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| Autor |
  Flächeninhalt an Hand Rotationskörper berechnen |
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Matthew
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 30.01.2012
Mitteilungen: 111
 |  Themenstart: 2015-03-10
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Hallo, folgende Aufgabe:
Betrachte die Fläche R, die von den Graphen der Funktion y=f(x) > 0, x=a>0, x=b>a und y=0 (also der x-Achse) begrenzt wird. Es gilt Folgendes:
1. Das Volumen des Rotationskörpers, der bei Drehung von R um die x-Achse entsteht, sei 4pi.
2. Bei Drehung um die Gerade y=-1 (also paralell zur x-Achse) entsteht ein Körper mit dem Volumen 8pi. Bestimme den Flächeninhalt von R.
Sind die folgenden Überlegungen richtig?
Aus Bedingung 1 folgt:
\
int(,,a,b)\pi f(x)^2 = 4\pi, damit also
int(,,a,b) f(x)^2 = 4
Aus Bedingung 2 folgt:
\
int(,,a,b)(\pi (f(x)+1)^2 - \pi) dx = 8\pi und damit
int(,,a,b) (f(x)^2+2f(x)) dx = 8 und damit
int(,,a,b) (f(x)^2)dx + 2 int(,,a,b) f(x) dx = 8
Das linke Integral ist 4 (siehe oben Bedingung 1), damit die Gleichung dann stimmt, muss das rechte Integral 2 sein. Dieses beschreibt aber nichts anderes als den Flächeninhalt der Fläche R unter dem Graphen zwischen a und b, so dass 2 der gesuchte Flächeninhalt ist.
Stimmt das so?
Danke,
Matthew
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 Profil
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Ex_Senior
| Beitrag No.1, eingetragen 2015-03-10
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Hallo Matthew
\
V_1=\pi*int(f(x)^2,x,a,b)=4*\pi
V_2=\pi*int(((f(x)+1)^2-1),x,a,b)=8*\pi, also:
int(((f(x)+1)^2-1),x,a,b)=2*int(f(x)^2,x,a,b)=8,
bzw. Binom ausmultipliziert und zusammengefasst:
-int(f(x)^2,x,a,b)+int((2*f(x)+1-1),x,a,b)=0 bzw.
-4+int((2*f(x)),x,a,b)=0 bzw. Integral berechnet:
2*R=4 => R=2*FE
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Matthew
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 30.01.2012
Mitteilungen: 111
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2015-03-10
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Hallo,
ich verstehe nicht, wie du auf V2 kommst. Die zu drehende Fläche R grenzt doch nicht an die Gerade y=-1, so dass doch die Ringmethode zur Anwendung kommen muss. Deine Formel V2 berücksichtigt meiner Meinung nach nicht, dass die Fläche zwischen y=0 und y=-1 nicht zu R gehört und daher wieder rausgerechnet werden muss. Liege ich da wirklich so daneben?
Zudem würde ich interessieren, wo denn der Denkfehler in meinem Ansatz liegt.
Gruß,
Matthew
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Ex_Senior
| Beitrag No.3, eingetragen 2015-03-10
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Hallo Matthew
Dein Ergebnis ist korrekt mit 2.
Ich hatte übersehen, dass in der Aufgabe die Fläche R rotiert wird, sorry. Meinen Beitrag bereits angepasst.
Gruss
fermat63
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Matthew hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Matthew hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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