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Universität/Hochschule Differentialgleichungssystem, Matrixform
bugsy1993
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2015-07-11


Hallo Forum,

ich habe ein Problem folgende Rechnung zu verstehen:



ich habe noch nie eine solche Diffgl. geloest aber habe durch lesen ein paar Grundlegende Ideen.

Mit folgendem Ansatz:

<math>
\begin{pmatrix}
\rho_1\\
\rho_2\\
\end{pmatrix}
</math> = <math>
exp[t \cdot (-\omega_{12})\begin{pmatrix}
1&-1\\
-1&1\\
\end{pmatrix}]\cdot \begin{pmatrix}
\rho_1(0)\\
\rho_2(0)\\
\end{pmatrix}</math>

Denke ich sollte es gehen. Ich habe auch die Eigenwerte 0 und 2 zu folgenden Eigenvektoren berechnet:

<math>\begin{pmatrix}
1\\
1\\
\end{pmatrix}</math> , <math>\begin{pmatrix}
1\\
-1\\
\end{pmatrix}</math>

Es sieht so aus als ob man die Matrix in der exponentialfunktion in die Eigenvektoren+Eigenwerte zerlegt wird.

Ich wurde mich sehr uber eine Schritt fur Schritt Erklearung freuen damit ich endlich wei? was genau da passiert.

Danke im Voraus (:



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Er/sie war noch nicht wieder auf dem Matheplaneten
Stolzaufmich
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Dabei seit: 15.07.2015
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2015-07-25


Hi bugsy1993,

also wenn du <math>y"=Ay</math> hast, dann ist Lösung von Form <math>y=e^{At}y(0)</math>, wobei <math>e^{At}=\sum_{n=0}^n A^nt^n/n!</math> ist. Wie kann man diese Summe rechnen? Es gibt mehrere Möglichkeiten. Eine die ich mich dran erinnere ist die Jordannormalform. Du transformierst <math>A=SJS^*</math>, wobei <math>J</math> die Jordannormalform von <math>A</math> ist. dann gilt <math>e^{At}=S\sum_{n=0}^n J^nt^n/n!S^*</math>. Aber die Potenz von Jordannormalform kann man vielleichter nachrechnen und hat eine schöne Form bzgl. Eigenwerten (Sorry, ich habe auch nur noch sone Grundidee, genaue Rechnungen habe ich lange Zeit nicht benutzt und kann ich dir leider nicht anbieten).



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