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| Autor |
 Volumenkörper mittels Polarkoordinaten |
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mawu1950
Junior 
Dabei seit: 03.06.2015
Mitteilungen: 14
 |  Themenstart: 2015-06-03
|
ich studierte Elektrotechnik und bin jetzt Rentner.Also bitte nicht lästern.
Frage:
Volumenberechnung um die y-Achse mittesl Formel:
int(x^2*f(x)',x,a,b).
Beispiel:
int((0.5x^2)-(0.3x^2+10),x,0,7.07)
Es geht um das Volumen zwischen 2 Graphen nähmlich
0.5x^2 und 0.3x^2+10.
Mein Ergebnis mittes Derive 6: 784.923.
Nun dachte ich mir, dass eine Berechnung auch mittels Polarkoordinaten
möglich sein sollte?!
Also im Derive-Code:
∫(∫(∫(r, z, 0.5·r^2, 0.3·r^2 + 10), r, 0, 7.07106), θ, 0, 2·π)
Mein Ergebnis mittes Derive 6: 785.397.
Ich verglich andere Volumina mit Karthes. und Polar und bekomme im Nachkomma Differenzen.
Ich bitte um eine einfache Erklärung.
Danke.
mfg
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Buri
Senior 
Dabei seit: 02.08.2003
Mitteilungen: 46882
Wohnort: Dresden
 | Beitrag No.1, eingetragen 2015-06-03
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\quoteon(2015-06-03 19:57 - mawu1950 im Themenstart)
Volumenberechnung um die y-Achse mittesl Formel:
int(x^2*f(x)',x,a,b).
\quoteoff
Hi mawu1950,
Was ist die Bedeutung der Funktion f, was gibt sie an?
Was bedeutet die Formulierung "um die y-Achse"?
Es gibt doch gar kein y in der Formel.
Natürlich kannst du irgendeine y-Achse hernehmen und um diese Achse rotieren, damit ein Körper herauskommt, dessen Volumen man berechnen kann. Dann muss es auch so gesagt werden, jedoch vermisse ich das Wort "Rotation", ebenso wie alles andere, was zur Klärung des Sachverhalts beitragen könnte, fehlt.
Denke noch einmal darüber nach, was du wirklich machen willst oder sollst, und formuliere dann die Fragen zu diesem Problem sorgfältig.
Gruß Buri
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mawu1950
Junior
Dabei seit: 03.06.2015
Mitteilungen: 14
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2015-06-03
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\pi*int(x^2*f(x)',x,a,b)
.
Das π vergas ich. Ja, Rotation um die y-Achse.
Raumkörper zwischen Graph und y-Achse.
f(x)' ist die 1. Ableitung einer Funktion.
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Ex_Senior
| Beitrag No.3, eingetragen 2015-06-03
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Hallo
Ich würde das Volumen der Teilkörper bilden und dann voneinander abziehen. Deine Formel stimmt so.
mfgMrBean
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mawu1950
Junior
Dabei seit: 03.06.2015
Mitteilungen: 14
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2015-06-04
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Jawohl Mr. Bean und vielen Dank für Ihre Mühe.
habe ich auch eben gemerkt.
Ich muss bei der Funktion 0.3x^2+10 bei 10 beginnen, logisch.
Wie kann man nur so doof sein.
so muss es aus sehen gem. Derive 6:
∫(∫(∫(r, z, 0, 0.5·r^2), r, 0, 7.07), θ, 0, 2·π) - ∫(∫(∫(r, z, 10, 0.3·r^2 + 10), r, 0, 7.07), θ, 0, 2·π).
So, jetzt kann ich schlafen gehen.
liebe Grüße aus Mainz :-)
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Knaaxx
Senior 
Dabei seit: 06.05.2006
Mitteilungen: 2730
| Beitrag No.5, eingetragen 2015-06-04
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Hallo,
nein ich glaube du kannst nicht schlafen. 785.397 scheint mir richtig.
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mawu1950
Junior
Dabei seit: 03.06.2015
Mitteilungen: 14
| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2015-06-04
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hallo Knaaxx,
das darf nicht wahr sein.
Ich werde heute vormittag genauer darauf eingehen.
Gute Nacht.
danke.
mfg
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mawu1950
Junior
Dabei seit: 03.06.2015
Mitteilungen: 14
| Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2015-06-04
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Ich überprüfte noch einmal die Rechnung anhand der Formel Rauminhalte durch Drehung eines Funktionsgraphen um die y-Achse:
\pi*int(x^2*f'(x),x,a,b)
.
also \pi*int(x^2*f'(0.5x^2),x,0,7.07)=1962.3079 minus
\pi*int(x^2*f'(0.3x^2+10),x,0,7.07)=1177.3847
als Ergebnis erhalte ich 784.9231;
oder
\pi*int(x^2*f'(0.2x^2-10),x,0,7.07)=784.9231
mfg
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Knaaxx
Senior
Dabei seit: 06.05.2006
Mitteilungen: 2730
| Beitrag No.8, eingetragen 2015-06-04
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Hallo,
deine beiden "ersten" Formeln liefern das gleiche Resultat wenn du exakt bis zum Schnitt der Graphen (5*sqrt(2)) rechnest.
Deine modifizierte Formel 2 (PostNr.4) liefert ebenfalls das richtige Resultat, ist aber nicht richtig. Das passt nur zufällig.
Das Ergebnis ist 785.398 (250*pi)
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viertel
Senior 
Dabei seit: 04.03.2003
Mitteilungen: 27787
Wohnort: Hessen
 | Beitrag No.9, eingetragen 2015-06-04
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http://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/9/1781_Volumenkoerper_mittels_Polarkoordinaten_208241.png
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Ex_Senior
| Beitrag No.10, eingetragen 2015-06-04
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\
\geo
xy(-10,34.5)
noaxis()
color(black)
p(-9,0,p1,hide)
p(33.5,0,p2,hide)
pf(p1,p2,xAchse,nolabel)
p(0,-9,p3,hide)
p(0,33.5,p4,hide)
pf(p3,p4,yAchse,nolabel)
plot(-sqrt(2*x))
plot(-sqrt((10*(x-10))/3))
plot(sqrt(2*x))
plot(sqrt((10*(x-10))/3))
punkt(0,-0.15,plo,hide)
punkt(10,-0.15,plo1,hide)
s(plo,plo1,sder,nolabel)
punkt(0,0.15,plo3,hide)
punkt(10,0.15,plo4,hide)
s(plo3,plo4,sder1,nolabel)
pen(1)
fill2(5,-2,F2d4e6)
fill2(5,2,F2d4e6)
color(white)
s(plo,plo1,sder6,nolabel)
s(plo3,plo4,sder7,nolabel)
color(blue)
Pen(2)
plot(sqrt(2*x)
Pen(1)
plot(-sqrt(2*x)
color(green)
Pen(2)
plot(sqrt((10*(x-10))/3))
Pen(1)
plot(-sqrt((10*(x-10))/3))
print(x,31.5,-0.5)
print(y,-1.5,31.9)
print(y_1 (x)=0.5*x^2 ,12,25)
print(y_2 (x)=0.3*x^2+10 ,12,22)
print(\green \void x^-,28.5,-0.5)
print(\green \void y^-,-1,29.7)
print(\blue f_1(x^-)=+sqrt(2*x^-),10,18)
print(\blue \void x^-,30.5,-0.5)
print(\blue \void y^-,-1,33.7)
print(\green f_2(x^-)=+sqrt((10*(x^--10))/3),7,14.5)
color(black)
plot(1/2*x^2)
plot(0.3*x^2+10)
\geooff
geoprint()
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mawu1950
Junior
Dabei seit: 03.06.2015
Mitteilungen: 14
| Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2015-06-04
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@viertel: Das ist ein schönes Bild. Die rote "Füllmasse" ist der Rauminhalt.
wie bekommt man 3-Dim. so ein Bild gestaltet?
@fermat63: vielen Dank für die Umkehrfunktion.
Auch das Bild ist hilfreich.
Was bedeutet der Strich über dem x?
Wenn ich die Wurzel quadriere, dann fällt sie weg.
Aber so weit bin ich noch nicht.
@Knaaxx: er gibt mir keine Ruhe!
Ich setze natürlich bei dem Integral der Polarkordinaten die Grenzen willkürlich. Das muss ich doch auch, es muss doch "Sinn" machen.
Ich verstehe nicht: "deine beiden "ersten" Formeln liefern das gleiche Resultat wenn du exakt bis zum Schnitt der Graphen (5*sqrt(2)) rechnest."
5*sqrt(2)=5^2?
Ein anderes Beispiel:
\pi*int(x^2*f'(x^2+1),x,1,3)=125.66 und
∫(∫(∫(r, z, 1, r^2+1), r, 1, 3), θ, 0, 2·π) = 125.66
was ist daran falsch?
ABER
ich beiße mir an dieser Funktion die Zähne aus:
f(x)=-0.5x+3.5;
\pi*int(x^2*f'(-0.5x+3.5),x,5,1)=64.93
ich bekomme diesen Rauminhalt mit dem Polarkoordinatensys.
nicht "gebacken".
Ihnen allen Dank.
mfg
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Ex_Senior
| Beitrag No.12, eingetragen 2015-06-04
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Hallo
Ich glaube, mit Polarkoordinaten ist die Rechung unnötig kompliziert.
mfgMrBean
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Ex_Senior
| Beitrag No.13, eingetragen 2015-06-04
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Hallo mawu1950
Ja, der Strich (quer gesprochen) zeigt an, das es sich um die unabhängige Variable der entsprechenden Umkehrfunktion handelt, das mach ich immer so wenn Funktion und deren Umkehrung in einer Skizze dargestellt sind.
Für weitere Rechnungen kann ganz einfach wieder mit x die Variable bezeichnet werden.
Für die Integration muss du dir den betrachteten Bereich in kleine "zylindrische Scheiben" zusammengesetzt denken, deren Radien die Funktionswerte sind, welche eine Umkehrfunktion an der entsprechenden Argumentsstelle aufweist.
Es werden also die Volumina, welche durch gedachte Rotation der beiden Randkurven sinngemäss entstehen voneinander abgezogen, die Grenzen sind 0 und 25.
\
V(x)=\pi*int(f_1 (x)^2,x,0,25)-\pi*int(f_2 (x)^2,x,10,25)
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.11 begonnen.]
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Knaaxx
Senior
Dabei seit: 06.05.2006
Mitteilungen: 2730
| Beitrag No.14, eingetragen 2015-06-04
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\quoteon(2015-06-04 20:29 - mawu1950 in Beitrag No. 11)
@Knaaxx: er gibt mir keine Ruhe!
Ich setze natürlich bei dem Integral der Polarkordinaten die Grenzen willkürlich. Das muss ich doch auch, es muss doch "Sinn" machen.
Ich verstehe nicht: "deine beiden "ersten" Formeln liefern das gleiche Resultat wenn du exakt bis zum Schnitt der Graphen (5*sqrt(2)) rechnest."
5*sqrt(2)=5^2?
\quoteoff
Das Problem ist folgendes.
Wenn du nicht genau bis zum Graphenschnitt rechnest, rechnest du, raumgeometrisch, mit der Polarformel etwas völlig anderes aus als mit deiner anderen Formel. Jede Rechnung nur bis zu einen beliebigen 0 < r < 5*sqrt(2), liefert zwangsläufig stark! verschiedene Resultate, weil eben durch diese beiden Darstellungen verschiedene Volumina dargestellt sind. Denk mal genauer darüber nach.
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Knaaxx
Senior
Dabei seit: 06.05.2006
Mitteilungen: 2730
| Beitrag No.15, eingetragen 2015-06-04
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\quoteon(2015-06-04 20:29 - mawu1950 in Beitrag No. 11)
Ein anderes Beispiel:
\pi*int(x^2*f'(x^2+1),x,1,3)=125.66 und
∫(∫(∫(r, z, 1, r^2+1), r, 1, 3), θ, 0, 2·π) = 125.66
was ist daran falsch?
ABER
ich beiße mir an dieser Funktion die Zähne aus:
\quoteoff
Siehe meine Post von weiter oben, dein Polarkoordinatenintegral ist falsch, es passt so nur zufällig. Deswegen versagt es auch bei deinem Nachfolgeproblem.
Für Parabeln gilt zufälligerweise, inneres Rotationsvolumen = äußeres Rotationsvolumen = 1/2 * umschließendes Zylindervolumen.
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mawu1950
Junior
Dabei seit: 03.06.2015
Mitteilungen: 14
| Beitrag No.16, vom Themenstarter, eingetragen 2015-06-04
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@Knaaxx, @MrBean und @fermat63 vielen Dank für Ihre Hilfe.
mfg
mawu1950
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Knaaxx
Senior
Dabei seit: 06.05.2006
Mitteilungen: 2730
| Beitrag No.17, eingetragen 2015-06-04
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Um es nochmal anders und direkt auf den Punkt zu bringen,
einzig dieses Integral
∫(∫(∫(r, z, 0.5·r^2, 0.3·r^2 + 10), r, 0, 7.07106), θ, 0, 2·π)
rechnet für 0 < r < 5*sqrt(2) das korrekte Volumen des Rotationskörpers,
begrenzt durch f1, f2 und dem stehenden zentralsymmetrischen Zylinder mit Radius r, aus.
[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]
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viertel
Senior 
Dabei seit: 04.03.2003
Mitteilungen: 27787
Wohnort: Hessen
| Beitrag No.18, eingetragen 2015-06-05
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\quoteon(2015-06-04 20:29 - mawu1950 in Beitrag No. 11)
@viertel: Das ist ein schönes Bild. Die rote "Füllmasse" ist der Rauminhalt.
wie bekommt man 3-Dim. so ein Bild gestaltet?
\quoteoff
Deine Beschreibung mit „Füllmasse“ hat mich auf die Idee gebracht, den Rotationskörper wirklich zu füllen (vorher waren es nur eine rote und blaue Fläche, innen hohl).
Erstellt mit PovRay (dazu ein Tutorial)
Ist aber nicht ganz einfach, da man nicht interaktiv zeichnet, sondern mit einer Programmiersprache eine Beschreibung der Szene erstellt, die dann gerendert wird.
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Knaaxx
Senior
Dabei seit: 06.05.2006
Mitteilungen: 2730
| Beitrag No.19, eingetragen 2015-06-05
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Hallo viertel
Wenn du das mit einem feinen Granulat füllen könntest, wäre es womöglich? noch eindrucksvoller.
Ansonsten einsame Spitze, einfach unübertrefflich gut!
Du solltest ein Buch herausbringen, oder an einem solchen mitarbeiten. Deine Fähigkeiten diese Dinge visuell eindrucksvoll und aussagekräftig darzustellen scheinen mir weit und breit unübertroffen. Derart gute Darstellungen sind in Büchern mindestens Mangelware.
Packs an, "Geometrische Probleme", die sowas vertragen können, gibts genug.
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viertel
Senior
Dabei seit: 04.03.2003
Mitteilungen: 27787
Wohnort: Hessen
| Beitrag No.20, eingetragen 2015-06-05
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Ich habe der Schnittfläche etwas Struktur gegeben (ggf. Browser-Refresh).
Für das Granulat habe ich noch keine brauchbare Idee.
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mawu1950
Junior
Dabei seit: 03.06.2015
Mitteilungen: 14
| Beitrag No.21, vom Themenstarter, eingetragen 2015-06-05
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Hallo viertel,
vielen Dank für die schöne Graphik.
Auch fermat63 hat mit seiner hilfreichen Graphik mich erfreut.
Mit der Umkehrfunktion ab Polynom 3. Grades (inkl.) habe ich Schwierigkeiten.
Leider finde ich keine "Gebrauchsanweisung" für dieses Problem.
Noch einmal vielen herzlichen Dank,
mfg
mawu1950 :-)
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mawu1950
Junior
Dabei seit: 03.06.2015
Mitteilungen: 14
| Beitrag No.22, vom Themenstarter, eingetragen 2015-06-05
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@fermat63, was bitte mache ich falsch, Ihr posting Nr. 10 u. 13.
Umkehrfunktion:
f1(x)=√(x/0.5)
f2(x)=√((x-10)/0.3)
Schnittstelle:
SOLVE(√(x/0.5) = √((x - 10)/0.3), x) x=25
Rauminhalt:
π·∫(x/0.5 - (x - 10)/0.3, x, 0, 25)
das Ergebnis stimmt doch nicht.
mfg
mawu1950
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viertel
Senior
Dabei seit: 04.03.2003
Mitteilungen: 27787
Wohnort: Hessen
| Beitrag No.23, eingetragen 2015-06-05
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Schau dir noch mal das Bild aus Beitrag #10 an:
\
\geo
xy(-10,34.5)
noaxis()
color(black)
p(-9,0,p1,hide)
p(33.5,0,p2,hide)
pf(p1,p2,xAchse,nolabel)
p(0,-9,p3,hide)
p(0,33.5,p4,hide)
pf(p3,p4,yAchse,nolabel)
plot(-sqrt(2*x))
plot(-sqrt((10*(x-10))/3))
plot(sqrt(2*x))
plot(sqrt((10*(x-10))/3))
punkt(0,-0.15,plo,hide)
punkt(10,-0.15,plo1,hide)
s(plo,plo1,sder,nolabel)
punkt(0,0.15,plo3,hide)
punkt(10,0.15,plo4,hide)
s(plo3,plo4,sder1,nolabel)
pen(1)
fill2(5,-2,F2d4e6)
fill2(5,2,F2d4e6)
color(white)
s(plo,plo1,sder6,nolabel)
s(plo3,plo4,sder7,nolabel)
color(blue)
Pen(2)
plot(sqrt(2*x)
Pen(1)
plot(-sqrt(2*x)
color(green)
Pen(2)
plot(sqrt((10*(x-10))/3))
Pen(1)
plot(-sqrt((10*(x-10))/3))
print(x,31.5,-0.5)
print(y,-1.5,31.9)
print(y_1 (x)=0.5*x^2 ,12,25)
print(y_2 (x)=0.3*x^2+10 ,12,22)
print(\green \void x^-,28.5,-0.5)
print(\green \void y^-,-1,29.7)
print(\blue f_1(x^-)=+sqrt(2*x^-),10,18)
print(\blue \void x^-,30.5,-0.5)
print(\blue \void y^-,-1,33.7)
print(\green f_2(x^-)=+sqrt((10*(x^--10))/3),7,14.5)
color(black)
plot(1/2*x^2)
plot(0.3*x^2+10)
\geooff
geoprint()
Kannst du für die rosa Fläche wirklich von 0…25 integrieren?
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mawu1950
Junior
Dabei seit: 03.06.2015
Mitteilungen: 14
| Beitrag No.24, vom Themenstarter, eingetragen 2015-06-05
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guten Abend @viertel,
vielen Dank für den Hinweis.
Also:
π·(∫(x/0.5, x, 0, 25) - ∫((x - 10)/0.3, x, 10, 25))=785,39;
Das ist ja auch genau das Ergebnis, das laut @Knaaxx, Nr. 8
heraus kommt.
Wenn ich in meiner Berechung Nr.0 die Grenzen sorgfältiger gesetzt
( 7.07106) hätte, dann wäre auch das gleiche Ergebnis herausgekommen.
Ich habe es jetzt erst gemerkt und den Hinweis(!) begriffen, das ich die Grenzen sorgfältiger setzen muss.
mfg
mawu1950
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Knaaxx
Senior
Dabei seit: 06.05.2006
Mitteilungen: 2730
| Beitrag No.25, eingetragen 2015-06-06
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Hallo mawu1950,
an einer Beispielrechnung will ich versuchen dir näherzubringen was schief läuft bei deinen ursprünglichen Integralen.
Dazu sei (als Referenz) festgehalten, dass von deinen Integralen nur das Folgende berechnet was du haben willst. \small (0 <= R <= R_Schnitt) \small
V_rot(R) = int(int(int(r,z,1/2*r^2,3/10*r^2+10),r,0,R),\phi,0,2*\pi)
Mit diesem Integral wollen wir das Volumen deines Beispiel-Rotationskörpers, mit dem stark abgespeckten Radius R=1, bestimmen. Das Ergebnis lässt sich vorschätzen, auf etwa, 1*1*\pi*10 = 10*\pi, so dass wir das Integral daran messen können.
Das Integral liefert
V_rot(1) = int(int(int(r,z,1/2*r^2,3/10*r^2+10),r,0,1),\phi,0,2*\pi) = 99/10*\pi
und das sieht gut aus.
Zum Vergleich berechnen wir das Volumen erneut, nun nach deiner ersten Formel
\pi*int(x^2*(1/2*x^2)',x,0,1) = 1/4*\pi
und
\pi*int(x^2*(3/10*x^2+10)',x,0,1) = 3/20*\pi
und deren Differenz ergibt!
1/4*\pi-3/20*\pi $ = $ 1/10*\pi
Es ist direkt ersichtlich, dass dies keinesfalls das gesuchte Volumen des Rotationskörpers sein kann. Aber was ist es?
Ist es satter Unfug (Formel Mist, komplett falsch) oder steckt ein teilwahrer Kern drin?
Es steckt ein "teilwahrer Kern" drin und die beiden Resultate unterscheiden sich "nur" um das Volumen eines Zylinders mit dem Radius 1 und der Höhe
f2(1) - f1(1) = (3/10*1^2+10) - (1/2*1^2) = 49/5
d.h. der Zylinder hat das Volumen
1^2*\pi*(49/5) = 49/5*\pi
addieren wir beide Teile, so ergibt sich
1/10*\pi + 49/5*\pi = 99/10*\pi
und das ist exakt das Resultat der ersten Berechnung.
D.h.,
wir können das Volumen ebenso nach Variante 2 berechnen, wir müssen nur den fehlenden zugehörigen Zylinder hinzu addieren. Dessen Radius und Höhe sind abhängig vom Radius des Rotationskörpers und den beiden begrenzenden Funktionen f1 und f2. Es ergibt sich deswegen folgender Zusammenhang zwischen den beiden Volumenformeln: \small (0 <= R <= R_Schnitt) \small
V_rot(R) = int(int(int(r,z,f1(r),f2(r)),r,0,R),\phi,0,2*\pi) $$ =
\pi*int(x^2*(f1(x)'-f2(x)'),x,0,R) + \pi*R^2*(f2(R)-f1(R))
Jetzt wird offensichtlich warum beide Formeln, für den Fall der Berechnung exakt bis zur Schnittgrenze, übereinstimmen. Für diesen Fall ist die Höhe des Zylinders, f2(R)-f1(R) = 0
Ebenso erklärt sich damit die "geheimnisvolle Differenz" bei deiner Ursprungsberechnung ...
Zylinder_geheimnis = \pi*7.07^2*(0.3*7.07^2+10-0.5*7.07^2) = .474237
.474237 + 784.923 = 785.397
[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]
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mawu1950
Junior
Dabei seit: 03.06.2015
Mitteilungen: 14
| Beitrag No.26, vom Themenstarter, eingetragen 2015-06-06
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Hallo Knaaxx,
ich habe die Rechnung nachvollzogen.
Vielen Dank für Ihre Mühe.
mfg
mawu1950
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| mawu1950 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen. | | mawu1950 wird per Mail über neue Antworten informiert. |
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