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  Altklausur lösen: konforme Äquivalenzen |
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Spieler2012
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 09.08.2015
Mitteilungen: 58
 |  Themenstart: 2015-08-09
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Hallo zusammen!
Ich habe folgende Aufgabe aus einer Altklausur und weiß nicht, wie ich sie lösen soll. Geht es über Möbiustransformation?
http://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/9/43660_Konforme_quivalenz.png
Vielen Dank für Eure Hilfe schonmal im Vorraus!
Servus
Spieler2012
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Buri
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Dabei seit: 02.08.2003
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 |  Beitrag No.1, eingetragen 2015-08-09
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\quoteon(2015-08-09 14:01 - Spieler2012 im Themenstart)
... Geht es über Möbiustransformation?
\quoteoff
Hi Spieler2012,
willkommen im Forum!
Ja, denn H ist eine Halbebene, und K ist eine Kreisscheibe.
Um das zu sehen, kann man eine Skizze machen, und zwar am besten zwei getrennte Skizzen für H und für K.
Die Möbius-Transformation bestimmt man durch Aufstellung eines Gleichungssystems mit Hilfe von Punkten auf den Rändern der Bereiche, evtl. auch mit einem Punktepaar im Innern.
Die Aufgabe hat unendlich viele Lösungen.
Gruß Buri
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Spieler2012
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2015-08-10
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Vielen Dank!
Den Kreis kann ich zeichnen.
Wie wähle ich die Punkte?
Wie zeichnet man die Halbebene?
Mit den jeweils drei Punkten die Möbiustransformation bestimmen kann ich dann...
Servus
Spieler2012
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LaLe
Senior 
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Wohnort: Bonn
| Beitrag No.3, eingetragen 2015-08-10
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\quoteon(2015-08-10 22:31 - Spieler2012 in Beitrag No. 2)
Wie wähle ich die Punkte?
\quoteoff
Ich würde gar keine Punkte wählen, aber wenn du das machen willst, geht Probieren natürlich über Studieren (mir ist zumindest auf Anhieb kein Patentrezept bekannt, wie man möglichst effizient drei Punkte auswählt)
\quoteon(2015-08-10 22:31 - Spieler2012 in Beitrag No. 2)
Wie zeichnet man die Halbebene?
\quoteoff
Denke über diese Frage am besten selbst länger nach und gib Lösungsvorschläge, um welche Halbebene es sich handelt.
Ich würde empfehlen, etwas anders vorzugehen, sobald du die Ebene gefunden hast. Ein wichtiges Konzept in der gesamten Mathematik ist, dass man meistens mit Objekten arbeitet, die unter Verknüpfung abgeschlossen sind. In diesem Fall sind das Möbiustransformationen.
Ein wichtige Tatsache (wenn auch kein mathematisches Konzept) ist, dass Menschen nicht gut darin sind, komplizierte Dinge zu denken - aber sehr viel besser darin, sie in einfache Dinge zu zerstückeln.
Wenn dir also nicht gleich eine Möbiustransformation einfällt, dann suche doch mehrere, die den Kreis und die Halbebene sukzessive verändern, bis du auf Elementargebiete stößt, zwischen denen du eine konforme Abbildung kennst.
LG,
LaLe
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Spieler2012
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2015-08-11
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Die Ebene habe ich jetzt:
Es ist die Fläche unterhalb(oder oberhalb?) der Winkelhalbierenden!
Ich habe es nun mit Punkte-Wählen versucht (Buri sein Vorschlag), da mir das vertraut ist.
Folgende Punkte:
K -> z1=i z2=2-i z3=-3i
H -> w1=1+i w2=0 w3=1-i
Als Möbiustransformation folgt dann:
K->H w -> ((-2i)z+(4i-2))/((-2i)z+(2-3i))
Das Inverse davon ist dann die Lösung zu H->K.
Stimmt das so?
Viele Grüße
Spieler2012
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Buri
Senior
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| Beitrag No.5, eingetragen 2015-08-11
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\quoteon(2015-08-11 15:55 - Spieler2012 in Beitrag No. 4)
Stimmt das so?
\quoteoff
Hi Spieler2012,
nein, es stimmt nicht.
Wenn du z = i-2 einsetzt, liegt der Bildpunkt nicht auf der Geraden, die die Halbebene H begrenzt. Müsste er aber.
Außerdem ist nach der inversen Abbildung gefragt, und es genügt natürlich nicht, nur "inverse Abbildung" hinzuschreiben, sondern sie muss auch ausdrücklich angegeben werden, das ist dir sicherlich bewusst.
Gruß Buri
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Spieler2012
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| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2015-08-11
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Danke, dann habe ich mich wohl verrechnet.
Ist die Wahl der Punkte korrekt?
Gehe ich von der richtigen Ebene aus (untere Fläche)?
Die inverse Abbildung aus der Transformation aufstellen, ist dann kein Problem mehr!
Gruß
Spieler2012
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Buri
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| Beitrag No.7, eingetragen 2015-08-19
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\quoteon(2015-08-11 22:52 - Spieler2012 in Beitrag No. 6)
Ist die Wahl der Punkte korrekt?
\quoteoff
Hi Spieler2012,
nicht, wenn du sie auf dem Rand wählen möchtest (was hier funktioniert, aber man muss es nicht zwingend so machen).
Keiner der Punkte z1, z2, z3 liegt auf dem Rand von K.
w1 und w2 liegen auf dem Rand von H, aber w3 nicht.
Aus diesen Gründen gibt es überhaupt keine Hoffnung, dass solch ein Ansatz zum Ziel führt, selbst dann nicht, wenn du mit dieser (ungeeigneten) Wahl der Punkte richtig weiterrechnest.
Gruß Buri
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Spieler2012
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| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2015-08-19
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Danke!
Welche Punkte wären dann beispielsweise richtig?
Habe jetzt keine Idee mehr...
Servus
Spieler2012
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Buri
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| Beitrag No.9, eingetragen 2015-08-19
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\quoteon(2015-08-19 17:23 - Spieler2012 in Beitrag No. 8)
Welche Punkte wären dann beispielsweise richtig?
Habe jetzt keine Idee mehr...
\quoteoff
Hi Spieler2012,
Punkte, die auf dem Kreis liegen, wären richtig.
Solche Punkte findest du, wenn du eine Zeichnung anfertigst.
Dann bekommst du auch eine Antwort auf deine Frage, ob es sich um die obere oder untere Halbebene handelt. Du musst das selbst herauskriegen, es hat keinen Sinn, wenn dir die Forumhelfer die Antwort einfach so servieren, und dies werden sie auch hoffentlich nicht tun.
Von dem Kreis |z-i| = 2 kannst du den höchsten, den tiefsten, den am weitesten links und den am weitesten rechts liegenden Punkt bestimmen.
Das sind genügend Ideen, sie liefern mehr Punkte, als du brauchst.
Der am weitesten rechts liegende Punkt ist zum Beispiel i+2, und der höchste Punkt ist 3i.
Für die Punkte auf der Geraden musst du nur mal nachschauen, was du beim dritten Punkt 1-i falsch gemacht hast.
Gruß Buri
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Spieler2012
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| Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2015-08-19
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Hallo Buri,
vielen Dank (ich lerne eben aus Beispielen)!!
Mein Kreis war falsch gezeichnet und es ist die untere Ebene!
Folgende Punkte habe ich jetzt gewählt:
K -> z1= 2+i z2= 3i z3= i-2
H -> w1= 1+i w2= 0 w3= -1-i
Als Möbiustransformation folgt dann:
K->H w -> 12 / ((1-i)z+(1+i))
Das Inverse ist somit:
H->K w-> ((1+i)z-12) / (i-1)z
Das kann dann auch als Lösung der Aufgabe gesehen werden, oder?
Servus
Spieler2012
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Buri
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| Beitrag No.11, eingetragen 2015-08-20
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\quoteon(2015-08-19 20:14 - Spieler2012 in Beitrag No. 10)
Das kann dann auch als Lösung der Aufgabe gesehen werden, oder?
\quoteoff
Hi Spieler2012,
nein. Bevor du deine Lösung mitteilst, solltest du die Probe durch Einsetzen machen, auch wenn diese bei richtiger Rechnung nicht erforderlich ist.
Deine Rechnung kann aber nicht richtig sein.
Die Punkte sind jetzt in Ordnung.
Gruß Buri
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Spieler2012
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| Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2015-08-20
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Hallo Buri!
Gut,daß wenigstens die Punkte stimmen.
Ich glaube das Verfahren kann ich (trotz Rechenfehler)!
Folgende Aufgaben muß ich auch lösen:
http://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/9/43660_XX.png
Nach demselben Verfahren erhalte ich:
(1) H->E: z-> (z-i) / (-iz)
(2) C+->E: z-> (z+1) / (iz-i)
Stimmt das soweit?
(3) und (4) muß erst ich noch wissen, wie man es zeichnet.
(3) sieht bei mir aus, wie die obere Halbebene(?).
Viele Grüße
Spieler2012
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Buri
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| Beitrag No.13, eingetragen 2015-08-20
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\quoteon(2015-08-20 18:23 - Spieler2012 in Beitrag No. 12)
Nach demselben Verfahren erhalte ich ...
\quoteoff
Hi Spieler2012,
an dem Verfahren scheint etwas nicht zu stimmen.
Wir kennen es ja auch nicht.
(1) ist falsch.
(2) ebenfalls, immerhin wird damit C+ auf das Äußere von E abgebildet.
Gruß Buri
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Spieler2012
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| Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2015-08-20
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Korrektur zu (1):
H->E: z-> (z-i) / (-iz +1)
Tippfehler!!
Zu (2):
Ich setzte die Punkte in die MT-Formel ein:
Pumkte:
E -> z1= 1 z2= i z3= -1
C+-> w1= -i w2= 0 w3= i
Dann rechne ich E->C+ aus und bilde das Inverse!
Stimmen die Punkte?
DANKE für die Hilfe!!
Gruß
Spieler2012
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Buri
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| Beitrag No.15, eingetragen 2015-08-20
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\quoteon(2015-08-20 18:40 - Spieler2012 in Beitrag No. 14)
Tippfehler!
\quoteoff
Hi Spieler2012,
gut, damit ist (1) geklärt.
Bei (2) musst du nur die Punkte im selben Umlaufsinn wählen.
Das heißt, wenn du den Rand des einen Gebiets so durchläufst, dass das Gebiet links liegt, und du erreichst dann z1,z2,z3 in dieser Reihenfolge, dann müssen es bei dem anderen Gebiet w1,w2,w3 in dieser Reihenfolge sein.
Dies war für deine Punkte nicht erfüllt.
Also vertausche einfach w1 und w2 oder irgendein anderes Paar von Punkten, und dann klappt es.
Gruß Buri
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Spieler2012
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| Beitrag No.16, vom Themenstarter, eingetragen 2015-08-20
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Hallo Buri!
Vielen Dank! Jetzt kann ich das schonmal...
Ein Problem ist, daß ich vieles nicht zeichnen kann.
Ist (3) nicht diesselbe Ebene wie (2)?
Bei (4) handelt es sich um einen (waagrechten) Streifen (von -pi bis pi), oder?
Sind dann die Punkte w1= i*pi w2= -1-i*pi w3= 1+i*pi möglich?
Wenn ja, dann E -> S bestimmen und Inverses ist die Lösung.
Servus
Spieler2012
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Buri
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| Beitrag No.17, eingetragen 2015-08-21
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\quoteon(2015-08-20 21:25 - Spieler2012 in Beitrag No. 16)
1. Ist (3) nicht diesselbe Ebene wie (2)?
2. Bei (4) handelt es sich um einen (waagrechten) Streifen (von -pi bis pi), oder?
3. Sind dann die Punkte w1= i*pi w2= -1-i*pi w3= 1+i*pi möglich?
\quoteoff
Hi Spieler2012,
1. Natürlich nicht.
(2) ist eine Halbebene, (3) ist eine sog. geschlitzte Ebene.
2. Ja.
3. Es handelt sich weder um eine Halbebene noch um einen Kreis.
Es kann also nicht allein mit Möbius-Transformationen gehen, du musst auch andere Funktionen, die du kennengelernt hast, benutzen.
Zum Beispiel bei Aufgabe (2) die Wurzelfunktion √z.
Gruß Buri
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Spieler2012
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| Beitrag No.18, vom Themenstarter, eingetragen 2015-08-21
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Hallo Buri!
Mir ist eben einiges klar geworden!!!
Also mal zu (3):
Das ist die negativ geschlitzte Ebene.
Mit z->sqrt{z} kann man diese auf die rechte Halbebene abbilden. Die rechte Halbebene kann man z->i*z wieder auf die obere Halbebene abbilden. Dann bildet man noch H auf E ab (Cayley).
Das alles wird verknüpft, oder?
Also folgt als konforme Äquivalenz bei (3):
z-> (i*sqrt(z)-i) / (i*sqrt(z)+1)
Bei (4) muß man mit z->exp(z) den Streifen auf die Ebene aus (3) abbilden.
Nach den Verknüpfungen folgt:
z-> (i*exp(0,5z)-i) / (i*exp(0,5z)+1)
Paßt das so?
Schonmal vielen DANK!
Servus
Spieler2012
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Spieler2012
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Dabei seit: 09.08.2015
Mitteilungen: 58
| Beitrag No.19, vom Themenstarter, eingetragen 2015-08-23
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\quoteon(2015-08-21 18:29 - Spieler2012 in Beitrag No. 18)
Hallo Buri!
Mir ist eben einiges klar geworden!!!
Also mal zu (3):
Das ist die negativ geschlitzte Ebene.
Mit z->sqrt{z} kann man diese auf die rechte Halbebene abbilden. Die rechte Halbebene kann man z->i*z wieder auf die obere Halbebene abbilden. Dann bildet man noch H auf E ab (Cayley).
Das alles wird verknüpft, oder?
Also folgt als konforme Äquivalenz bei (3):
z-> (i*sqrt(z)-i) / (i*sqrt(z)+1)
Bei (4) muß man mit z->exp(z) den Streifen auf die Ebene aus (3) abbilden.
Nach den Verknüpfungen folgt:
z-> (i*exp(0,5z)-i) / (i*exp(0,5z)+1)
Paßt das so?
Schonmal vielen DANK!
Servus
Spieler2012
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Spieler2012
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| Beitrag No.20, vom Themenstarter, eingetragen 2015-08-26
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\quoteon(2015-08-23 16:23 - Spieler2012 in Beitrag No. 19)
\quoteon(2015-08-21 18:29 - Spieler2012 in Beitrag No. 18)
Hallo Buri!
Mir ist eben einiges klar geworden!!!
Also mal zu (3):
Das ist die negativ geschlitzte Ebene.
Mit z->sqrt{z} kann man diese auf die rechte Halbebene abbilden. Die rechte Halbebene kann man z->i*z wieder auf die obere Halbebene abbilden. Dann bildet man noch H auf E ab (Cayley).
Das alles wird verknüpft, oder?
Also folgt als konforme Äquivalenz bei (3):
z-> (i*sqrt(z)-i) / (i*sqrt(z)+1)
Bei (4) muß man mit z->exp(z) den Streifen auf die Ebene aus (3) abbilden.
Nach den Verknüpfungen folgt:
z-> (i*exp(0,5z)-i) / (i*exp(0,5z)+1)
Paßt das so?
Schonmal vielen DANK!
Servus
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