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| Autor |
  Indirekter Beweis ODER Widerspruchsbeweis bzw. Äpfel ODER Birnen |
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atero
Neu 
Dabei seit: 15.10.2002
Mitteilungen: 1
Wohnort: Berlin
 |  Themenstart: 2002-10-18
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Hallo
Was ist der "Unterschied !" zwischen einem Widerspruchsbeweis und einem indirekten Beweis?
Ich bin fast am verzweifeln!
Aussagenlogisch finde ich folgende Erklärungen:
Indirekter Beweis:
Es sei A => B zu zeigen:
„Bein „Indirekten Beweis“ nimmt man ¬B an
und folgert dann: ¬B => ¬A “
<=> ( A => B ) q.e.d.
Widerspruchsbeweis:
„Statt aus A logisch B zu folgern, kann man auch aus ( A und ¬B ) einen
Widerspruch beweisen und deshalb die Annahme ¬B verwerfen.“
(1.Fallbeispiel )
Es sei A => B zu zeigen:
Man nimmt ¬B an.
Man folgert aus (A und ¬B) einen Widerspruch.
D.b. es gilt : nicht (A und ¬B) .
In anderen Worten ¬ (A und ¬B)
<=> ( A => B ) q.e.d.
(2.Fallbeispiel )
Es sei A zu zeigen:
Man nimmt ¬A an.
Folgert einen Widerspruch. Z.B.: ¬A => (B und ¬B)
Was bedeutet:
Es gilt nicht (¬A)
I.a.W.: ¬ (¬A)
Also: A.
?--> 1.-te Frage:
IST DAS SOWEIT RICHTIG ?
An verschiedenen Stellen entpuppt sich unter der Überschrift „Indirekter Beweis.“
beim näheren Hinsehen,
(entsprechend der oben beschriebenen aussagenlogischen Form)
dann tatsächlich "ein Widerspruchsbeweis"
An anderer Stelle trägt „die selbe Beweisführung“ auf einmal nun die Überschrift: „Widerspruchsbeweis“.
Ich dachte eigentlich, wenn man von Äpfel spricht, dann meint man Äpfel und nicht Birnen.
( Beides sind zugegebener Maßen Fallobst)
Konkretes Beispiel:
Folgendes Beweisverfahren finde ich unter „Indirektem Beweis“:
„sowie !!“ unter „Widerspruchsbeweis“:
aussagenlogisch formuliert
Satz: Ö2 ÎQ A
Annahme: Ö2 Ï Q ¬A
Schluss-
Verfahren : Ö2 Ï Q führt zum
Widerspruch: Es gilt nicht (¬A)
D.h.Annahme: Ö2 Ï Q ist falsch: ¬(¬A) <=> A
q.e.d.
?--> 2.-te Frage:
Was ist das der Unterschied zwischen
Indirektem Beweis und Widerspruchsbeweis?
Die Frage entstand beim
sog. „Indirekte Beweis zur Umkehrung des 1-ten Strahlensatzes“
als ich ihn mir aussagenlogisch näher betrachtete.
Entschuldigung für den langen Text!
Bevor ich weitere 200 Beispiele anführe
danke schön für das Durchlesen
atero
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 Profil
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DaMenge
Senior 
Dabei seit: 24.07.2001
Mitteilungen: 1178
Wohnort: Bonn
 |  Beitrag No.1, eingetragen 2002-10-19
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Hi atero,
also ich hab keinen Schimmer von Aussagenlogik, deshalb nimm das hier nicht zu ernst !
Also ich verstehe das so, dass man aus bestimmten (wahren) Vorraussetzungen [=A] eine Behauptung [=B] schließt !
> „Bein „Indirekten Beweis“ nimmt man ¬B an
> und folgert dann: ¬B => ¬A “
> <=> ( A => B ) q.e.d.
Demnach kann ¬A nicht existieren, deshalb verursacht (¬B => ¬A) einen Widerspruch !!
> Widerspruchsbeweis:
> „Statt aus A logisch B zu folgern, kann man auch aus ( A und ¬B ) einen Widerspruch >beweisen und deshalb die Annahme ¬B verwerfen.“
Ja, denn aus ¬B folgt ja dann ¬A , deshalb stehts im Widerspruch mit A !
Also für mich sind indirekter- und Widerspruchsbeweis ein und dasselbe ! Eigentlich passen nur beide Vokabeln zusammen, um es eindeutig zu sagen, denn wir gehen ja vom Gegenteil aus (@indirekt) und zeigen, dass dies nicht möglich ist(@Widerspruch).
MFG
DaMenge
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Profil
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matroid
Senior 
Dabei seit: 12.03.2001
Mitteilungen: 14542
Wohnort: Solingen
 |  Beitrag No.2, eingetragen 2002-10-19
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Hi atero,
schau mal die Links über Beweistechniken durch.
Und Du hast recht, oft enthält ein mathematischer Beweis mehrere dieser Techniken in Kombination. Manchmal sind die Übergänge fließend, vielleicht auch, weil der Autor nicht beabsichtigt hat eine reine Anwendung der einen oder anderen Technik vorzuführen - oder weil er sich auch nicht so ganz klar war.
Man zeigt bekanntlich durch Widerspruch, daß Ö2 irrational ist.
Widerspruchsbeweise sind dann angesagt, wenn gezeigt werden soll, daß eine Eigenschaft nicht vorliegt.
Anderes Beispiel: "Es gibt unendlich viele Primzahlen."
In beiden Beispielen hat die behauptete Eigenschaft (irrational bzw. unendlich viele) keine einfache Charakterisierung. Das Gegenteil der Eigenschaft ist dagegen leicht zu beschreiben (Ö2=p/q bzw. nur endlich viele).
Es soll gezeigt werden (A=>B).
Dann gibt es zwei Varianten:
Einmal setzt man A voraus und nimmt an, daß ¬B gilt. Durch geeignete Argumentation kommt man zu dem Ergebnis, daß dann A nicht gelten kann.
Eigentich handelt es sich bei dieser Variante aber nicht um einen Widerspruchsbeweis, sondern um den direkten Beweis der Kontraposition.
Denn hätte man A nicht vorausgesetzt, dann hätte man aus ¬B auch schon ¬A folgern können und somit den direkten Beweis der Kontraposition (¬B=>¬A) gegeben.
Den "direkten Beweis der Kontraposition nennt man indirekten Beweis".
Zum Anderen setzt man A voraus und nimmt an, daß ¬B gilt. Daraus folgtert man durch geeignete Argumentation, daß auch B gilt. An diesem Widerspruch muß die Annahme ¬B schuld sein. Wenn aber ¬B nicht gelten kann, dann muß (in einer zweiwertigen Logik) eben B gelten.
Ich analysiere nun den Beweis der Behauptung "Ö2 ist irrational".
Zunächst fällt auf, daß in der Behauptung keine Folgerung enthalten ist, wenigstens ist die nicht deutlich.
Ich formuliere darum anders: "(x²=2) => x ist irrational"
Beweisidee: zeige (x²=2 Ù x ist rational => Widerspruch). Wodurch genau sich der Widerspruch erweist, ist jeweils verschieden. Der Widerspruch könnte darin bestehen, daß sich ergibt, daß dann x²¹2 ist (das wäre die o.g. erste Variante), oder (und das ist das übliche hier) daß x nicht rational sein kann (die o.g. zweite Variante).
Zusammenfassung:
Wenn bei einem Widerspruchsbeweis für (A=>B) sich ein Widerspruch (AÙ¬A) ergibt, dann handelt es sich im Grunde um einen direkten Beweis der Kontraposition (so etwas bezeichne ich mit Pseudo-Widerspruchsbeweis).
Ergibt sich aber der Widerspruch (BÙ¬B), dann ist es ein wirklicher Widerspruchsbeweis.
Der bekannte Wurzel-2-Beweis ist ein wirklicher Widerspruchsbeweis.
Gruß
Matroid
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