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 Notation von Funktionen |
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didubadap
Senior 
Dabei seit: 07.08.2014
Mitteilungen: 513
 |  Themenstart: 2015-03-26
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Hallo zusammen,
Mich hat neulich ein Studienanfänger gefragt, was diese komische Notation soll, die man verwendet, um Funktionen zu definieren. Spontan hab ich geantwortet, dass es alle Informationen enthält, die für die Definition der Funktion notwendig sind, also "warum nicht" diese Notation.
Es geht um dies:
$
\begin{array}{rcl}f:A\rightarrow B \\x\mapsto f(x) \end{array}
$
Im nächsten Schritt wusste ich aber selbst nicht, was die Notation tatsächlich soll. Vor allem ist diese Notation, wie ich bisher gesehen habe, fast immer alleinstehend und nicht kompatibel mit anderen Notationen. Ich habe schon öfter sowas gemacht, was von Korrektoren akzeptiert wurde, scheint aber sehr selten zu sein. Ist das Folgende eine allgemein akzeptierte Notation?
$
\begin{array}{cc}F: A\rightarrow B^C \\a\mapsto \left(\begin{array}{cc}C\rightarrow B \\c\mapsto a*c \end{array}\right) \end{array}
$
Jetzt wo ich darüber nachdenke, würd ich am liebsten schreiben:
$\begin{array}{rcl}f:A\rightarrow B \\x\mapsto f(x) \end{array} \Leftrightarrow f=\left(\begin{array}{cc}A\rightarrow B \\x\mapsto f(x) \end{array}\right)$
und dann Sachen wie:
$\left(\begin{array}{cc}\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \\x\mapsto x^2 \end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \\x\mapsto 2x \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \\x\mapsto x^2+2x \end{array}\right)$
$\left(\begin{array}{cc}\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \\x\mapsto x^2 \end{array}\right)(5)=25$
$\left(\begin{array}{cc}\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \\x\mapsto x^2 \end{array}\right)\circ \left(\begin{array}{cc}\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \\x\mapsto 2x+2 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \\x\mapsto (2x+2)^2 \end{array}\right)$
Also sozusagen die Schreibweise tatsächlich als gleichwertig zum Funktionssymbol verwenden. Mein Kolege, (wie ich wohl auch) ein Pedant was Notation angeht, hat dann noch gefragt, wie man Dinge wie Tupel, Matrizen und Vektoren als Funktionen auffasst. In seiner Vorlesung wurde den Studenten gerade die Kuratowski-Definition der Tupel, mit der für mich ganz und gar inakzeptablen Konsequenz $(a,b,c)=(a,(b,c))$, an den Kopf geworfen. In meiner Vorlesung wurde damals nur ein geordnetes Paar als Menge konstruiert, welches nur zur Definition einer Funktion verwendet wurde und danach nie wieder, schließlich alle Tupel als Funktionen definiert. Das ist aber anscheinend extrem unüblich?
Bei uns hat die Definition der Funktion (selbst ein -nie wieder zu verwendendes- geordnetes Paar) nur aus dem Graphen und dem Wertebereich bestanden (der Graph war dann eine Menge -nie wieder zu verwendeter- geordneter Paare). Bei meinem Kolegen haben sie den Definitionsbereich dazugenommen und er regt sich auf darüber, dass, während man so tut als würde man alles akribisch definieren und die Studenten mit dem Beweis der Tupeleigenschaft für verschachtelt definierte Kuratowski-Tripel quält, die Hälfte der Notation undefiniert bleibt. Sicher sind das alles irrelevante Haarspaltereien, ich hab mir das Ganze aber damals in meiner Vorlesung auch nicht zuendeüberlegt.
Das wichtigste ist mir, dass ich $(a,b,c)=(a,(b,c))$ als FALSCH ansähe, würde mir sowas im Alltag, in dem auf irgendwelche Definitionen von "Funktion" und "Tupel" kein Bezug genommen wird, mal begegnen. Stehe ich damit allein da?
Ich würde dann im weiteren auch gerne ein istgleich setzen zwischen einem Tupel (und dann auch einer Matrix) und irgendeiner Notation für die Funktion, welche dieser Matrix zugrundeliegt.
Also irgendwas in dieser Richtung:
$\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}
\end{pmatrix}=(a_{ij})_{(i,j) \in\{1,2\}^2}=\left(
\begin{array}{rcl}\{1,2\}^2\rightarrow X \\(i,j)\mapsto a_{ij} \end{array}\right)
$
Kennt ihr Quellen, auf die ich meinen Kollegen dazu verweisen könnte? Ich möchte ihm eigentlich nicht meine eigene seltsame (hier erläuterte) Denkweise zu diesen Notationen aufdrängen, die nirgendwo verwendet wird. Oder wie seht ihr das?
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Quantum-007
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| Beitrag No.1, eingetragen 2015-03-26
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Hi didubadap,
ich persönlich finde ja diese Notation am schönsten:
$f : \begin{cases}
A \rightarrow B \\
x \mapsto f(x)
\end{cases}$
Ansonsten ist die Notation ganz am Anfang bei dir, also
$\begin{array}{rcl}f:A\rightarrow B \\x\mapsto f(x) \end{array}$
(oder von einem Komma getrennt hintereinander) in Vorlesungen sehr üblich.
Und vergiss bitte den Käse, Funktionen mit dem Graphen identifizieren zu wollen - das ist so mengentheoretisch.
LG Quantum
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didubadap
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2015-03-26
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Dass die erste Notation üblich ist, war mir durchaus klar. Es geht mir um die weiteren. Sowas wie die Geschweifte Klammer ist ja ausschließlich eine ästhetische Frage, mir geht es aber um die tatsächliche Bedeutung der Notation und die Kompatibilität mit Dingen wie "Istgleich".
Wie schon gesagt bin ich ein Pedant, das heißt ich möchte von einer "zusammenhängenden Symbolanhäufung" sagen können was diese entweder aussagt (in irgendeinem Sinne logische Aussage) oder bezeichnet (ein mathematisches Objekt). Diese Funktionendefinition scheint keins vom Beiden zu tun; Man kann sie als Aussage auffassen, wie ich es bei meiner dritten Latex-Verwendung angedeutet habe, dann sagt sie sowas wie "die Funktion f ist ein bestimmtes Objekt". Mir ist dabei die Unterscheidung nicht unwichtig zwischen den Aussagen "F ist eine Funktion die das und das tut" und "f ist GLEICH diesem Mathematischen Objekt, das ich mit meiner Notation hinschreiben kann".
Dass alles als Mengen aufgefasst wird mag veraltet und in vielen Fällen unnatürlich sein, aber um Grundlagenfragen soll es hier gar nicht gehen, nur um Notation. Fakt ist: Ob es einem gefällt oder nicht, in Anfängervorlesungen werden immernoch mathematische Objekte als Mengen definiert (sofern sie definiert werden). Ich bin als Pedant der Meinung man sollte sie irgendwie definieren (da könnt ihr gerne anderer Meinung sein, ich betone nochmals, dass es mir an dieser Stelle nicht darum geht). Anzufangen den Erstsemestern Kathegorientheorie und Typentheorie beizubringen scheint nicht besonders sinnvoll, also kommt dabei halt eine Mengendefinition von Funktionen heraus, die man nie wieder verwendet.
Wenn man nun aber meint Leute mit verschachtelten Tripeln quälen zu müssen, könnte man genauso gut der allgemein verwendeten Notation einen klaren Sinn geben. Meine Auffassung der Notation, vielleicht mit Weglassen der Definitions- und Zielbereiche wo diese klar sind, gefällt mir eigentlich ganz gut. Allerdings habe ich sie noch nie so verwendet gesehen. Sollte ich meinem Komilitonen also antworten die Notation ist inkompatibel mit Dingen wie "Istgleich", bezeichnet sozusagen (in der formalen Sprache, die man sich vielleicht einbildet implizit zu verwenden) eine Abkürzung für "f ist Funktion und tut ..." ?
edit: bitte sagt mir was ihr von $(a,b,c)=(a,(b,c))$ haltet. Ich finde, das sollte in der Praxis als falsch angesehen werden.
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Quantum-007
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| Beitrag No.3, eingetragen 2015-03-26
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\quoteon(2015-03-26 02:08 - didubadap in Beitrag No. 2)
Wie schon gesagt bin ich ein Pedant, das heißt ich möchte von einer "zusammenhängenden Symbolanhäufung" sagen können was diese entweder aussagt (in irgendeinem Sinne logische Aussage) oder bezeichnet (ein mathematisches Objekt). Diese Funktionendefinition scheint keins vom Beiden zu tun; Man kann sie als Aussage auffassen, wie ich es bei meiner dritten Latex-Verwendung angedeutet habe, dann sagt sie sowas wie "die Funktion f ist ein bestimmtes Objekt". Mir ist dabei die Unterscheidung nicht unwichtig zwischen den Aussagen "F ist eine Funktion die das und das tut" und "f ist GLEICH diesem Mathematischen Objekt, das ich mit meiner Notation hinschreiben kann".
\quoteoff
Wenn man $f$ wie oben einmal als Funktion eindeutig über Quell- und Zielbereich sowie Funktionsvorschrift definiert hat, dann bezeichnet $f$ auch (genau) eine Funktion mitsamt all ihren Eigenschaften.
Dein Vorschlag scheint hier in die Richtung gehen zu wollen, bei jeder Verwendung eines definierten Symbols noch einmal alle wesentlichen, d.h. das Objekt eindeutig charakterisierenden Eigenschaften in die Notation einzubauen.
Vielleicht ganz nett die Idee, aber sehr unpraktisch, da es unnötig mehr Schreibaufwand bedeutet und den Lesefluss erheblich stört. Und sollte man in der Praxis einmal vergessen haben, wofür "f" im Kontext steht, kann man ja immer noch zu dem Punkt zurückspringen, andem das Symbol definiert wurde.
\quoteon(2015-03-26 02:08 - didubadap in Beitrag No. 2)
Meine Auffassung der Notation, vielleicht mit Weglassen der Definitions- und Zielbereiche wo diese klar sind, gefällt mir eigentlich ganz gut. Allerdings habe ich sie noch nie so verwendet gesehen. Sollte ich meinem Komilitonen also antworten die Notation ist inkompatibel mit Dingen wie "Istgleich", bezeichnet sozusagen (in der formalen Sprache, die man sich vielleicht einbildet implizit zu verwenden) eine Abkürzung für "f ist Funktion und tut ..." ?
\quoteoff
Macht man ja auch. Normalerweise hat man dann schon vorher irgendwo festgelegt, welche Bedeutung bestimmte Symbole im/in den nachfolgenden Text(en) haben sollen.
Antworte deinem Kommilitonen, dass es an der bisherigen Notation bzgl. Präzision nichts auszusetzen gibt und dass man im gegebenen Fall wissen sollte, was "=" eigentlich gerade bedeutet. Für Tupel z.B. ist die Gleichheit komponentenweise festgelegt.
LG Quantum
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Ehemaliges_Mitglied
| Beitrag No.4, eingetragen 2015-03-26
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"There is no special significance to the form of the definition of (x,y). It is just a convenient way of reducing the idea of ordered pairs to unordered pairs." - Paul Cohen
Im Buch: SET THEORY AND THE CONTINUUM HYPOTHESIS
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Ehemaliges_Mitglied
| Beitrag No.5, eingetragen 2015-03-26
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@Quantum-007: Du schreibst: "Und vergiss bitte den Käse, Funktionen mit dem Graphen identifizieren zu wollen - das ist so mengentheoretisch"
Beschäftige du dich erstmal mit der Mengenlehre und den Grundlagen der Mathematik, bevor du solche dummen Kommentare von dir gibst! Funktionen sind als spezielle Mengen geordneter Paare definiert.
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Tolotos
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| Beitrag No.6, eingetragen 2015-03-26
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\quoteon(2015-03-26 15:55 - Quantum-007 in Beitrag No. 3)
\quoteon(2015-03-26 02:08 - didubadap in Beitrag No. 2)
Wie schon gesagt bin ich ein Pedant, das heißt ich möchte von einer "zusammenhängenden Symbolanhäufung" sagen können was diese entweder aussagt (in irgendeinem Sinne logische Aussage) oder bezeichnet (ein mathematisches Objekt). Diese Funktionendefinition scheint keins vom Beiden zu tun; Man kann sie als Aussage auffassen, wie ich es bei meiner dritten Latex-Verwendung angedeutet habe, dann sagt sie sowas wie "die Funktion f ist ein bestimmtes Objekt". Mir ist dabei die Unterscheidung nicht unwichtig zwischen den Aussagen "F ist eine Funktion die das und das tut" und "f ist GLEICH diesem Mathematischen Objekt, das ich mit meiner Notation hinschreiben kann".
\quoteoff
Wenn man $f$ wie oben einmal als Funktion eindeutig über Quell- und Zielbereich sowie Funktionsvorschrift definiert hat, dann bezeichnet $f$ auch (genau) eine Funktion mitsamt all ihren Eigenschaften.
Dein Vorschlag scheint hier in die Richtung gehen zu wollen, bei jeder Verwendung eines definierten Symbols noch einmal alle wesentlichen, d.h. das Objekt eindeutig charakterisierenden Eigenschaften in die Notation einzubauen.
Vielleicht ganz nett die Idee, aber sehr unpraktisch, da es unnötig mehr Schreibaufwand bedeutet und den Lesefluss erheblich stört. Und sollte man in der Praxis einmal vergessen haben, wofür "f" im Kontext steht, kann man ja immer noch zu dem Punkt zurückspringen, andem das Symbol definiert wurde.
\quoteoff
Wo schreibt er das denn? Auch bei ihm kann man ja schreiben "f = ..." und dann in Zukunft mit dem Symbol "f" hantieren. Der einzige Vorteil, denn man für "benannte Funktionen" hat, ist bei ihm halt, dass es "mehr so aussieht", wie normal wenn man etwas definiert. (Nicht "Sei f:....", sondern eben "Sei f = ...."). Präziser ist es aber natürlich nicht, es ist ja nur eine Notation.
Einen enormen Vorteil hat man natürlich wirklich, wenn man zwischendrin kurz mit Funktionen hantiert, denen man nicht unbedingt einen Namen geben will. Dann ist seine Notation meiner Ansicht nach tatsächlich besser, das kommt aber selten genug vor, dass es nicht allzu relevant ist.
Warum sich das andere durchgesetzt hat? Wahrscheinlich irgendwelchen historischen Gründe...
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Quantum-007
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| Beitrag No.7, eingetragen 2015-03-26
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Dieses Problem dürfte eigentlich bei so gut wie jeder Definition über Kennzeichnungen auftreten. So kann man z.B. $x$ als diejenige ganze Zahl setzen, die zwischen 0 und 5 liegt und modulo 5 den Rest 3 lässt. Das geht so jetzt auch nicht wesentlich einfacher darzustellen als es eben auszuformulieren.
Logisch ließe sich das im Fall von Funktionen wie folgt mit dem Kennzeichenoperator modellieren:
$f = \iota x \; x \text{ ist Funktion von $\mathbb{R}$ nach $\mathbb{R}$ mit der Vorschrift } x(t)=t^{2}$
So hat man die gewünschte Gleichheit. Jetzt kann man sich natürlich noch schönere, kompaktere Notationen dafür ausdenken, wobei jede für sich ihre Vor- und Nachteile besitzt. Bei der klassischen Notation sehe ich eben den Vorteil, dass man sich Schreibarbeit sparen kann und Übersichtlichkeit gewinnt.
LG Quantum
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Quantum-007
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| Beitrag No.8, eingetragen 2015-03-26
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Wenn ich einmal kurz doppelposten darf, um im Thread nachträglich noch auf etwas einzugehen:
\quoteon(2015-03-26 16:58 - asdfusername in Beitrag No. 5)
@Quantum-007: Du schreibst: "Und vergiss bitte den Käse, Funktionen mit dem Graphen identifizieren zu wollen - das ist so mengentheoretisch"
Beschäftige du dich erstmal mit der Mengenlehre und den Grundlagen der Mathematik, bevor du solche dummen Kommentare von dir gibst! Funktionen sind als spezielle Mengen geordneter Paare definiert.
\quoteoff
Was ist für dich intuitiv eine Funktion?
Charakteristisch für Funktionen ist doch, dass man sie auf etwas anwenden kann. Bei der mengentheoretischen Definition ist das nicht so ohne weiteres ersichtlich, wie das genau funktionieren soll.
1. Was ist $f(a)$, wobei $f = \{(x, x^{2})|x \in \mathbb{R}\} \subset \mathbb{R} \times \mathbb{R}$?
Sieht schonmal sehr komisch aus, hier eine Menge auf $a$ anwenden zu wollen und ist auch zunächst nicht ganz klar.
2. Wir verleihen $f(a)$ folgende Bedeutung: $f(a)=a^{2}$.
Das kann man so machen. Aber genau genommen führen wir, um von der als Relation definierten Funktion $f$ auf die Zuweisung zu kommen - wenn auch nicht explizit ausgeführt, so zumindest im Kopf - eine Injektion und eine Projektion aus:
$a \rightarrow (a,a^{2}) \rightarrow a^{2}$.
Wir greifen also wieder automatisch auf das für Funktionen charakteristische "Input-Output-Prinzip" zurück, obwohl wir es doch gerade mengentheoretisch ersetzen wollten. Genau diese Eigenschaft geht verloren, wenn wir eine Funktion auf ihren Graphen abbilden. Funktionelle Zuweisung ist eine Eigenschaft, die so nicht in der Mengenlehre festgehalten wird.
Eine Menge ist keine Funktion!
Warum sollte man den Funktionen also nicht ihre höhere Natur zugestehen, wenn sie so ganz elementar in unserem Denken vorkommen?
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Ehemaliges_Mitglied
| Beitrag No.9, eingetragen 2015-03-26
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@Quantum-007: Du schreibst: "Eine Menge ist keine Funktion".
Das ist Definitionssache. Ich kann dir Literatur angeben, wo Funktionen als spezielle Mengen definiert werden.
Des Weiteren schreibst du: "Warum sollte man den Funktionen also nicht ihre höhere Natur zugestehen, wenn sie so ganz elementar in unserem Denken vorkommen?"
Naja, ich stelle mir eine Funktion schon (fast) seitdem ich den Begriff "Funktion" kenne als Menge geordneter Paare vor. So kommt die Funktion in meinem Denken vor.
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kurzefrage9
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| Beitrag No.10, eingetragen 2015-03-26
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@Quantum @asdfusername
Wir können den Begriff der Funktion relativieren:
Sei jedes Objekt eine Funktion, und jede Funktion ein Objekt.
Ein sehr interessanter Ansatz, den man sich mal durch den Kopf gehen lassen sollte.
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Quantum-007
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| Beitrag No.11, eingetragen 2015-03-26
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\quoteon(2015-03-26 23:01 - asdfusername in Beitrag No. 9)
@Quantum-007: Du schreibst: "Eine Menge ist keine Funktion".
Das ist Definitionssache. Ich kann dir Literatur angeben, wo Funktionen als spezielle Mengen definiert werden.
\quoteoff
Es geht halt darum, und ich meine, bereits Gockel und Co. haben dich damit belästigt ;), dass mathematische Grundbegriffe auch wirklich ihrer Verwendung gerecht werden sollten und das ist bei relational-mengentheoretisch definierten Funktionen aus eben genanntem Grund nicht der Fall.
Für den Satz "Mengen sind keine Funktionen" verwende ich hierbei die intuitivere Definition über Domäne, Kodomäne und Vorschrift. Aber klar, man kann Funktionen als Mengen definieren - nur ist das etwas realitätsfremd.
\quoteon(2015-03-26 23:17 - kurzefrage9 in Beitrag No. 10)
@Quantum @asdfusername
Wir können den Begriff der Funktion relativieren:
Sei jedes Objekt eine Funktion, und jede Funktion ein Objekt.
Ein sehr interessanter Ansatz, den man sich mal durch den Kopf gehen lassen sollte.
\quoteoff
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.9 begonnen.]
Den Ansatz, Objekte einer Kategorie durch Pfeile darzustellen und nur mit diesen auszukommen habe ich schon gesehen, steht sogar ganz am Anfang im MacLane. Jedoch umgekehrt noch nicht und ich ziehe es in Zweifel.
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didubadap
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| Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2015-03-26
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Ich bitte sehr darum Disskussionen zu Grundlagenfragen in einem anderen Thema zu besprechen. Für mich ist an dieser Stelle wichtig, dass sämtliche Fragen zur Notation davon unabhängig sind, wie man eine Funktion definiert hat. Wichtig sind nur die folgenden zwei Tatsachen, die in einer Definition vorkommen sollten:
- eine Funktion ist ein mathematisches Objekt
- eine Funktion enhält (zumindest) die Zuordnungsvorschrift und den Zielbereich als Informationen
Ob man sich das als Menge vorstellt oder nicht ist dabei absolut nicht von Belang. Mich würde viel mehr eure Meinung interessieren zur Auffassung von Matrizen und Tupeln als Funktionen. Weiterhin hat sich immernoch niemand zu der verschachtelten Tupel-Definition $(a,b,c)=(a,(b,c))$ geäußert. Ich finde immernoch diese Gleichung, unabhängig davon was man als Definition von Tupeln hernimmt, sollte als falsch angesehen werden. Wie ich bereits gesagt habe würde ich Tupel als Funktionen definieren, in jedem Fall bin ich aber der Meinung, die Kuratowski-Definition des geord. Paars und insbesondere diese Verschachtelte Übertragung des Konzepts auf Tupel ist schlecht.
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Quantum-007
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| Beitrag No.13, eingetragen 2015-03-26
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@didubadap:
Es besteht zumindest eine mengentheoretische Isomorphie (=Bijektion) zwischen $A \times B \times C$ und $A \times (B \times C)$. Von daher ist das vom mathematischen Standpunkt aus egal. :-)
Es stellt sich ja eh noch die Frage, wie man $A \times B \times C$ überhaupt konstruiert oder besser gesagt, in welcher Reihenfolge, wenn man vom kartesischen Produkt zweier Mengen ausgehen will.
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Ehemaliges_Mitglied
| Beitrag No.14, eingetragen 2015-03-26
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@didubadap: Ich habe mich schon zur mengentheoretischen Definition der Tupel geäußert (und zwar in Form eines Zitates). Man kann dies, was ich zitiert habe, auch auf verschachtelte Tupel übertragen:
Es ist ein ganz brauchbarer Weg, um die Idee des Tripels auf geordnete Paare zu übertragen (die gewöhnliche mengentheoretische Definition). Aber mehr auch nicht. Es ist nicht von großer Bedeutung. Man soll sich nicht über diese eine Möglichkeit, Tripel zu definieren, den Kopf zerbrechen.
@Quantum-007: Du schreibst: "Aber klar, man kann Funktionen als Mengen definieren - nur ist das etwas realitätsfremd".
Mathematik ist halt eine abstrakte Wissenschaft.
Des Weiteren schreibst du: "... dass mathematische Grundbegriffe auch wirklich ihrer Verwendung gerecht werden sollten und das ist bei relational-mengentheoretisch definierten Funktionen aus eben genanntem Grund nicht der Fall".
Das ist Meinungssache. Ich bin zurzeit nicht deiner Meinung. ;-)
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.12 begonnen.]
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didubadap
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Dabei seit: 07.08.2014
Mitteilungen: 513
| Beitrag No.15, vom Themenstarter, eingetragen 2015-03-26
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Mir ist bekannt was eine Isomorphie ist.
So wie ich bisher darüber gedacht habe war
$A\times B\times C\neq (A\times B)\times C\neq A\times (B\times C)$
Das selbe betont Gockel für Tensorprodukte in seinem Tensorprodukt-Artikel. Die univerellen Eigenschaften, die diese Objekte definieren unterscheiden sich jeweils. Natürlich sind die Objekte alle Isomorph, aber man setzt gewönlich keine Istgleichs zwischen nur isomorphe Dinge.
Das nächste ist dann, dsss in die Situation kommen kann, in der man tatsächlich einen Tupel betrachten möchte, der als Elemente sagen wir Zahlen und geordnete Paare von Zahlen hat. (zum Beispiel im Kontext von Kombinatorik ist sowas sicher nicht unmöglich)
Und dann kommt irgendjemand daher und behauptet das Ganze sei eigentlich ein anders gearteter Tupel. Man würde so Jemandem sagen, dass er aufhören soll Probleme zu machen wo keine sind. Trotzdem sehe ich keinen Grund in der Definition eine solche Diskussion von vornherein überhaupt zuzulassen.
Ich möchte wissen was ihr in der Praxis denken würdet, wenn irgendwo in der Praxis jemand etwas schreibt, das auf $(a,b,c)=(a,(b,c))$ hinausläuft. Ich würde das, ohne mich daran unbedingt aufzuhängen, sehr seltsam finden.
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.13 begonnen.]
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Quantum-007
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 06.10.2013
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Wohnort: Niedersachsen
| Beitrag No.16, eingetragen 2015-03-27
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Isomorphie muss nicht Gleichheit bedeuten, das stimmt. Im Fall des Tensorprodukts in Gockels Artikel wurde dieses aber auch gleich allgemein für mehrere Vektorräume definiert. Genauso kann man auch das kartesische Produkt allgemein für mehrere Mengen definieren, am besten auch über eine universelle Eigenschaft. Dann ist der Unterschied
$(A \times B) \times C \neq A \times B \times C \neq A \times (B \times C)$
oder entsprechend für Elemente
$((a,b),c) \neq (a,b,c) \neq (a,(b,c))$
zwar gegeben, aber wegen der Isomorphie lassen sich die Elemente aufeinander abbilden und der Unterschied ist daher mathematisch nicht so ausschlaggebend.
Nachtrag: Vielleicht sollte man schon, sofern man das kartesische Produkt universell definiert, eine Standardkonstruktion aus der Mengenlehre angeben können. Sonst wird Gleichheit/Ungleichheit nicht klar.
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Ehemaliges_Mitglied
| Beitrag No.17, eingetragen 2015-03-27
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Theorem. $\exists A, B, C : (A \times B) \times C = A \times (B \times C)$.
Beweis. Wir setzen $A=C=\emptyset$. Es gilt $(A \times B) \times C = \emptyset$, da $C = \emptyset$. Außerdem $A \times (B \times C) = \emptyset$, da $A = \emptyset$.
Und noch einmal: Deine Definition des Tripels ist nur eine Möglichkeit, Tripel (mengentheoretisch) zu definieren. Sie erweist sich bei der mengentheoretischen Fundierung der Mathematik als praktisch, da sie das Prinzip von Tripeln in einer einfachen Weise auf geordnete Paare zurückführt.
Lassen wir wieder mal den Meister zu Wort kommen:
"The ordered triple may now be defined in terms of the ordered pair.
1.14 Dfn (x,y,z) = ( x , ( y , z ) ).
The corresponding theorem holds for the ordered triple."*
Mit "corresponding theorem" ist dabei gemeint, dass wenn zwei beliebige Tripel gleich sind, alle ihre Komponenten gleich sind. Diese Forderung stellt man nämlich an eine Definition für Tripel, und auch vorher an Tupel, usw. (allgemein: an n-Tupel).
*Kurt Gödel, Consistency of the CH.
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Ehemaliges_Mitglied
| Beitrag No.18, eingetragen 2015-03-27
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Sei jedes Objekt eine Menge, und jede Menge ein Objekt.
Ein sehr interessanter Ansatz, den man sich mal durch den Kopf gehen lassen sollte.
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| didubadap hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen. |
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