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Logik, Mengen & Beweistechnik » Relationen und Abbildungen » Mengen und Abbildungen
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Universität/Hochschule J Mengen und Abbildungen
DaMenge
Senior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 24.07.2001
Mitteilungen: 1178
Wohnort: Bonn
  Themenstart: 2002-10-18

Hallo Freunde, Ich hab folgendes Problem : Die LinAlg Vorlesung heute ist ausgefallen, aber die Übungen sind bis Dienstag fällig - nur leider kann ich wegen des fehlenden Stoffes nix damit anfangen!  Wäre nett, wenn ihr mir helfen würdet - ist auch eine Ausnahme und ich revanchiere mich mit einem Artikel über Peano und Kommutativgesetz, etc. [Greetings to Fabi ] Also (a) Beweisen Sie : für eine Indexmenge I und Mengen A und Bi, i Î I gilt : AÈ(UBi)=U(AÈBi) [Hinweis : das 'U' ist eigentlich ein umgedrehtes U, also ein grosses Und-Zeichen - drunter steht jeweils : iÎI] (b) : Es seien A und B endliche Mengen und f eine Abbildung von A auf B. Beweise : (i) : f injektiv ==> |A| £ |B| (ii) : f surjektiv ==> |A| ³ |B| (iii) : f bijektiv ==> |A| = |B| Man vereinbart daher für beliebige Mengen, dass |A|=|B| bedeuten soll, dass es eine Bijektion f von A auf B gibt. Es heißen dann A und B gleichmächtig. Hinweis : Aufgabe (b) könnte ich auch zeigen, indem ich argumentiere, z.B. : Wenn alle Werte von B in der eindeutigen Abbildung f enthalten sein sollen, muss A mindestens genauso viele Werte haben... Aber kann man das auch mathematisch ausdrücken?!? An Matroid : Die komischen '|x|' sollen Beträge sein, bzw. hier : schätze ich mal die Anzahl der Elemente der Menge thx.. schon mal im Vorraus MFG DaMenge [ Nachricht wurde editiert von DaMenge am 2002-10-18 20:59 ] [ Nachricht wurde editiert von DaMenge am 2002-10-18 20:59 ]

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Fabi
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  Beitrag No.1, eingetragen 2002-10-18

Hi! Wenn man das mit den Mengen ausschreibt, wird das evtl. deutlicher, was mit der Aufgabe gemeint ist: A È (ÈBi) = A È (B1 È B2 È B3 È B4 È ...) È (A È Bi) = (A È B1) È (A È B2) È (A È B3)... Das kannst du entweder wieder durch ein Inklusionsargument beweisen, oder du wendest das Kommutativ - und Assoziativgesetz für Mengenverknüpfungen an und zeigst, dass beide gleich sind (bei dem ersten einfach die Klamemrn weglassen, beim zweiten auch, alle A nach vorne stellen, und da A È A = A, sind beide gleich). b) Zu zeigen ist nur i) und ii), iii) ergibt sich dann von selbst. Grundsätzlich kannst du so argumentieren, wie du es getan hast, ich würde es aber etwas ausführlicher machen. Bei i) kannst du sagen, dass für jedes Element in A ein Bildelement in B sein muss. Da diese Bildelemente der n Elemente von A alle verschieden sind, muss b mindestens n Elemente haben => |A|£ |B| Bei ii) machst dus umgekehrt: Jedes Element der n Elemente aus B muss ein Urbild haben, und Urbilder verschiedener Elemente müssen verschieden sein. Also enthält A mindestens n verschiedene Elemente. Gruß Fabi

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Johnnie_Walker
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  Beitrag No.2, eingetragen 2002-10-18

Hi DaMenge, a würde ich so machen : => Sei xÎAÈ(UBi). Dann ist xÎA oder xÎ(UBi). Ist xÎA, dann ist x auchÎ(AÈBi) für beliebiges i. Ist xÎBi für ein beliebiges i, dann ist x auch in U(AÈBi) <= Sei xÎU(AÈBi). Dann ist x entweder in A oder in einem der Bi. Ist xÎA, dann ist x auch ÎAÈ(UBi). Ist xÎBi(iÎI), dann ist x sicher auch in UBi und erst recht in AÈ(UBi). Ich glaube, das müsste reichen. Ist zwar etwas hölzern, aber fange auch erst am Mo mit LA an. Gruß, Johnnie

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Ende
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  Beitrag No.3, eingetragen 2002-10-18

Nochmal die Warnung an Fabi: I ist nicht als abzaehlbar vorausgesetzt, d.h. Du kannst nicht so eine abgezaehlte Vereinigung hinschreiben. Und DaMenge schreibt, dass er den grossen Schnitt und nicht die Vereinigung meint. Gruss, E.

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Fabi
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  Beitrag No.4, eingetragen 2002-10-19

Achso, der Schnitt ist gemeint mit U... Dann haben wir doch wieder die Aufgabe von letzter Woche, oder? @Ende: Wenn ich es so schreibe, wie ich es gemacht habe, schließe ich nicht aus, dass I überabzählbar ist. Bei der Pünktchen - Schreibweise muss ich halt irgendwo anfangen. Gruß Fabi

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DaMenge
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  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2002-10-19

2002-10-19 09:09: Fabi schreibt: > Dann haben wir doch wieder die Aufgabe von letzter Woche, oder? Hi Fabi, Kannst du bitte mal den Link posten? Ich finds nicht bzw. : es gibt zu viel zu Mengen, etc. ! Und zu (b) : gibts nichts rein Mathematisches?!? [Ich will ja keine Prosa schreiben, sondern Mathematik!] thx.. anyway DaMenge

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Fabi
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  Beitrag No.6, eingetragen 2002-10-19

Schau hier : viewtopic.php?topic=1987&forum=3 [ Nachricht wurde editiert von matroid am 2002-10-19 16:53 ]

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