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Funktionentheorie » Holomorphie » Woher kommt das kleinste t_0 in diesem Beweis? (Nullstellen holomorpher Funktionen)
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Universität/Hochschule J Woher kommt das kleinste t_0 in diesem Beweis? (Nullstellen holomorpher Funktionen)
Phi1
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  Themenstart: 2015-08-29

Hi! Ich hätte zu folgendem Beweis eine Frage (aus Funktionentheorie, Peschl): \ Behauptung: Es sei f eine auf einem Gebiet G\subset \IC holomorphe Funktion, die auf einer Kreisscheibe U_(\epsilon) (z_0 ) mit z_0 \in G identisch Null ist. Dann ist f auf ganz G identisch Null. Beweis: Annahme f sei in z_1 \in G nicht Null. Da G ein Gebiet ist gibt es eine stetige Kurve \gamma, die z_0 und z_1 verbindet; also \gamma(0) = z_0 und \gamma(1) = z_1 . Somit gäbe es ein kleinstes t_0 ,mit 00 beliebig klein, identisch Null wäre. Da aber für nicht konstante holomorphe Funktionen die Nullstellen isoloiert sind, ist die sein Widerspruch. Ich verstehe nicht warum es ein kleinstes t_0 geben sollte? Sollte man nicht das größte nehmen, da ich ja mit t_0 beliebig nahe an z_0 herankomme? Viel könnt ihr mir helfen? MfG


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egndgf
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  Beitrag No.1, eingetragen 2015-08-29

Hallo, das folgt aus der Stetigkeit von f und $\gamma$. Danach ist nämlich $\{t\in [0,1],f\circ\gamma(t)\neq 0\}$ offen und das Infimum $t_0$ dieser Menge (welches aus Stetigkeitsgründen nicht 0 sein kann, denn $f\circ\gamma$ verschwindet in einer Umgebung der 0) ist nicht Teil davon, sondern ein Element von $\{t\in [0,1],f\circ\gamma(t)=0\}$. Es ist übrigens in der Tat das Maximum (nicht Minimum) von $\{t\in [0,1],f\circ\gamma\equiv 0\text{ auf }[0,t]\}$ gemeint. Dieses $t_0$ ist übrigens eindeutig bestimmt durch die Vorgaben $f\circ\gamma\equiv 0$ auf $[0,t_0]$ und nicht $f\circ\gamma\not\equiv 0$ auf jedem $[0,t_0+\varepsilon]$ mit beliebigem $\varepsilon>0$. Wenn dein Autor $t_0$ über diese beiden Forderungen definiert, dann ist allerdings der Hinweis auf das Kleinste unsinnig. MfG egndgf


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Buri
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  Beitrag No.2, eingetragen 2015-08-29

\quoteon(2015-08-29 15:03 - Phi1 im Themenstart) Ich verstehe nicht warum es ein kleinstes t0 geben sollte? \quoteoff Hi Phi1, das t0 ist eindeutig bestimmt, siehe Beitrag #1. Es ist also sowohl die kleinste als auch die größte Zahl mit den beiden genannten Eigenschaften. Es ist auch klar, dass 0 < t0 < 1 sein muss, obwohl es den Beweis nicht stören würde, wenn t0 = 1 wäre, es kommt ja sowieso am Schluß ein Widerspruch heraus. Diese Behauptung \quoteon(2015-08-29 15:03 - Phi1 im Themenstart) Da aber für nicht konstante holomorphe Funktionen die Nullstellen isoloiert sind, ist die sein Widerspruch. \quoteoff ist für Funktionen auf offenen Mengen, die keine Gebiete sind, falsch. Sie ist richtig für Funktionen auf Gebieten, aber wenn man das schon weiß, dann ist die ganze Beweiskonstruktion mit der Kurve γ und der Stelle t0 überflüssig, und die Behauptung folgt daraus unmittelbar in einer Zeile. Gruß Buri


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Phi1 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Phi1 hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.

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