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Gewöhnliche DGL » Systeme von DGL » ein System von Differentialgleichungen aus der Kombinatorik
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Kein bestimmter Bereich J ein System von Differentialgleichungen aus der Kombinatorik
Martin_Infinite
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2015-07-11


Sei <math>A</math> eine (formale) Potenzreihe über <math>\mathds{C}</math> und schreibe <math>A=B + C</math>, wobei <math>B</math> die ungeraden und <math>C</math> die geraden Terme von <math>A</math> enthält. Es gelten die folgenden Gleichungen:

<math>B"=C^2</math>,
<math>C"=B \cdot C</math>,
<math>B(0)=0</math>,
<math>C(0)=1</math>.

Wie kann man dann nach <math>B</math> und <math>C</math> auflösen? Es sollte sich jedenfalls <math>B=\tan(z)</math> und <math>C=\sec(z)</math> ergeben.

Hintergrund ist ein Beweis von Andrés Theorem, der nur mit alternierenden und nicht mit umgekehrt-alternierenden Permutationen arbeitet.



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Wally
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2015-07-11


Hallo, Martin,

das ist etwas kniffelig, aber wenn man weiß, was herauskommen soll, geht es (Kurzversion):

<math>\displaystyle B"=\left(\frac{C"}{C}\right)"=C^2</math> und <math>C(0)=1</math>, <math>C"(0)=0</math>.

Setze  nun <math>\displaystyle C:=\frac{1}{T}</math>. Dann hat <math>T</math> die Dgl. <math>T"^2-T""T=1</math>, T hat dieselben Anfangswerte bei <math>0</math> wie <math>C</math>.

Da die unabhängige Variable nicht vorkommt, kann man (z.B. Das Gelbe Rechenbuch 3, Abschnitt 6.4) die Ordnung reduzieren und erhält  <math>T^2=|1-T"^2|</math> mit <math>T(0)=1</math>. Diese Dgl. mit getrennten Veränderlichen hat den Cosinus als Lösung.

Wally



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Martin_Infinite
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2015-07-11


Danke!



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