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  Bloch - Funktionen im Kronig-Penney Modell |
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Tensorin
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 03.01.2013
Mitteilungen: 194
 |  Themenstart: 2015-11-01
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Hallo,
ich verzweifel hier gerade an folgender Aufgabe.
Das Kronig-Penney Modell für Elektronen im eindimensionalen Kristallgitter ist gegeben durch
$ H = - \frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2}{\partial x^2} + U_0 \sum_{n = - \infty}^{\infty} \delta(x + na)$
(a) Leiten sie für das Kronig-Penney Modell explizit die Bloch-Funktionen her.
(b) Verifizieren sie das Ergebnis, indem sie die Orthonormiertheit
und Vollständigkeit ihrer Lösungen beweisen. Zu diesem Zweck, leiten Sie eine Ungleichung $|\cos(qa) + \frac{g}{q} \sin(qa)| < 1$, $g = \frac{m U_0}{\hbar^2}$
für die “erlaubten” Werte des Impulses q her.
(c) Untersuchen sie obengenannte Ungleichung und zeigen Sie, dass sie das Spektrum des Systems bestimmt. Illustrieren sie graphisch, dass das Spektrum als eine Serie von Bändern dargestellt werden kann.
(d) Diskutieren sie die Eigenschaften (z.B. Bandlücke, Bandkrümmung,...) der Bänder.
Welche Näherungen müssen Sie machen, um analytische Ausdrücke zu finden?
Wenn ich zu dem Thema recherchiere stoße ich eigentlich immer wieder auf das gleiche. Zum Beispiel hier. Das verstehe ich soweit auch. Aber ich kann das noch nicht ganz meinen Aufgaben zuordnen.
Der Link erklärt wo die Ungleichung in der (b) her kommt und wo die Bänder herkommen (c).
Aber mir ist nicht klar welche Bloch-Funktionen sie in der (a) wollen für die man in der (b) dann auch Orthonormiertheit und Vollständigkeit zeigen kann. Das sinnvollste was mir dazu bisher noch eingefallen ist wäre die Gleichung $- \frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2u_k}{dx^2} - \frac{\hbar^2 i k}{m} \frac{du_k}{dx} + \frac{\hbar^2 k^2}{2 m} u_k + U_0 \sum_{n = - \infty}^{\infty} \delta(x + na) u_k(x) = E_k u_k(x) $ zu lösen (falls das überhaupt so einfach geht) und dann für die Bloch-Faktoren die Eigenschaften zu beweisen.
Meint ihr das ist der richtige Weg oder habt ihr andere Ideen?
Bin für jede Hilfe dankbar.
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Tensorin
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 03.01.2013
Mitteilungen: 194
| Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2015-11-02
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Hallo,
ich hab jetzt im Internet zumindest eine gecachte Version der Lösung einer ganz ähnlichen Aufgabe hier gefunden. Leider hat das den Latex Code ziemlich zerschossen, aber vielleicht bringt es ja trotzdem etwas...
Die Aufgabe beginnt über Formel (13). Bis Formel (18) ist alles soweit klar. Da leiten sie einfach diese Ungleichung her.
Interessant wird es bei Formel (19).Leider lässt sich die Matrix, die jetzt unserem $u_k(r)$ entsprechen soll nicht mehr entziffern. Allerdings habe ich auch im folgenden auch nichts gesehen wo sie das $u_k$ explizit einsetzen. Sie sagen eigentlich nur, dass $u_k$ Gleichung (23) erfüllt und deshalb orthonormiert und vollständig ist, wie das ja auch für jede allgemeine Bloch-Funktion gilt.
Habt ihr eine Ahnung was das $u_k$ sein könnte?
Ich weiß die Seite ist schwer zu lesen, aber ich wäre für jede Hilfe dankbar. Ich weiß wirklich nicht was sie von mir wollen.
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