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Schulmathematik » Geometrie » Kongruenzsatz sss: Mittendreieck
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Schule J Kongruenzsatz sss: Mittendreieck
Ritter
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  Themenstart: 2015-02-23

Hallo Im Dreieck ABC sind D, E, und F jeweils die Seitenmitten. http://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/9/26313_Kongruenzsatz_SSS_Mittendreieck.png Man soll beweisen, dass die Winkel Alpha und Beta gleich groß sind. Von den Kongruenzsätzen ist nur sss bekannt. Falls hilfreich: Die Winkelsumme im n-Eck und Winkel an parallelen Geraden sind auch bekannt. Definitiv nicht bekannt sind die Strahlensätze. Wenn man die Punkte E und F verbindet, könnte man das als eine Seite in den beiden Dreiecken EDC und DEF nehmen. Es bleibt "nur" zu zeigen, dass CE = DF und CD = EF gilt. Ich weiß allerdings nicht, wie man das macht. Ansonsten hatte ich noch an die Dreiecke FDC und FBD gedacht, die immerhin 2 gleich lange Seiten haben. Gruß, Ritter


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viertel
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  Beitrag No.1, eingetragen 2015-02-23

Hi Ritter Wenn du DE noch einzeichnest hast du 4 gleiche Dreiecke. Aber das nur mit den eingeschränkten Mitteln nachzuweisen, dazu fällt mir gerade auch nix ein. Gruß vom ¼


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mire2
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  Beitrag No.2, eingetragen 2015-02-23

Hallo zusammen! :-) Funktioniert da nicht dassselbe Argument, weshalb auch die Winkelsumme im Dreieck 180° beträgt? Ein anderes Argument wäre die Punktspiegelung im Punkt G. \hideon http://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/9/14350_Winkel.im.Dreieck1.png \hideoff Gruß mire2


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FriedrichLaher
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  Beitrag No.3, eingetragen 2015-02-23

über Flächegleichheiten (z.B. AEF, FBD) und damit Höhen, lassen sich jedenfalls die Parallelitäten der Seiten des inneren Dreiecks betimmen - selber Effekt den die Strahlensätze hätten.


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viertel
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  Beitrag No.4, eingetragen 2015-02-23

Wenn ich den Fragesteller richtig interpretiere ist das alles nicht erlaubt. Wir sehen – und wissen – daß es da parellele Strecken gibt. Aber das muß erst mal mit den spartanischen Mitteln nachgewiesen werden. CD=DB ist klar, da D so konstruiert ist. Aber daß EF parallel dazu ist und auch CD=DB=EF gilt, das steht noch in den Sternen. Flächengleichheiten? Müssen auch erst mal nachgewiesen werden.


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FriedrichLaher
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  Beitrag No.5, eingetragen 2015-02-24

Flächengleichheiten: AFC = ABC/2, also AEF = ABC/4; CFB = ABC/2, also FBD = ABC/4 . somit Abstand(AB,E) = Abstand(FC,D), somit ED parallel AB; auf gleiche Weise für EF, FD.


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viertel
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  Beitrag No.6, eingetragen 2015-02-24

@Friedrich Schon richtig, aber: Flächenrechnung gehört aber nicht zu den aufgelisteten Hilfsmitteln :-?


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Ritter
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  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2015-02-24

Hallo und danke für eure Antworten. Zum Hintergrund der Aufgabe: Die Aufgabe ist aus einem Schulbuch (7. Klasse) im Kapitel "Kongruenzsatz sss". Viel ist also nicht bekannt. Die Idee, ein Dreieck zu einem Rechteck zu ergänzen, würde wohl gehen, so dass man die Fläche berechnen könnte. Auch, wenn allgemeine Flächeninhalt von Dreiecken glaube ich erst in der 8. Klasse kommen. Aber der Flächeninhalt eines Rechtecks ist bekannt. Allerdings sehe ich noch nicht, wie man hier A(AFC) = A(ABC)/2 zeigen kann. Wählt man als Grundseite jeweils AC, stößt man wieder auf das Problem, dass man EF = CD beweisen muss. Achso, mit der Grundseite AB bzw. AF und jeweils der Höhe zum Punkt C würde es gehen. Ich guck mir das mal genauer an. Die Ideen von mire2 sind mir auf den ersten Blick für mich etwas zu knapp. Ich hatte gehofft, dass es direkter mit dem Kongruenzsatz und evtl. irgendwelchen Wechselwinkeln o.ä. geht, aber ich nehme sonst erstmal die Lösung mit den Flächen. Gruß, Ritter


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FriedrichLaher
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  Beitrag No.8, eingetragen 2015-02-24

@Ritter: \quoteon Allerdings sehe ich noch nicht .. \quoteoff A(AFC) hat halbe Seitenlänge AB und gleiche Höhe darüber wie A(ABC) . EF = CD zu beweisen ist da nicht erforderlich.


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mire2
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  Beitrag No.9, eingetragen 2015-02-26

Ok, ich glaube, ich habe verstanden, woran es haperte. 8-) Das Problem lässt sich wirklich elementargeometrisch mit einfachen Mitteln lösen. http://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/9/14350_Dreieck-SSS.png Zunächst einmal spiegele ich die Punkte A und F an E (blaues Dreieck) und die Punkte B und F an D (grünes Dreieck). Weil eine Punktspiegelung dasselbe wie eine Drehung um 180° ist, sind die blauen und grünen Dreiecke kongruent zueinander, denn die zugehörigen Seiten sind jeweils paarweise (passend gewählt) gleich lang. Außerdem weiß ich, dass die gedrehten Dreiecke an der Ecke C "zusammenkleben", weil ja D bzw. E gerade die Seitenmitte ist und deshalb A bzw. B auf C gespiegelt wird. Warum ist da an C jetzt kein Knick, sondern ein gestreckter Winkel? Weil die Seiten F'C und CF'1 jeweils parallel zur Seite AB und mithin selbst parallel zueinander sind. Das reicht aber offensichtlich noch nicht aus, um zu gewährleisten, dass die Behauptung stimmt, wie folgendes Bild zeigt: \hideon http://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/9/14350_Dreieck-SSS1.png \hideoff Jetzt kommt hinzu, dass F in der Mitte von A und B liegt. Deshalb haben wir es mit Parallelverschiebungen um AB/2 zu tun (A auf F und C auf F'1) und die parallel scheinenden Linien in der ersten Zeichnung sind es dann auch wirklich. Deshalb sind die grünen und blauen Dreiecke kongruent zueinander. Und jetzt hauen wir mit ein paar Scheitel-, Stufen- und/oder Wechselwinkelargumenten so lange auf die Skizze ein, bis die Behauptung bewiesen ist. Hmm, da musste man sich aber doch echt noch ein paar Gedanken zu machen, um das sauber und spartanisch zu begründen. Gruß mire2


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Ritter
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  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2015-03-01

Danke für deine Idee, mire2! Die Stelle mit der Parallelverschiebung muss ich mir noch einmal genauer angucken, aber das Prinzip gefällt mir schon einmal. :-) Danke!


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