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  Boltzmann Gleichung mit Spin-Bahn Wechselwirkung |
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Tensorin
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Mitteilungen: 194
 |  Themenstart: 2015-11-29
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Hallo,
ich bräuchte mal wieder eure Hilfe. Es geht um folgende Aufgabe (tut mir Leid sie ist ziemlich lang. Ich hoffe es liest trotzdem einer durch...).
Consider a system with spin-orbit interaction as described by the Hamiltonian $H = \frac{p^2}{2m} + \vec{\Omega}(\vec{p}) \vec{\sigma}$ where $\vec{\sigma} = (\sigma_x, \sigma_y, \sigma_z)$ is the vector of Pauli matrices and $\vec{\Omega}(\vec{p})$ is the fictitious “magnetic
field” that depends on momentum and thus describes the spin-orbit interaction. The Boltzmann equation is usually derived within the semiclassical approach, where we treat the quasiparticle momentum as a c-number (and not an operator). However, the electron spin has to be treated quantum-mechanically. This can be achieved by
considering the one-particle density matrix which is a 2 × 2 matrix in spin space. The rest of the variables one can treat semiclassically, i.e. $\rho \rightarrow \rho_{\sigma_1, \sigma_2}(\vec{r}, \vec{p},t)$. The kinetic equation can now be derived as usual. We consider time variation of the density
matrix and equate it to the collision integral. The quantum-mechanical treatment of the spin variables amounts to using the well-known quantum-mechanical definition where the time derivative of an operator is given by its commutator with the Hamiltonian.
This way in a spatially homogeneous systems one arrives at the equation $\frac{\partial \rho}{\partial t} + i [\vec{\Omega}(\vec{p}) \vec{\sigma},\rho] - e \vec{E} \frac{\partial \rho}{\partial \vec{p}} = I[\rho]$.
(a) Derive the above equation for a homogeneous system treating the spin variables quantum-mechanically and the momentum semiclassically. Simplify the equation for the steady state.
(b) Recall the well-known fact from quantum mechanics: any function of the Pauli matrices is a linear function. Therefore, the 2 × 2 density matrix can be written as $\rho = \frac{f}{2} \mathrm{1} + \vec{S} \vec{\sigma}$ Substitute this expression into the equation for the density matrix and find coupled equations for the charge and spin distribution functions f and S.
(c) Consider the simplest version of the spn-orbit coupling in two-dimensional systems, the so-called Rashba spin-orbit coupling, which is described by $\vec{\Omega} = \alpha(p_y, -p_x)$ Substitute the Rashba form of the spin-orbit coupling in the equations obtained above.
Hint: You are now dealing with a two-dimesnional system. The momentum is now
a 2D vector, but spin still has three components.
(d) Now we will make the simplest assumptions allowing us to solve the resulting kinetic equations. First, we assume that the external electric field is weak and the system is very close to its equilibrium state. Then the density matrix (as well as the distribution functions) can be written in the form $\rho = \rho^{(0)} + \delta \rho$. Assuming that the equilibrium state is described by the Fermi-Dirac distribution, find the explicit form of $\rho^{(0)}$, as well as $f^{(0)}$ and $S_j^{(0)}$.
(e) Finally, we assume that the collision integral can be treated in the $\tau$ -approximation. The resulting kinetic equations can be solved to the leading order in the applied
electric field similarly to the standard derivation of the Drude formula given in the lecture. Find the leading-order expression for the non-equilibrium corrections to the spin distribution functions $\delta S_x$ and $\delta S_y$.
(f) Use the obtained distribution functions to find the average spin polarization in the
system (the so-called Edelstein effect).
So jetzt zu meinen Ideen:
a) Mit der Heisenberg-Gleichung bekomme ich $\frac{d\rho}{d t} = \frac{\partial \rho}{\partial t} + \frac{i}{\hbar} [\Omega \sigma, \rho] = I[\rho]$ und die Boltzmann-Gleichung besagt $\frac{\partial \rho}{\partial t} - \frac{e}{\hbar} \vec{E} \frac{\partial \rho}{\partial k} = I[\rho]$
Aber irgendwie bekomme ich aus den beiden Gleichungen nicht die gewünschte Gleichung. Steh ich nur total auf dem Schlauch oder stimmt an den beiden Gleichungen was nicht?
Für den stationären Fall wird dann $I[\rho] = 0$ oder $\frac{\partial \rho}{\partial t} = 0$? Oder beides?
Zu b)
Ich dachte mir das man das in eine Gleichung für die Einheitsmatrix und eine für die Pauli Matrizen aufteilen kann. Dann käme ich auf so etwas:
$\frac{1}{2} \frac{\partial f}{\partial t} - \frac{1}{2} e \vec{E} \frac{\partial f}{\partial p} = I_0 $ und mit $i [\Omega \sigma, S \sigma] = - 2 \sigma (\vec{\Omega} \times \vec{S}) \Rightarrow$ $\frac{\partial S}{\partial t} - 2(\vec{\Omega} \times \vec{S}) -e \vec{E} \frac{\partial S}{\partial p} = \vec{I} $
Kann das stimmen? Die Gleichungen sollten doch gekoppelt sein und hier sehe ich keine Kopplung.
zu c) Da würde ich nur $\vec{\Omega} \times \vec{S}$ durch $- \alpha p_y S_x + \alpha p_x S_y$ ersetzen.
Ist da soweit was richtiges dabei?
Ich wäre über jedes Kommentar dankbar, auch wenn ihr euch nicht sicher seit. Und danke an alle, die überhaupt den ganzen Text gelesen haben.
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Tensorin
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| Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2015-11-30
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So, hier meine neusten Erkenntnisse. Vielleicht hilft das euch ja mir zu helfen.
Bei der a) denke ich immer noch, dass das eigentlich nicht schwer sein kann, aber wenn ich die von Neumann Gleichung $\frac{\partial \rho}{\partial t} = - \frac{i}{\hbar} [H, \rho]$ in die Boltzmann Gleichung $\frac{d \rho}{d t} = \frac{\partial \rho}{\partial t} - \frac{e}{\hbar} E \frac{\partial \rho}{\partial p} = I[\rho]$ einsetze fällt $\frac{\partial \rho}{\partial t}$ weg. Wenn ich die Heisenberg-Gleichung einsetze fällt das Kollisionsintegral weg...
Was übersehe ich bloß?
Bei der b) ist mir die Erkenntnis gekommen, dass die unteren Gleichungen durch das Kreuzprodukt gekoppelt sind. Das könnte also doch stimmen.
Bei der d) bekomme ich $\frac{1}{2} \frac{\partial}{\partial t} (f^{(0)} + \delta f) - \frac{1}{2} e E \frac{\partial}{\partial p} (f^{(0)} + \delta f)$ und $\frac{\partial}{\partial t} (S^{(0)} + \delta S) - \alpha (p_y ( S_x^{(0)} + \delta S_x) - p_x (S_y^{(0)} + \delta S_y)) - e E \frac{\partial}{\partial p}(S^{(0)} + \delta S) = I$
Da E und $\delta S$ klein sind fällt $E \cdot \delta S$ weg. Bei f genauso.
Jetzt hab ich Formel (8) von hier genommen.
Dazu muss ich zuerst den Hamiltonoperator als Matrix schreiben. Das $\frac{p^2}{2m}$ hab ich jetzt erst mal ignoriert. Ich wusste nicht was ich damit soll. Geht das?
Dann wäre $H = \begin{pmatrix} 0 & \alpha p_y + i \alpha p_x \\ \alpha p_y - i \alpha p_x & 0 \end{pmatrix}$ davon hab ich die Eigenvektoren und Eigenwerte ausgerechnet und in die Formel eingesetzt. Das $f_{eq}$ ist doch mein $\rho^{(0)}$, oder? Und dann hab ich $\rho^{(0)} = \frac{f^{(0)}}{2} \mathrm{1} + S_x^{(0)} \sigma_x + S_y^{(0)} \sigma_y + S_z^{(0)} \sigma_z$ als Linearkombination geschrieben. $ S_y^{(0)}$ wird dann Null, aber die anderen ergeben ziemlich hässliche Ausdrücke z.B. $ S_x^{(0)} = \frac{- i |p| (p_x + i p_y)}{1 + e^{\beta(\alpha |p| - \mu)}} + \frac{ i |p| (p_x + i p_y)}{1 + e^{-\beta(\alpha |p| + \mu)}}
$
Sieht das irgendwie richtig aus? Wäre echt froh über Hilfe.
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Tensorin
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2015-11-30
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Hallo,
ich bin mittlerweile zu dem Schluss gekommen, dass hinter dem $\frac{p^2}{2m}$ noch eine Einheitsmatrix stehen müsste. Das verändert aber nur die Eigenwerte und nicht die Eigenvektoren. Das Ergebnis wird also nicht grad schöner.
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Tensorin
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| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2015-12-01
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Hallo,
mir ist gerade endlich ein Licht aufgegangen wie die a) geht. Bei b) und c) bin ich mir inzwischen auch recht sicher das es passt, aber über Bestätigungen/Kommentare zur d) würde ich mich sehr freuen.
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Encro
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| Beitrag No.4, eingetragen 2015-12-01
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Hallo zusammen,
lediglich aus eigenem Interesse, da ich in einer
kurzen Recherche nichts passendes gefunden habe und auch
selbst kurz rumprobiert habe, wie leitet
man die in der a) angegebene Formel denn nun her?
Kannst auch gerne per PN schreiben.
Beste Grüße
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Tensorin
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Dabei seit: 03.01.2013
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| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2015-12-02
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Sitz du zufällig grad selber an der Aufgabe?
Ich bin zu dem Schluss gekommen, dass du die Dichtematrix im Heisenbergbild schreiben musst.
$ \frac{d}{dt} (e^{iHt/\hbar} \rho(r,p,t) e^{-iHt/\hbar}) = I[\rho] $
Die Ableitung der e-Funktionen ergibt dir den Kommutator und die Ableitung von $\rho(r,p,t)$ schreibst du mithilfe der Boltzmann-Gleichung um.
War das verständlich?
Ich dachte halt immer die partielle Ableitung in der Heisenberg-Gleichung wäre die partielle Ableitung im Ergebnis, aber wenn ich mir das so anschaue muss da die Boltzmann-Gleichung eingesetzt werden.
Was hältst du davon?
Und was hältst von der d)? Ich hab die Formel bisher nur in dieser einen Quelle gefunden und finde die Ergebnisse reichlich komisch.
Weiterhin hab ich mir überlegt ob man die Tatsache, dass $S^{(0)}_y = 0$ wird irgendwie schon mit diesem Edelstein-Effekt in Zusammenhang bringen kann.
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Encro
Neu
Dabei seit: 01.12.2015
Mitteilungen: 2
| Beitrag No.6, eingetragen 2015-12-02
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Heyho,
ja ich hab das gleiche Aufgabenblatt vor mir.
Zur Aufgabe a)
Ich habe das jetzt kurz nachgerechnet:
(1) $ \frac{d}{dt} (e^{iHt/\hbar} \rho(r,p,t) e^{-iHt/\hbar}) =
\frac{i}{\hbar} \left[H,\rho \right] + \frac{d}{dt}\rho $
Mir fehlt da irgendwie trotzdem noch der Term, aus dem dann das elektrische Feld resultiert. Ich habe mir eigentlich gedacht, nicht
zwingend ins Heisenberg-Bild zu wechseln, sondern sowas in der Art:
(2) $ \frac{d}{dt}\rho(r,p,t) = \frac{\partial p}{\partial t} \frac{\partial \rho}{\partial p} + \frac{\partial r}{\partial t} \frac{\partial \rho}{\partial r} + \frac{\partial \rho}{\partial t} $
Dabei ersetze ich dann das letzte mit der von Dir bereits erwähnt Neumann-Gleichung und erhalte den Kommutator dadurch. Mit $ \frac{\partial p}{\partial t} = -eE $ hätte man den Term, der vom elektrischen Feld abhängt und somit dann am Ende auch eine Gleichung wie in der Aufgabenstellung verlangt.
Zudem, steady state habe ich einfach $ \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0 $ gesetzt.
Zur Aufgabe b)
Ich denke, das passt alles, was hier schon im Thread steht bzw. hab ich jetzt keine andere Lösung für das Problem.
Zur Aufgabe c)
Würde ich auch nicht anders lösen können, wie bereits von Dir beschrieben.
Zur Aufgabe d)
Also das einfach in die Formel der Aufgabe c) einzusetzen halte ich zunächst mal für eine gute Idee. Beim weiteren Verlauf kann ich der ganzen Sache nicht so wirklich folgen. Zunächst mal wird in der Quelle ein $ f $ verwendet , was unserem $ \rho $ entsprechen sollte, oder? Es ist da ja auch von Dichtematrix die Rede.
Ich hätte jetzt einfach angenommen $ f^{0} $ enspricht der einfachen Fermi-Verteilung, so liest es sich zumindest in der Aufgabenstellung.
Alles in allem irgendwie eine schwere Aufgabe. Hast Du zufällig was zur ersten Aufgabe des Aufgabenblattes? (ich nehme an Karlsruhe?) Da kommt bei mir was ziemlich komisches raus, weil ich im Endeffekt nicht wirklich weiß, wie ich das machen soll :D
Viele Grüße
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Tensorin
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 03.01.2013
Mitteilungen: 194
| Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2015-12-02
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Zur a): Ich hab deine Gleichung (2) in (1) gesetzt.
Deinen Weg verstehe ich noch nicht.
Zur d) Ja, das f sollte $\rho$ sein. Und wenn $f^0$ einfach die Fermi-Verteilung wäre, was wäre dann dein $S^0$ und $\rho^0$?
Vielleicht hat ja jemand anders noch eine Idee.
Wäre ja mal schön, wenn sie wenigstens Punkte auf das Blatt schreiben würden und festlegen, wie viel Prozent wir brauchen :-(
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Dixon
Senior 
Dabei seit: 07.10.2006
Mitteilungen: 5816
Wohnort: wir können alles, außer Flughafen, S-Bahn und Hauptbahnhof
 |  Beitrag No.8, eingetragen 2015-12-02
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\quoteon(2015-12-02 15:03 - Tensorin in Beitrag No. 7)
Wäre ja mal schön, wenn sie wenigstens Punkte auf das Blatt schreiben würden und festlegen, wie viel Prozent wir brauchen :-(
\quoteoff
Sei pappen die Namen auf eine Zielscheibe und wer vom Dartpfeil getroffen wird darf die Klausur mitschreiben?
Grüße
Dixon
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Tensorin
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| Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2015-12-03
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Das würde ich denen auch noch zutrauen.
Nein, sie hatten nur noch nicht die Zeit und Muße zu entscheiden, was wir eigentlich erreichen müssen...
Ok, da Thema ist jetzt erledigt und ich war zumindest nicht vollkommen auf dem Holzweg.
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