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  Ableitung von Paralleltransport |
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eva1
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 30.01.2012
Mitteilungen: 401
 |  Themenstart: 2016-01-30
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Hallo,
ich muss folgendes beweisen, komme aber nicht weiter.
Sei $\xi$ eine Vektorbündel über einer Mannigfaltigkeit M mit Zusammenhang $\nabla$. Für einen Weg $\gamma:[0,1]\to M$ und einem Schnitt $s\in\Gamma(\xi)$ soll bewiesen werden, dass
$(\nabla_{\dot\gamma}s)\vert_{\gamma(0)} = \frac{d}{dt}\vert_{t=0} (P_t (s(\gamma(t))),$
wobei $P_t: E_\gamma(t) \to E(\gamma)(0)$ der Paralleltransport entlang $\gamma$ ist.
Könnt ihr mir einen Tip geben.
Viele Grüße
Eva
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Fabi
Senior 
Dabei seit: 03.03.2002
Mitteilungen: 4587
 | Beitrag No.1, eingetragen 2016-01-30
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Hi,
Waehle eine Basis von E_(\g(0)) und setze diese parallel entlang \g fort. Druecke dann s(\g(t)) in dieser Basis aus. Danach kann man beide Seiten der Gleichung ausrechnen.
Gruesse,
Fabi
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eva1
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 30.01.2012
Mitteilungen: 401
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2016-01-31
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Hallo Fabi,
danke fuer die Hilfe.
Damit kann ich $s(\gamma) (t) =\sum_i \phi^i(\gamma(t)) s_i(\gamma(t))$ schreiben.
Aber was ist denn jetzt $P_t(s(\gamma))(t)$?
Fuer die linke Seite habe ich
$(\nabla_{\dot\gamma}s)\vert_{\gamma(0)} =\sum_i \dot\gamma(\phi^i) s_i\vert_{\gamma(0)} +\sum_i \phi^i(\gamma(0)) \nabla_{\dot{\gamma}}s_i$.
Stimmt das soweit?
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Fabi
Senior
Dabei seit: 03.03.2002
Mitteilungen: 4587
| Beitrag No.3, eingetragen 2016-01-31
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Hi,
Der Paralleltransport ist linear und per Definition von parallel gilt ja P_t(s_i(\g(t)) = s_0(\g(t)).
Die linke Seite ist richtig, kann aber noch deutlich vereinfacht werden - die s_i sind ja parallel entlang \g.
Gruesse,
Fabi
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eva1
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 30.01.2012
Mitteilungen: 401
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2016-02-01
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Hi Fabi,
danke. Dann denke ich dass auf der LS steht:
$(\nabla_{\dot\gamma} s)\vert_{\gamm(0)} = \sum_i \dot\gamma(\phi^i) s_i\vert_{\gamma(0)}$
Die RS habe ich dann:
$\sum_i \frac{d}{dt}\vert_{t=0} \phi^i(\gamma(t)) s_i(\gamma(t)) =\sum_i \dot \phi^i (\gamma(0)) \dot\gamma(0) s_i(\gamma(0))+ \sum_i \phi^i(\gamma(t))\frac{d}{dt} s_i(\gamma(t)) $
Jedoch weiss ich nicht, wie ich das $s_i$ ableiten kann.
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