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  Diamantstruktur |
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EpsilonDelta
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 |  Themenstart: 2015-09-13
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Diamant kristallisiert in einer kubisch flächenzentrierten Form mit Basis (0,0,0), (1/4,1/4,1/4).
Ist die Basis nicht "zu wenig", also fehlen hier nicht noch Atome?
Konstruiere ich diese Elementarzelle und füge C-Atome anhand der erwähnten Basis ein, so kann ich das Gitter nicht aufbauen, da innerhalb der Elementarzelle ja noch 3 Atome fehlen.
Irgendetwas verstehe ich hier nicht so ganz.
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Orangenschale
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 | Beitrag No.1, eingetragen 2015-09-13
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Hallo EpsilonDelta,
das Ergebnis stimmt schon. Die Koordinaten beziehen sich auf ein fcc Gitter, dessen Gittervektoren nicht entlang der kartesischen Achsen ausgerichtet sind:
$\boldsymbol{a}_1=\frac{a}{2}(0,1,1)$
$\boldsymbol{a}_2=\frac{a}{2}(1,0,1)$
$\boldsymbol{a}_3=\frac{a}{2}(1,1,0)$
Demnach kann man zeigen, dass das Volumen der Einheitszelle im fcc Gitter um das 8-fache kleiner ist als im einfach kubischen (sc) System,
also benötigt man für eine Diamatstruktur im Rahmen der Beschreibung als fcc Gitter weniger Atome für den Aufbau als mit einem sc Gitter.
Interessant ist allerdings, dass sowohl im sc als auch im fcc Gitter ein Atom bei den relativen Koordinaten $\frac{a}{4}(1,1,1)$ liegt.
Viele Grüße
OS
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EpsilonDelta
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2015-09-13
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Danke für die Antwort!
Ich habe gewusst, dass das Gitter kubisch flächenzentriert ist, jedoch reicht trotzdem die Beschreibung nicht aus.
Selbst mit einem fcc Gitter und dem Atom an der Stelle (1/4,1/4,1/4) fehlen noch immer drei.
Die kubischen Basisvektoren sind doch genau die des kartesischen Koordinatensystems, oder?
Auch deine Beschreibung scheint zu wenig zu sein. Mit deinen Basisvektoren könntest du zb. den Punkt (1/4,1/4,1/4) nicht erzeugen.
Irgendwie steh ich auf der Leitung sorry!
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Orangenschale
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| Beitrag No.3, eingetragen 2015-09-13
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Hallo EpsilonDelta,
das war schon alles korrekt. Die drei Atome fehlen nicht, du vergisst einfach die Periodizität des Gitters. Das Atom bei (0,0,0) taucht ja auch nochmal an den "Ecken" der primitiven Zelle auf, also $\frac a2(0,1,1)$, $\frac a2(1,0,1)$, $\frac a2(1,1,0)$. Das sind wahrscheinlich die, die dir noch "fehlen".
Das kubische Kristallsystem besteht aus drei Bravaisgittern: sc, fcc, und bcc. Nur die Gittervektoren des sc Gitters sind entlang der kartesischen Achsen ausgerichtet.
Zur letzten Frage.
Ich hatte dir die Gittervektoren $\boldsymbol a_i\,(i=1,2,3)$ des fcc Gitters angegeben. Die Vektoren sind linear unabhängig (Determinante $\neq$0), daher kannst du jeden Punkt des dreidimensionalen Raumes als Linearkombinaten der drei Vektoren schreiben, der (kartesische) Punkt (a/4,a/4,a/4) ergibt sich (rechne es einfach nach) durch die Kombination
$\begin{pmatrix}
a/4\\
a/4\\
a/4\\
\end{pmatrix}=
\frac 14 \boldsymbol a_1 + \frac 14 \boldsymbol a_2 +\frac 14 \boldsymbol a_3
$
Alles klar?!
OS
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EpsilonDelta
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2015-09-17
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Danke für deine Erklärungen. Nach einigem Grübeln habe ich verstanden was du meinst. Ich habe die Thematik mit Kristall = Gitter + Basis schon so oft durchgedacht, jedoch sind immer wieder Probleme aufgetreten.
Wenn man nicht die kanonischen Basisvektoren im $\mathbb{R}^3$ verwendet, dann stimmt deine Rechnung. Woher weiß ich aber auf welche Bais diese Koordinaten bezogen sind?
Außerdem wundert mich folgendes: In dem wiki-Artikel ist von der Basis (0,0,0),(1/4,1/4,1/4) die Rede. Die Basis an sich sind doch Vektoren und keine Koordinaten oder?
Oder ist die Basis die Angabe der Koordinaten in dem gewählten Koordinatensytem des Gitters?
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Orangenschale
Senior
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| Beitrag No.5, eingetragen 2015-09-17
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Du hast absolut recht, die Schreibweise ist verwirrend. Vor allem bei komplizierteren Gittern sollte immer angegeben sein, in welchen "Koordinatenachsen" ein Vektor dargestellt ist.
Letztendlich bedeutet eine Schreibweise wie $(s_1,s_2,s_3)$ immer "relative Koordinaten bezüglich der Koordinatenachsen", diese müssen nicht notwendigerweise orthogonal sein. Im Wikipedia Artikel ist nicht klar zu erkennen, welches Koordaintensystem gewählt wurde, man kann aber schlussfolgern, dass es die fcc Gittervektoren sein müssen, sonst wären es nicht genügend Atome.
Nochmal zusammenfassend:
Ein Vektor der Form $(s_1,s_2,s_3)$ ist demnach immer als eine Kurzform für die Schreibweise $\boldsymbol r = \sum_i s_i \boldsymbol a_i$ zu verstehen. Es gibt keinen Unterschied zwischen Koordinaten und Vektoren, beide beschreiben die Position eines Punktes gleichermaßen. Nimm ein Blatt Papier, suche dir einen beliebigen Punkt aus, zeichne von da aus zwei Vektoren in beliebiger Länge und Richtung. Nenne diese Vektoren $\boldsymbol a_1$ und $\boldsymbol a_2$. Der "Vektor" bzw. die "Koordinaten" (such dir was aus), z.B. $(1.5,2.5)$ sagen einfach, dass sich ein Punkt bei der Linearkombination $1.5\boldsymbol a_1+2.5\boldsymbol a_2$ befindet.
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