
|
Profil
|
chino3000
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 04.10.2013
Mitteilungen: 34
| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2015-01-08
|
Ah ok, vielen Dank dafür.
Nur .. wie gehe ich jetzt mit dieser doppelten Nullstelle um? :D
Irgendwelche Hinweise?
Gruß, chino.
edit: da ich zu Berechnung der Nullstellen die Polynomdivision gewählt habe, ist mir die doppelte Nullstelle auch gar nicht aufgefallen.
Anhand der Produktform sieht man das ja eindeutig.
Dennoch .. wie verfahre ich weiter?
edit2: http://matheplanet.com/default3.html?call=viewtopic.php?topic=114779&ref=https%3A%2F%2Fwww.google.de%2F
Hier hatte schonmal jemand das Problem.
Ich lese mir das erstmal durch, wenn ich dann noch nicht weiter weiß melde ich mich nochmal.
Vielen Dank! :)
|
Profil
|
Wally
Senior 
Dabei seit: 02.11.2004
Mitteilungen: 9774
Wohnort: Dortmund, Old Europe
| Beitrag No.4, eingetragen 2015-01-08
|
Tja,
ich weiß nicht, wie ich mit dieser Hilflosigkeit umegehen soll.
Früher hatte man sogenannte "Bücher" als Hilfe beim Studieren.
Darin hätte man gefunden, dass in diesem Fall ein Fundamentalsystem der transformierten Dgl. durch $e^{-t}$ und $te^{-t}$ gegeben ist.
Vielleicht überlegst du dir mal, auf diese altmodische, aber effektive Methode zurückzukommen.
Ein Auswahl an Büchern ist z.B. hier: http://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/reviews.php
Wally
|
Profil
|
chino3000
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 04.10.2013
Mitteilungen: 34
| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2015-01-08
|
Hallo Wally,
ja Bücher habe und benutze ich natürlich auch.
Besser gesagt beschränkt sich das auf ein Buch bzw. eine Bücherreihe, nämlich den Papula - Mathematik für Ings. und Naturwissenschaftler.
Damit bin ich bis jetzt relativ gut gefahren. (Jede Woche bearbeite ich 1 Aufgabenblatt mit je 4 Aufgaben)
Nur finde ich trotzdem einige Sachen nicht bzw. suche eventuell an falscher Stelle.
In dieser Situation komme ich dann meistens auf dieses Mathe-Forum zurück.
Mir ist ehrlich gesagt auch nicht wohl dabei, wenn ich "doofe Fragen" stellen muss.
Gruß, chino.
edit: Ich habe jetzt die Lösung.
Leider konnte ich auch bisher nichts dazu im Papula finden.
Ich will nur sagen, es soll nicht der Eindruck entstehen, ich will hier irgendetwas vorgerechnet bekommen.
Bevor ich hier irgendwelche Fragen stelle, sind meistens schon einige Stunden des Suchens nach entsprechenden Quellen und Lösungsansätzen vergangen.
Allerdings muss ich auch zugeben, dass vielleicht ein einizges Buch nicht ausreichend ist.
Zumal mein Professor kein Skript heraus gibt.
Trotzdem vielen Dank für die Hilfe!
Gruß, chino.
|
Profil
|
Wally
Senior
Dabei seit: 02.11.2004
Mitteilungen: 9774
Wohnort: Dortmund, Old Europe
| Beitrag No.6, eingetragen 2015-01-09
|
Hallo, chino,
Papula ist ganz gut für Standardsituationen oder FH-Mathematik.
Du kannst dir ja mal die Reihe von Burg-Haf-Wille ansehen, die bekommt man zur Not gebraucht schon recht günstig.
Wally
|
Profil
|
chino3000
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 04.10.2013
Mitteilungen: 34
| Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2015-01-09
|
Hallo Wally,
danke für die Tipps!
Hier gibt es die ganze Reihe für 30€.
http://www.ebay.de/itm/Burg-Haf-Wille-Mathematik-fur-Ingenieure-Band-1-2-3-4-/371215775692?pt=Sach_Fachb%C3%BCcher&hash=item566e2f37cc
Auf Anhieb würde ich sagen, dass das günstig ist.
Beim Papula beschlich mich schon früher das Gefühl, dass dort nicht jedes Detail erklärt ist.
Vielen Dank, chino.
|
Profil
|
chino3000
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 04.10.2013
Mitteilungen: 34
| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2015-01-11
|
Hallo nochmal.
Ich bin nun bei einer anderen ähnlichen Aufgabe, es geht ebenfalls um eine Eulersche DGL.
\
x^2*y'' + 2x*y' - 2*y = x^3 , x < 0
Es wird in der Aufgabe darauf hingewiesen, dass man nun
\
x = -e^t
substituieren soll, um die gewünschte lineare DGL mit konst. Koeffizienten zu erhalten.
Bei der Ermittlung der allg. Lösung für die homogene DGL habe ich errechnet, dass
\
y' = -y^* e^(-t)
y'' = -(y^** - y^*)e^(-2t)
(vgl. http://www.tm-mathe.de/Themen/html/gewdgleuler.html)
Wenn ich weiters die charakteristische Gleichung aufstelle, die Lambdas ermittle und am Ende die Linearkombination mit den beiden Partikulärlösungen bilde, komme ich leider nicht auf das Ergebnis, welches Wolfram mir ausrechnet.
Ich vermute daher stark, dass ich bei den Ableitungen etwas falsch gemacht habe.
Kann jemand nachvollziehen, ob ich die Ableitungen richtig aufgestellt habe?
Gruß, chino.
|
Profil
|
Wally
Senior
Dabei seit: 02.11.2004
Mitteilungen: 9774
Wohnort: Dortmund, Old Europe
| Beitrag No.9, eingetragen 2015-01-11
|
Hallo chino,
dein $y''$ ist nicht richtig.
Wally
|
Profil
|
Dr_Sonnhard_Graubner
Senior
Dabei seit: 06.08.2003
Mitteilungen: 29301
Wohnort: Sachsen
 | Beitrag No.10, eingetragen 2015-01-11
|
Hallo, siehe hier gibt es eine Herleitung.
http://www.math.bas.bg/~rkovach/lectures/FDIBA4.pdf
Viele Grüße,Sonnhard.
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.8 begonnen.]
|
Profil
|
Wally
Senior
Dabei seit: 02.11.2004
Mitteilungen: 9774
Wohnort: Dortmund, Old Europe
| Beitrag No.11, eingetragen 2015-01-11
|
Sonnhard,
dabei hast du nicht gesehen, dass hier eine Lösung für $x<0$ gesucht wird, und daher wird die Substitution aus Beitrag 8 benötigt.
Wally
|
Profil
|
chino3000
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 04.10.2013
Mitteilungen: 34
| Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2015-01-13
|
Ahoi,
danke für die Antworten.
Es war dann auch schnell klar, dass ich falsch abgeleitet habe ..
\
y^'' = exp(-2t) * (y^** - 2*y^*)
So müsste es dann stimmen!
Allerdings komme ich nicht auf das gewünschte Endergebnis.
Setze ich jetzt
\
x = -exp(t)
y' = -y^* exp(-t)
y^'' = exp(-2t) * (y^** - 2*y^*)
in die Ausgangsgleichung, dann erhalte ich
\
exp(2t)*exp(-2t)*(y^** - 2*y^*) + 2*(-exp(t))*(-y^* exp(-t)) - 2y = 0
y^** - 2*y^* + 2*y^* - 2y = 0
Das kann aber nicht stimmen .. denn ich kenne die Endlösung dank Wolfram schon.
Was ist nun wieder falsch?
Vielleicht sehe ich den Fehler ja morgen in aller Frische ... :-|
Gruß, chino.
|
Profil
|
Wally
Senior
Dabei seit: 02.11.2004
Mitteilungen: 9774
Wohnort: Dortmund, Old Europe
| Beitrag No.13, eingetragen 2015-01-13
|
Es bringt immer Pech, wenn man verschiedene Dinge mit demselben Symbol bezeichnet.
Also: Sei $x=-e^t \Leftrightarrow t=\ln (-x)$.
Dann ist $\dfrac{dt}{dx}=\dfrac{1}{-x}(-1)=\dfrac{1}{x}$ (innere Ableitung beachten!).
Sei $y(x)=Y(t)=Y(\ln (-x))$
Also ist $y'(x)=\dot Y(\ln(-x))\cdot \dfrac{1}{x}$ und
$y''(x)=\ddot Y(\ln(-x))\cdot \dfrac{1}{x^2} -\dot Y(\ln(-x))\cdot \dfrac{1}{x^2}$.
Das kannst du jetzt einsetzen und $\ln(-x)$ durch $t$ ersetzen.
Wally
|
Profil
|
| chino3000 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen. |
|
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2023 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die
Nutzungsbedingungen,
die Distanzierung,
die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]
|
Home / Seite ohne Frame
Wie unterstütze ich den Matheplaneten mit Geld?
