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Gewöhnliche DGL » Systeme von DGL » ein System von Differentialgleichungen aus der Kombinatorik
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Kein bestimmter Bereich J ein System von Differentialgleichungen aus der Kombinatorik
Martin_Infinite
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  Themenstart: 2015-07-11

Sei $A$ eine (formale) Potenzreihe über $\mathds{C}$ und schreibe $A=B + C$, wobei $B$ die ungeraden und $C$ die geraden Terme von $A$ enthält. Es gelten die folgenden Gleichungen: $B'=C^2$, $C'=B \cdot C$, $B(0)=0$, $C(0)=1$. Wie kann man dann nach $B$ und $C$ auflösen? Es sollte sich jedenfalls $B=\tan(z)$ und $C=\sec(z)$ ergeben. Hintergrund ist ein Beweis von Andrés Theorem, der nur mit alternierenden und nicht mit umgekehrt-alternierenden Permutationen arbeitet.


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Wally
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  Beitrag No.1, eingetragen 2015-07-11

Hallo, Martin, das ist etwas kniffelig, aber wenn man weiß, was herauskommen soll, geht es (Kurzversion): $\displaystyle B'=\left(\frac{C'}{C}\right)'=C^2$ und $C(0)=1$, $C'(0)=0$. Setze nun $\displaystyle C:=\frac{1}{T}$. Dann hat $T$ die Dgl. $T'^2-T''T=1$, T hat dieselben Anfangswerte bei $0$ wie $C$. Da die unabhängige Variable nicht vorkommt, kann man (z.B. Das Gelbe Rechenbuch 3, Abschnitt 6.4) die Ordnung reduzieren und erhält $T^2=|1-T'^2|$ mit $T(0)=1$. Diese Dgl. mit getrennten Veränderlichen hat den Cosinus als Lösung. Wally


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Martin_Infinite
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2015-07-11

Danke!


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