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| Autor |
 Kommutative Ringe |
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Papa_Schlumpf
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 06.05.2004
Mitteilungen: 34
 |  Themenstart: 2004-06-01
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Hallo ihrs,
mit Gruppen sind wir durch, jetzt kommt die Ringtheorie, und ich hab wie üblich ein Brett vor dem Kopf. 
Mir stellt sich folgendes Problem:
\
Sei R ein Ring und für alle r \el R gelte r = r^3. Zu zeigen ist, dass R kommutativ ist, und dass für alle r \el R gilt: 6r = 0.
Ähh, ich hab damit schon ne Menge rumprobiert, komme aber zu keinem Schluss, weiß einer von euch Rat?
Vielen Dank
Gruß Papa Schlumpf
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 Profil
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SchuBi
Senior 
Dabei seit: 13.03.2003
Mitteilungen: 19409
Wohnort: NRW
 |  Beitrag No.1, eingetragen 2004-06-02
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Hallo,Papa_Schlumpf!
Der 2. Teil ist einfach.
\blue\Für alle r \el R gilt: 6r = 0.
Es gilt: (r+r)=2r=(2r)^3
=>(2r)^3-2r=8r^3-2r=8r-2r=6r=0
wegen r=r^3
\blue\zum 1. Teil
Hier bin ich mir allerdings nicht sicher, da ich nicht sicher weiß, ob mein Schluß aus links- bzw. rechtsneutral vielleicht zu gewagt ist.
z.z. Für beliebige a,b \el R gilt: ab=ba
(1) ab=(ab)^3=ab\.ab\.ab=(a^3\.b)*ab\.ab*(ab^3)=a^2*(ba\.ba\.ba)*b^2=a^2\.ba\.b^2
(2) ab=a^3*b=a^2*ab=>a^2 ist linksneutral zu ab
(3) ab=a*b^3=ab*b^2=>b^2 ist rechtsneutral zu ab
Wegen (2) ergibt sich aus (1)
(4) ab=a^2*(ba*b^2)=ba*b^2
Wegen (3) ergibt sich aus (4)
ab=ba
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Plex_Inphinity
Senior
Dabei seit: 01.05.2002
Mitteilungen: 3601
 |  Beitrag No.2, eingetragen 2004-06-02
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Hallo,
diese Aufgabe ist auch als Problem von Herstein bekannt. Die Lösung
und eine Verallgemeinerung gibt es
hier
Gruß Plex.
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Martin_Infinite
Senior
Dabei seit: 15.12.2002
Mitteilungen: 39133
Wohnort: Münster
 | Beitrag No.3, eingetragen 2004-06-02
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@Schubi: Das mit der Neutralität funktioniert hier leider nicht. Ich saß gestern auch noch lange dran, habe nicht einmal 6r=0 geschafft.
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Papa_Schlumpf
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 06.05.2004
Mitteilungen: 34
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2004-06-02
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Ui, vielen Dank für die zahlreiche Beteiligung!
@SchuBi: Hmm, ob das zu gewagt ist? Ich lass mir das mit den links- bzw. rechtsneutralen nochmal durch den Kopf gehen.
@Plex: Vielen Dank, man muss halt nur wissen, wonach man suchen muss. 
@Martin_Infinite: Tja, genauso ging es mir. Zugegebenermaßen ist der zweite Teil allerdings wirklich nicht allzu schwierig.
Ich hoffe, das Brett (vor meinem Kopf) wird demnächst zumindest kleiner.
Nochmals vielen Dank
Gruß Papa Schlumpf
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| | Folgende Antworten hat der Fragensteller vermutlich noch nicht gesehen. |
Buri
Senior 
Dabei seit: 02.08.2003
Mitteilungen: 46882
Wohnort: Dresden
 | Beitrag No.5, eingetragen 2004-06-03
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Hi alle,
für die, die den Link noch nicht gelesen haben, hier ein Beweis der ersten Aussage.
Voraussetzung ist x3 = x für alle x.
(1) Aus xy = 0 folgt yx = (yx)3 = yxyxyx = 0.
(2) Es ist 0 = xy - x3y = x(y - x2y),
daraus folgt wegen (1): (y - x2y)x = 0.
(3) Wegen (2) ist y2(x2yx) = y2yx = yx = (yx)3, also y(yx - xy)xyx = 0.
Wegen (1) kann man y mit dem Restprodukt vertauschen, also
(yx - xy)xyxy = 0, dann ist 0 = (yx - xy)(xy)3 = (yx - xy)xy.
(4) Wenn man die Rollen von x und y vertauscht: (xy - yx)yx = 0,
und beides addiert, erhält man (xy - yx)2 = 0.
Durch Multiplikation mit xy - yx folgt 0 = (xy - yx)3 = xy - yx.
Also ist der Ring kommutativ.
Gruß Buri
[ Nachricht wurde editiert von Buri am 05.09.2006 21:10:40 ]
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juergenX
Aktiv 
Dabei seit: 08.07.2019
Mitteilungen: 913
 | Beitrag No.6, eingetragen 2023-06-06
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