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| Autor |
 Nullstellen eines Flächeninhalts zwischen zwei Integralfunktionen bestimmen |
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Weinstein
Junior 
Dabei seit: 14.02.2015
Mitteilungen: 7
 |  Themenstart: 2015-02-15
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Beide Funktionen sind gegeben:
f : x -> -1/9 x^4 + 14 sowie g:x -> x^2 -4
Gesucht ist der Flächeninhalt A.
Soweit so klar, bevor ich nun die Stammfunktionen beider Terme ermittle, muss ich die Nullstellen bestimmen, um ja überhaupt zu Wissen welchen Bereich ich als Fläche berechnen soll.
Gleichstellung beider Funktionen
f(x) = g(x)
-1/9 x^4 + 14 - x^2 + 4 = 0
-1/9 x^4 + 18 - x^2 = 0
-1/9 x^4 - x^2 = -18
Durch "raten" erhalte ich eine Nullstelle für x=3 -> -18
Soweit so gut, mein Ansatz war hier eine Polynomdivision aufzustellen, um weitere Nullstellen zu ermitteln:
-1/9 x^4 - x^2 : (x-3) =
So, wenn ich jetzt ein realistisches Ergebnis bei der Polynomdivision erhalten würde, würde ich auch ganz schnell die fehlenden Nullstellen für das Integral erhalten und könnte wie gewohnt fortfahren. Falls mein Ansatz so richtig ist, kann mir einer (zumindest 1 oder 2 Zeile) die Polynomdivsion vorrechnen? Ich komm auf Biegen und Brechen nicht drauf.
Grüße, Weinstein.
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gonz
Senior 
Dabei seit: 16.02.2013
Mitteilungen: 4885
Wohnort: Harz
 | Beitrag No.1, eingetragen 2015-02-15
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Hallo Weinstein,
und herzlich willkommen auf dem Matheplaneten!
Zu deinem Ansatz zwei Hinweise:
\
Die Gleichung, die du durch Raten einer Lösung und Polynomdivision angehen willst, ist einfacher lösbar. Es handelt sich um eine sogenannte biquadratische Gleichung, die du mit der Substitution von z=x^2 in eine quadratische Gleichung überführen kannst.
Wenn du den von dir gewählten Weg gehen willst, dann muss der Ansatz für die Poynomdivision anders sein, du bringst erst die 18 auf die linke Seite, und dividierst dann erst - sonst geht die Polynomdivision nicht auf, wie du wahrscheinlich schon gemerkt hast.
Dh du musst die Division
(-1/9 x^4 - x^2 +18) : (x-3)
durchführen.
Hilft dir das weiter?
mit besten Grüssen
gonz
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Cube_Max
Senior
Dabei seit: 21.11.2013
Mitteilungen: 985
Wohnort: Hannover
 | Beitrag No.2, eingetragen 2015-02-15
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Hi.
Genauer sollte es lauten: "Gesucht ist der Flächeninhalt $A$, welcher von den beiden Funktionen $f$ und $g$ eingeschlossen wird. "
Setze $y:=x^2$, womit du mit der p-q-Formel weiter kommst.
Die Schritte für die Polynomdivision finden sich durch weitere Internetsuche.
Ich verweise auch deshalb, da es hier schwer ist eine Polynomdivision zu verwirklichen.
Gruß Max
[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]
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Weinstein
Junior 
Dabei seit: 14.02.2015
Mitteilungen: 7
| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2015-02-15
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\quoteon(2015-02-15 13:45 - gonz in Beitrag No. 1)
Hallo Weinstein,
und herzlich willkommen auf dem Matheplaneten!
Zu deinem Ansatz zwei Hinweise:
\
Die Gleichung, die du durch Raten einer Lösung und Polynomdivision angehen willst, ist einfacher lösbar. Es handelt sich um eine sogenannte biquadratische Gleichung, die du mit der Substitution von z=x^2 in eine quadratische Gleichung überführen kannst.
Wenn du den von dir gewählten Weg gehen willst, dann muss der Ansatz für die Poynomdivision anders sein, du bringst erst die 18 auf die linke Seite, und dividierst dann erst - sonst geht die Polynomdivision nicht auf, wie du wahrscheinlich schon gemerkt hast.
Dh du musst die Division
(-1/9 x^4 - x^2 +18) : (x-3)
durchführen.
Hilft dir das weiter?
mit besten Grüssen
gonz
\quoteoff
Vielen Dank für eure nette Willkommensgrüße :).
Nun, ich habe mir auch schon überlegt, dass es einen einfacheren Weg geben müsste. Einfach ist immer besser :)
Nach der Substitution wäre meine neue Gleichung demnach
x^2+x+9 = 0
ist dies so Korrekt? Bzw. wie würde es korrekt aussehen? Stehe gerade auf dem Schlauch. Der Bruch bereitet mir Kopfzerbrechen.
Grüße.
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gonz
Senior 
Dabei seit: 16.02.2013
Mitteilungen: 4885
Wohnort: Harz
| Beitrag No.4, eingetragen 2015-02-15
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Nicht ganz, aus
\
-1/9 x^4 - x^2 +18 = 0
wird doch mit z=x^2 (einfach einsetzen!) erst einmal
-1/9 z^2-z+18 = 0
oder dann in Normalform:
z^2+9z-162 = 0
(ich würde die Variable in der quad. Gleichung nicht wieder x nennen, da man sonst leicht durcheinander kommt). Dh jetzt ab in die Mitternachtsformel damit, und dann aus den Lösungen für z auf die für x zurückschliessen.
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Weinstein
Junior
Dabei seit: 14.02.2015
Mitteilungen: 7
| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2015-02-15
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\quoteon(2015-02-15 14:13 - gonz in Beitrag No. 4)
Nicht ganz, aus
\
-1/9 x^4 - x^2 +18 = 0
wird doch mit z=x^2 (einfach einsetzen!) erst einmal
-1/9 z^2-z+18 = 0
oder dann in Normalform:
z^2+9z-162 = 0
(ich würde die Variable in der quad. Gleichung nicht wieder x nennen, da man sonst leicht durcheinander kommt). Dh jetzt ab in die Mitternachtsformel damit, und dann aus den Lösungen für z auf die für x zurückschliessen.
\quoteoff
Daraus folgt:
9/2 + sqrt(x)(9;2)^2 + 162
4,5 + sqrt(182,25)
4,5 + 13,5 = 18 sowie 4,5 - 13,5 = -9
x1 = 18 x2 = -9
Die gesuchte Fläche für die Integralberechnung wäre also
int(f,x,-9,18)
Kannst du mir dies vlt. Bestätigen?
Grüße. :)
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StrgAltEntf
Senior
Dabei seit: 19.01.2013
Mitteilungen: 8388
Wohnort: Milchstraße
 | Beitrag No.6, eingetragen 2015-02-15
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\quoteon(2015-02-15 15:55 - Weinstein in Beitrag No. 5)
Daraus folgt:
9/2 + sqrt(x)(9;2)^2 + 162
4,5 + sqrt(182,25)
4,5 + 13,5 = 18 sowie 4,5 - 13,5 = -9
x1 = 18 x2 = -9
Die gesuchte Fläche für die Integralberechnung wäre also
int(f,x,-9,18)
\quoteoff
Was machst du da?? Du hattest doch schon die Nullstelle x=3 erraten. Wie passt das zusammen?
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Weinstein
Junior
Dabei seit: 14.02.2015
Mitteilungen: 7
| Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2015-02-15
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\quoteon(2015-02-15 16:26 - StrgAltEntf in Beitrag No. 6)
\quoteon(2015-02-15 15:55 - Weinstein in Beitrag No. 5)
Daraus folgt:
9/2 + sqrt(x)(9;2)^2 + 162
4,5 + sqrt(182,25)
4,5 + 13,5 = 18 sowie 4,5 - 13,5 = -9
x1 = 18 x2 = -9
Die gesuchte Fläche für die Integralberechnung wäre also
int(f,x,-9,18)
\quoteoff
Was machst du da?? Du hattest doch schon die Nullstelle x=3 erraten. Wie passt das zusammen?
\quoteoff
Mhm, Hilfe suchen meistens Leute, die Hilfe benötigen. In diesem Sinne: Ich hab keine Ahnung was ich gerade da mache. Kannst du mir auf die Sprünge helfen? ;)
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Perlsago
Senior
Dabei seit: 20.01.2014
Mitteilungen: 568
Wohnort: Jena
| Beitrag No.8, eingetragen 2015-02-15
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\quoteon(2015-02-15 16:33 - Weinstein in Beitrag No. 7)
In diesem Sinne: Ich hab keine Ahnung was ich gerade da mache.
\quoteoff
Zu Beginn der Aufgabe möchtest du die x-Koordinaten der Punkte berechnen, in denen sich die beiden Graphen schneiden. Dazu setzt die beide Funktionen gleich und erhältst mit ein wenig Umstellen eine biquadratische Gleichung, die du jetzt lösen musst. Dazu hast du eine Substition (nämlich $z:=x^2$) durchgeführt. Das weitere hat dir gonz doch schon geschrieben:
\quoteon(2015-02-15 14:13 - gonz in Beitrag No. 4)Dh jetzt ab in die Mitternachtsformel damit, und dann aus den Lösungen für z auf die für x zurückschliessen.
\quoteoff
Du nimmst also die Gleichung $z^2 +9z-162=0$ und löst sie ganz normal nach der Mitternachtsformel auf. (Dabei hast du dich leider verrechnet, überprüf das noch mal.) Anschließend musst du die anfangs gemachte Substitution rückgängig machen, d.h. du musst noch $z:=x^2$ nach x auflösen. Als Ergebnis erhältst du zwei reelle Zahlen $x_1$ und $x_2$. Das sind deine gesuchten Integrationsgrenzen.
[Verschoben aus Forum 'Analysis' in Forum 'Integralrechnung' von Perlsago]
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StrgAltEntf
Senior
Dabei seit: 19.01.2013
Mitteilungen: 8388
Wohnort: Milchstraße
| Beitrag No.9, eingetragen 2015-02-15
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gonz hatte erläutert, dass die Gleichung z² + 9z - 162 = 0 zu lösen ist. War das soweit klar? Für jede der Lösungen musst du dann die Gleichung x² = z lösen. So erhältst du alle Lösungen der ursprünglichen Gleichung.
Übrigens kannst du dir mit "Zeige Vorschau" ansehen, ob du den Formeleditor richtig bedient hast, bevor du den Beitrag mit "Submit" absendest.
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.7 begonnen.]
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