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Analysis » Differentialgeometrie » Untermannigfaltigkeit zeigen und skizzieren, Atlas konstruieren
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Universität/Hochschule J Untermannigfaltigkeit zeigen und skizzieren, Atlas konstruieren
kartoschki
Ehemals Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 04.06.2015
Mitteilungen: 36
  Themenstart: 2015-10-22

Hallo ich habe folgendes gegeben: Seien $0 < r < R$ und die Menge: $T^2 := \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 : ( \sqrt{x^2+y^2} - R)^2 + z^2 = r^2 \}$ Ich soll nun zunächst zeigen dass die Menge eine $C^1$ Untermannigfaltigkeit des $\mathbb{R}^3 ist$, eine Skizze anfertigen und einen Atlas für die Menge konstruieren. Dass die Menge eine Untermannigfaltigkeit ist, muss nach unserer Definitions gelten, dass: $\forall (x,y,z) \in T^2: \exists U \subset \mathbb{R}^3$ offen mit $(x,y,z) \in U, g \in C^1(U,\mathbb{R})$ sodass 1. $ T^2 \cap U = \{ (x,y,z) \in U : g(x,y,z) = 0 \}$ 2. rang$Dg = 1$ Wenn ich also die Funktion so definiere: $g(x,y,z) := ( \sqrt{x^2+y^2} - R)^2 + z^2 - r^2$ dann ist diese also schonmal stetig diffbar. Und die Ableitung ist: $Dg(x,y,z) = \begin{pmatrix} \frac{2x(\sqrt{x^2+y^2} - R)}{\sqrt{x^2+y^2}} & \frac{2y(\sqrt{x^2+y^2} - R)}{\sqrt{x^2+y^2}} & 2z \end{pmatrix}$ Und diese Matrix hat genau dann rang = 0, wenn (x = y = z = 0) oder ($\sqrt{x^2+y^2} = R$ und z=0). Ersteres geht schonmal nicht da ich sonst durch 0 teilen würde und zweites liegt gar nicht in der Menge. Also hätte ich damit die Untermannigfaltigkeit schon gezeigt? Was ich nicht ganz verstehe, was genau sind die offenen Us bei diesem Beispiel. Muss ich die angeben? Und wie skizziere ich das jetzt, wenn ich nicht genau weiss welche Werte r und R haben? LG

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pani
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Dabei seit: 15.10.2015
Mitteilungen: 13
  Beitrag No.1, eingetragen 2015-10-23

Hallo kartoschki, die U's sind die Definitionsbereiche der g's. Wenn bereits ein einziges g mit seinem Definitionsbereich die gesamte Untermannigfaltigkeit überdeckt, braucht man keine weiteren g's. Zu zeigen ist, dass für jeden Punkt der Untermannigfaltigkeit eine Funktion g existiert, welche auf einer Umgebung des Punktes definiert ist.

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