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Gewöhnliche DGL » Lineare DGL 2. Ordnung » Fundamentalsystem
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Universität/Hochschule Fundamentalsystem
Rene_21
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2015-04-21


Hallo,

Ich hätte da mal eine Frage zu folgender Aufgabe bei der ich nicht ganz weiß ich fortfahren soll.





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doglover
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2015-04-21


Hallo Rene_21,

ich gehe mal davon aus dass du mit Wronskimatrix eine Fundamentalmatrix meinst. Du hast eine lineare DGL vorliegen und daher wird der Lösungsraum durch deine beiden gefunden Lösungen aufgespannt <math>L=span\{\sqrt{x},x\}</math>. Jede Basis dieses Lösungsraums bildet ein Fundamentalsystem (damit auch deine beiden angegbenen Lösungen) der gegebenen DGL. Für ein gegebenes Fundamentalsystem <math>y_1,y_2</math> ist die zugehörige Fundamentalmatrix: <math>\Phi(x)=\begin{pmatrix} y_1(x) & y_2(x) \\ y^{"}_1(x) & y^{"}_2(x) \end{pmatrix}</math> (siehe auch de.wikipedia.org/wiki/Fundamentalsystem_%28Mathematik%29#Homogene_lineare_Differentialgleichung_h.C3.B6herer_Ordnung).

Du sollst nun eine Basis des Lösungsraumes finden, sodass die zu diesem Fundamentalsystem gehörige Fundamentalmatrix die Eigenschaft <math>\Phi(1)=1</math> hat.

<math>\textbf{Edit}:</math> Als Hinweis: Überlege dir wie du die Bestimmung von <math>y_1(x),y_2(x)</math> auf Anfangswertprobleme zurückführen kannst.

Viele Grüße doglover



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Rene_21
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2015-04-21


Hallo doglover,

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doglover
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2015-04-21


Hallo Rene,

lies dir nochmal meinen Beitrag durch oder schau dir den Wikipediaartikel an (manchmal hilft es das Gleiche nochmal in anderen Worten zu lesen). Der Punkt ist, dass es nicht DIE Fundamentalmatrix gibt. Im Gegenteil! Zu jeder Basis <math>B=\{y_1(x),y_2(x)\}</math> des Lösungsraumes gibt es eine Fundamentalmatrix. Man müsste also genauer <math>\Phi(x)=\Phi(B,x)</math> schreiben, da die Matrix von der Basis <math>B</math> abhängt. Wie die Matrix von der Wahl der Basis abhängt, kannst du meinem ersten Beitrag entnehmen. Gesucht sind also zwei linear unabhängige "Vektoren" <math>y_1(x),y_2(x)</math> des Lösungsraumes, deren Fundamentalmatrix an der Stelle <math>x=1</math> die Einheitsmatrix ergibt.

Du musst dir also zuerst überlegen wie zwei allgemeine Vektoren <math>y_1,y_2</math> des Lösungsraumes durch deine gefundenen Lösungen dargestellt werden können und anschließend aus der Forderung <math>\Phi(\{y_1,y_2\},1)=1</math> Bedingungen für die auftretenden Koeffizienten herleiten. Damit kannst du das Problem auf zwei Anfangswertprobleme reduzieren und die gesuchten <math>y_1,y_2</math> bestimmen.

Hoffe das hilft dir weiter.

Viele Grüße doglover



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Rene_21
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2015-04-21


Hey,

Ist es nicht so dass meine gefundenen Lösungen die einzige Basis dieses Lösungsraumes bilden?,oder ist das ein großer Denkfehler von mir,denn du schreibst in deinen Beiträgen zu jeder Basis des Lösungsraumes existiert eine Fundamentalmatrix,dass ist etwas das ich überhaupt nicht verstehe.

Du schreibst auch das es nicht DIE Fundamentalmatrix gibt aber warum hat sie dann immer dieselbe Form sowie in deinem ersten Beitrag?,dann muss sie ja immer gleich sein denn es gibt ja nur diese zwei Lösungen ,das verwirrt mich extrem.Hab das jetzt ein paar mal durchgelesen doch das ist irgendwie ganz komisch.



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doglover
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2015-04-22


Hallo Rene,

2015-04-21 21:56 - Rene_21 in Beitrag No. 4 schreibt:
Hey,

Ist es nicht so dass meine gefundenen Lösungen die einzige Basis dieses Lösungsraumes bilden?,oder ist das ein großer Denkfehler von mir,denn du schreibst in deinen Beiträgen zu jeder Basis des Lösungsraumes existiert eine Fundamentalmatrix,dass ist etwas das ich überhaupt nicht verstehe.

Du schreibst auch das es nicht DIE Fundamentalmatrix gibt aber warum hat sie dann immer dieselbe Form sowie in deinem ersten Beitrag?,dann muss sie ja immer gleich sein denn es gibt ja nur diese zwei Lösungen ,das verwirrt mich extrem.Hab das jetzt ein paar mal durchgelesen doch das ist irgendwie ganz komisch.

du scheinst hier einige Dinge durcheinander zu bringen. Im ersten Teil schreibst du z.B., dass deine Lösungen eine Basis des Lösungsraumes sind und im zweiten, dass es die einzigen zwei Lösungen sind.

Ich fasse es nochmal zusammen (auch wenn dir das Folgende womöglich klar sein sollte): Uns liegt eine lineare DGL 2.ter Ordnung vor. Du hast zwei linear unabhängige Lösungen gefunden. Diese 2 linear unabhängigen Lösungen bilden nun die Basis des 2-dimensionalen reellen (Vektor-)Lösungsraumes. Das bedeutet insbesondere, dass deine Lösungen <math>\textbf{nicht}</math> die einzigen Lösungen sind (Jede Linearkombination deiner Lösungen ist wieder eine Lösung). Ganz allgemein hat auch jeder 2-dimensionale <math>\mathbb{R}</math>-Vektorraum mehr als eine Basis. Ist <math>\{b_1,b_2\}</math> eine Basis eines Vektorraumes, so ist es auch z.B. <math>\{b_1,b_1+b_2\}</math>. Allgemeiner ist durch alle zwei Vektoren <math>c_1=a\cdot b_1+b\cdot b_2,c_2=c\cdot b_1+d\cdot b_2</math>, die linear unabhängig sind, eine Basis gegeben. Der Lösungsraum (der einfach nur ein 2-dim. Vektorraum ist) ist da keine Ausnahme. Es geht hier also darum eine <math>\textbf{andere}</math> Basis des Vektorraumes zu finden. Du hast sozusagen eine Basis <math>\{b_1,b_2\}</math>, möchtest aber eine Basis <math>\{c_1,c_2\}</math>, die die geforderte Eigenschaft besitzt. Wie ich schon zuvor geschrieben habe, beeinflußt die Wahl der Basis die Gestalt der Fundamentalmatrix (auch wenn die Fundamentalmatrix für jede gegebene Basis nach dem gleichen Schema berechnet wird).
Das du gerade die Lösungen <math>\sqrt{x},x</math> erhälst, liegt übrigens an deinem Ansatz. Du hättest auch <math>a\cdot x^{c}+b\cdot x^k</math> ansetzen können und wärst dann auf die allgemeinste Lösung gekommen.

Ich hoffe das trägt etwas zum Verständnis bei. Bei weiteren Fragen melde dich nochmal.

Herzliche Grüße doglover



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Rene_21
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2015-04-22


Hallo doglover,

Ich habe es jetzt begriffen wie es geht und die Aufgabe gelöst,

Vielen Dank für deine super Hilfe.

Lg,René



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vega187
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2017-03-09


Hallo doglover und andere,

bin durch die Suche auf diesen nicht mehr ganz so frischen Beitrag gestoßen. Er passt ganz gut zu dem wonach ich gerade eine Antwort suche, weshalb ich mich hier mal dran hängen möchte.

Es geht um die Ansätze zu linearen gewöhnlichen Differentialgleichungssystemen erster Ordnung mit nicht konstanten Koeffizienten. In der Literatur habe ich bisher nur finden können, dass es keine allg. Vorgehensweise für diesen Typ gibt man die Ansätze durch "probieren", "raten" und/oder durch "scharfes hinsehen" aufstellt. Dies ist auch in diversen Aufgaben so nachvollziehbar für mich. Allerdings frage ich mich, welche Ansätze es allg. gibt. Gibt es dazu vielleicht eine Übersichtstabelle mit den diversen (sinnvollen) Ansätzen, die man dann probieren könnte um die Parameter des Ansatzes zu bestimmen? Wenn ja könnte mir einer eine entsprechende Quelle nennen?

Ganz konkret frage ich in diesem Beitrag, weil doglover in seinem letzten Beitrag u.a. folgendes schrieb:
"Das du gerade die Lösungen <math>\sqrt{x},x</math> erhälst, liegt übrigens an deinem Ansatz. Du hättest auch <math>a\cdot x^{c}+b\cdot x^k</math> ansetzen können und wärst dann auf die allgemeinste Lösung gekommen."
Ist das so zu verstehen, dass dies für eine Dgl. 2. Ordnung der allgemeinste Ansatz ist??

Also falls Du doglover oder andere mir dazu noch einen Hinweis oder sogar Quellen geben könntet wäre ich dafür sehr dankbar...

VG Vega




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Wally
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2017-03-09


Hallo, Vega,

das steht wirklich in vielen Büchern.

Bei einer Dgl. mit konstanten Koesffizienten gibt es Ansätze für Inhomogenitäten, die Linearkombinationen von Termen des Typs <math>P(x)e^{\mu x}</math> sind (<math>P</math> Polynom), das schließt Sinus/Cosinus-Terme als komplexe Exponentialfunktionen mit ein.

Bei Dgl. vom Euler-Typ muss man entsprechend für Logarithmen dieser rechten Seiten passende Logarithmen der Ansätze nehmen.

Wally



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vega187
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2017-03-09


Hallo Wally,

erstmal Danke für deine schnelle Antwort. Aber ich sehe gerade, dass ich mich nicht gerade genau ausgedrückt habe. Ich meinte nicht die inhomogene Lsg. sondern die homogene Lsg. von <math>\dot{x}(t) = A(t)*x(t)</math>. Also die Ansätze, um bei einer nicht konstanten Koeffizientenmatrix <math>A(t)</math>  ein Fundamentalsystem aufstellen zu können.

Z.B. inm nachfolgenden pdf die Ansätze im Aufgabenteil 1 a):
www.math.uni-hamburg.de/teaching/export/tuhh/cm/d1/1415/loes3_h_dgl1_14.pdf
Ich könnte ja sicher noch andere Ansätze wählen?!? Deshalb die Frage, ob es dazu auch Tabellen mit Ansätzen gibt (weil weiter oben von der allgemeinsten Lösung/Ansatz? die Rede war) die einem die Auswahl erleichtern?

VG Vega



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Wally
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2017-03-10


Hallo, Vega,

da gibt es nur die Dgl-Systeme mit konstanten Koeffizienten und Systeme, die sich darauf transformieren lassen, im Wesentlichen die zu Euler-Dgl. analogen der Form <math>\dot x=\frac{1}{t} Ax</math>.

Die Systeme in deinem Übungsblatt sind von der Lösung ausgehend konstruiert, um das Reduktionsverfahren zu üben - bei einem beliebigen System dieser Form hat man wohl keine Chance.

Wally



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vega187
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2017-03-12


Hallo Wally,

das ist leider nicht ganz die erhoffte Antwort, dachte das es u. U. ein Auswahl an möglichen Ansätzen gibt bei denen ich dann die Koeffizienten wie im PDF bestimmen kann, um damit letzten Endes mein Fundamentalsystem zu bestimmen.
Sei's drum, dann bleibt wohl leider doch nur das "probieren/raten" des Ansatzes.
Danke für Deine Unterstützung!

Vg Vega



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Rene_21 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Rene_21 hatte hier bereits selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
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