| Autor |
  Differentialgleichung |
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Orion
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 27.04.2004
Mitteilungen: 80
 |  Themenstart: 2004-05-25
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Hi ! Brauche mal kurz Hilfe bei folgender Aufgabe ...
Lineare Differentialgleichung:
x^4-3x^3+6x^2-12x+8=cos(x)+2sin(2x)
a.) Man bestimme ein reelles Fundamentalsystem der zugehörigen homogenen Gleichung.
b.) Man bestimme alle Lösungen der inhomogenen Gleichung
Also ... ich habe die Nullstellen von x^4-3x^3+6x^2-12x+8 bestimmt.
Das sind 1,2,2i und-2i.
Jetzt komme ich aber die der inhomogenen Gleichung cos(x)+2sin(2x)
nicht weiter. Wie finde ich da die Nullstellen ?
Gruß
Orion
[ Nachricht wurde editiert von Orion am 2004-05-25 13:50 ]
[ Nachricht wurde editiert von Orion am 2004-05-25 14:02 ]
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SchuBi
Senior 
Dabei seit: 13.03.2003
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Wohnort: NRW
 |  Beitrag No.1, eingetragen 2004-05-25
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Hallo, Orion!
Gebrauche doch ein Additionstheorem für den Sinus
sin(2x)=2*sin(x)*cos(x)
Welchen Sinn macht denn das
1^2x
auf der linken Seite der Gleichung? 
[ Nachricht wurde editiert von SchuBi am 2004-05-25 13:49 ]
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shredhead
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 | Beitrag No.2, eingetragen 2004-05-25
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Hi Orion
\
Mit Additionstheoremen kommst du immer gut voran:
cos(x)+2sin(2x)=cos(x)(4sin(x)+1)
Aber warum ist das eine DGL, ich dachte immer es müssen
Ableitungen vor kommen?!?!.........Mhm.......
Gruß
Jörg
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Orion
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| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2004-05-25
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... um die Aufgabe "interessanter" zu machen ... 
Wird gleich korrigiert!
Hm, so ganz komme ich noch nicht weiter ...
Gruß
Orion
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shredhead
Senior
Dabei seit: 24.02.2004
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| Beitrag No.4, eingetragen 2004-05-25
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Wo kommst du denn nicht weiter genau? Schau mal auf meinen Beitrag!
Jetzt musst du nur noch gucken wo der cos(x) Null wird oder wo
die Klammer Null wird!
Gruß
Jörg
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SchuBi
Senior
Dabei seit: 13.03.2003
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|  Beitrag No.5, eingetragen 2004-05-25
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Hallo, Orion!
Deine Nullstellen der linken Seite scheinen nicht zu stimmen.
Hier eine kurze Wertetabelle:
array(x,\|,1,\|,2,\|,2i,\|,-2i;x^4-3x^3+6x^2-12x,\|,-8,\|,-8,\|,-8,\|,-8)
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Orion
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| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2004-05-25
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Sorry, die Post bezog sich auf SchuBi ... 
Orion
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Orion
Ehemals Aktiv
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| Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2004-05-25
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SchuBi ...
Du hast soooooooo recht.
Unser Prof. hat sich selber "verdaddelt" !!!
Es soll eigentlich +8 heißen.
Orion
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SchuBi
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| Beitrag No.8, eingetragen 2004-05-25
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Hallo, Orion!
Es ist noch die Frage von Jörg offen. Wo ist die lineare Differentialgleichung
Noch ein Tip: Es gibt ein Unterforum für Differentialgleichungen. Darin wäre dein Thread am besten aufgehoben, wenn es denn eine Differentialgleichung wäre.
[ Nachricht wurde editiert von SchuBi am 2004-05-25 14:13 ]
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Diffform
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Dabei seit: 16.01.2004
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 | Beitrag No.9, eingetragen 2004-05-25
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Vielleicht meint er
x4=x'''' usw. In dieser Form ist das dann ein typisches Beispiel für so eine Aufgabe...
Gruss, Bastl
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Orion
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Mitteilungen: 80
| Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2004-05-25
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Oh Nein, hab ich es jetzt falsch gemacht, als ich die Nullstellen berechnet habe ? Hätte ich vorher was ableiten müssen ?
Auf jeden Fall sieht es SO aus
x^(4)-3x^(3)+6x^''-12x'+8x=cos(x)+2sin(2x)
War das also nicht richtig was ich gerechnet habe ?
Gruß
Orion
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Diffform
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Dabei seit: 16.01.2004
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| Beitrag No.11, eingetragen 2004-05-25
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Hi Orion,
Was du gerechnet hast war schon richtig, aber wenn du uns nur das charakteristische Polynom der Dgl. angibst versteht ja keiner was du willst. Du musst erstmal die Nullstellen der linken Seite bestimmen, das hast du richtig gemacht, damit kommst du auf die Basis des Lösungsraumes der homogenen Gleichung,
\
exp(x), exp(2x), exp(2ix), exp(-2ix)
Zur Bestimmung der inhomogenen Gleichung lernt man normalerweise in der Vorlesung den Ansatz:
\
r(x)=p(x)*exp(\a*x), wobei p Polynom ist mit gr(p)=s. Man setzt dann q(x):=sum(c_l*x^l,l=0,s) mit unbestimmten Koeffizienten c_l. Dann gilt \psi(x)=x^\mue*q(x)*exp(\a*x), wobei \mue die Vielfachheit der Nullstelle \a im charakteristischen Polynom auf der linken Seite entspricht. Durch ableiten und Koeffizientenvergleich bestimmt man die c_l.
Wichtig ist noch, dass wenn auf der rechten Seite steht: r(x)=r_1(x)+r_2(x), und \psi_1(x) ist Lösung von rechter Seite r_1(x) und \psi_2(x) von rechter Seite r_2(x), so ist \psi(x)=\psi_1(x)+\psi_2(x) Lösung von r(x).
Da cos(\b*x)=(exp(\b*ix)+exp(-\b*ix))/... fallen auch cos und sin unter diese rechte Seite
Gruss, Bastl
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Rodion
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 | Beitrag No.12, eingetragen 2004-05-25
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Hallo!
Der letzte Beitrag von Bastl ist der entscheidende für die Lösung der Aufgabe.
Zur richtigen Formulierung sage ich noch etwas: Auch die DGL
\stopalign
x^(4)-3x^(3)+6x^''-12x'+8x=cos(x)+2sin(2x)
Wäre nur außerordentlich problematisch zu lösen, zumindest keineswegs analytisch. Es ist ja nicht einmal eine lineare DGL.
Die korrekte Aufgabe lautet wohl:
y^(4)-3y^(3)+6y''-12y'+8y=cos(x)+2*sin(2x)
mit
y=y(x)
Achte doch bitte in Zukunft darauf, die Aufgaben korrekt zu stellen. Denn auch die andere Version hätte Sinn ergeben, wäre aber unvergleichbar schwerer zu lösen gewesen.
Gruß
Rodion
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Diffform
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Wohnort: Innsbruck, Tirol / München
| Beitrag No.13, eingetragen 2004-05-25
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@Rodion: immer diese Kleinigkeiten 
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Orion
Ehemals Aktiv
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Mitteilungen: 80
|  Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2004-05-25
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Danke für die ganzen Tipps ...
Versuche jetzt damit bei der Aufgabe weiterzukommen.
Gruß
Orion
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