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  Wahrscheinlichkeitsverteilung aufstellen |
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tommy40629
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 |  Themenstart: 2016-02-11
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Hallo,
ich habe Aufgaben zur Erstellung der Verteilung / W-keitsverteilung einer diskreten Zufallsvariable (ZV) bearbeitet.
Dabei tritt ein Fehler auf, den ich mir nicht erklären kann.
Es geht immer um eine ZV, die aus $\Omega$ nach $\Omega' \subseteq \mathbb{R}$ abbildet.
Diese 2 Aufgaben hatte ich richtig:
2 Würfel werden 1-mal geworfen.
X ordnet jedem gewürfelten Paar (a,b) aus Ω die größere der beiden Zahlen zu.
Verteilung von X aufstellen!
http://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/9/31515_ll01.JPG
2 Würfel werden 1-mal geworfen.
Z ordnet jedem gewürfelten Paar (a,b) aus Ω die Summe der beiden Zahlen zu.
Verteilung von Z aufstellen!
http://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/9/31515_ll02.JPG
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Der Ereignisraum Omega beinhaltete immer 36 Elemente.
Jetzt ist es auch so, dass die W-keit eines Elementarereignisses immer $\frac{1}{36}$ ist.
Es liegt ja auch ein Laplace-W-keitsraum vor.
Um die W-keiten zu berechnen, berechnet man die relativen Häufigkeiten =$\frac{absolute~Häufigkeit}{|\Omega|}=\frac{absolute~Häufigkeit}{36}$
Dies hat bei beiden Würfelaufgaben funktioniert.
Beim Münzwurf geht es aber schief:
$P(z)=\frac{3}{4},P(k)=\frac{1}{4}$
X ordnet beim 3 fachen Münzwurf, jedem Ausgang die geworfene Zahl (es gibt ja Kopf oder Zahl) zu.
$X:\Omega\to \Omega'$
Also $X:\{(kkk),(zzz),(zzk),(kzz),(zkz),(zkk),(kkz),(kzk)\}\to\{0,1,2,3\}$
Wenn man jetzt die absoluten Häufigkeiten zählt, wie oft aus der Menge {0,1,2,3} die Elemente 0,1,2 und 3 zugeordnet werden, dann ergibt sich ja:
0---> 1-mal
1---> 3-mal
2---> 3-mal
3---> 1-mal
In der Ergebnismenge gibt es genau 8 Elemente.
Um die relative Häufigkeit zu berechnen, rechnet man ja:
$\frac{absolute~Häufigkeit}{alle~Ausprägungen}=\frac{absolute~Häufigkeit}{8}$
Es folgen dann diese FALSCHEN W-keiten:
P(0)=1/8
P(1)=3/8
P(2)=3/8
P(3)=1/8
Was bei den Würfelaufgaben funktioniert hat, ging hier schief. :-o :-o :-? :-?
Ich habe bemerkt, dass man in Grunde bei allen 3 Aufgaben eigentlich immer aufschreiben konnte, welche W-keit ein Elementarereignis hatte.
z.B. 2-facher Würfelwurf $P((1,2))=\frac{1}{6}*\frac{1}{6}$
z.B. 3-facher Münzwurf $P(kzk)=\frac{1}{4}*\frac{3}{4}*\frac{1}{4}$
Dann betrachtet man die absoluten Häufigkeiten und addiert alle W-keiten auf, die z.B. zur Häufigkeit "es kommt 2 mal Zahl vor" gehören.
Ist es denn so, dass man sich quasi immer eine Liste machen kann, wo man die W-keiten der Elementarereignisse aufschreibt, damit man nicht diesen Fehler begeht, wie ich es beim Münzwurf gemacht habe?? :-? :-?
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Ex_Senior
 | Beitrag No.1, eingetragen 2016-02-11
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Hallo tommy40629
Zunächst zum besseren Verständnis:
$\Omega$ ist ganz allgemein und banal für sich nur eine Menge von Ereignissen, hat noch nichts mit W'keiten zu tun.
Noch nicht einmal mit Zahlen muss $\Omega$ was zu tun haben. Z.B. die Ereignisse "Es schneit", "Es fällt ein Ziegel vom Dach" sind Ereignisse und haben zunächst mit Zahlen(-werten) aber auch nichts zu tun.
ERST, falls überhaupt, mit der Definition einer Zufallsvariablen, werden Ereignissen Werte zugewiesen(damit identifiziert). Damit ist aber noch nicht das Phänomen der W'keit im Spiel, erst in einem weiteren Schritt durch die Zuweisung der Werte der Zufallsvariablen mit jeweiligen W'keiten entsteht ein sog. W'-Raum.
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Valmont
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Mitteilungen: 410
| Beitrag No.2, eingetragen 2016-02-11
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\quoteon(2016-02-11 13:42 - tommy40629 im Themenstart)
Ist es denn so, dass man sich quasi immer eine Liste machen kann, wo man die W-keiten der Elementarereignisse aufschreibt, damit man nicht diesen Fehler begeht, wie ich es beim Münzwurf gemacht habe?? :-? :-?
\quoteoff
Ja, wenn die Ereignismenge endlich ist, dann geht das immer.
Der Ansatz, dass die Wahrscheinlichkeit gleich der relativen Häufigkeit ist, funktioniert dagegen nur, wenn die gezählten Elementarereignisse auch alle die gleiche Wahrscheinlichkeit haben. Das wäre im Münzwurf-Beispiel der Fall, wenn die Münze fair wäre. Wenn ich die Vorgabe richtig verstanden habe, dann soll es sich hier aber um eine gezinkte Münze handeln.
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tommy40629
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| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2016-02-11
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\quoteon(2016-02-11 14:51 - fermat63 in Beitrag No. 1)
Hallo tommy40629
Zunächst zum besseren Verständnis:
$\Omega$ ist ganz allgemein und banal für sich nur eine Menge von Ereignissen, hat noch nichts mit W'keiten zu tun.
Noch nicht einmal mit Zahlen muss $\Omega$ was zu tun haben. Z.B. die Ereignisse "Es schneit", "Es fällt ein Ziegel vom Dach" sind Ereignisse und haben zunächst mit Zahlen(-werten) aber auch nichts zu tun.
ERST, falls überhaupt, mit der Definition einer Zufallsvariablen, werden Ereignissen Werte zugewiesen(damit identifiziert). Damit ist aber noch nicht das Phänomen der W'keit im Spiel, erst in einem weiteren Schritt durch die Zuweisung der Werte der Zufallsvariablen mit jeweiligen W'keiten entsteht ein sog. W'-Raum.
\quoteoff
Es ist nicht so einfach das Problem ganz kurz zu fassen.
Ich versuche es aber einmal.
Ich kenne ja die Definition der Zufallsvariablen:
$X:\Omega\to \Omega'$, wobei $\Omega$ eine beliebige Menge ist.
Wir werden in der Klausur zu 100% eine Aufgabe haben, wo wir eine Verteilung einer Zufallsvariablen aufstellen müssen.
Z.B. Wir werfen eine Münze 3 mal und die ZV X zählt, wie oft 2 mal Zahl vorgekommen ist.
Zufallsvariable aufstellen:
$X:\Omega=\{(kkk),(zzz),(kzz),(zzk),(zkz),(kkz),(kzk)(zkk)\}\to\Omega'=\{0,1,2,3\}$
2 Mal Zahl liefern die Ergebnisse: kzz, zzk, zkz.
Die absolute Häufigkeit für 2-mal Zahl ist ja 3.
Die Anzahl der Elemente in $\Omega$ ist 8.
Relative Häufigkeit für 2-mal Zahl ist dann $\frac{3}{|\Omega|}\frac{3}{8}=P(3~mal~Zahl)$
Dieses Schema geht aber schief, wenn z.B. gilt:
$P(Zahl)=\frac{1}{5}~~P(Kopf)=\frac{4}{5}$.
Dann müßte ich mir für die Ergebnisse kzz, zzk, zkz erst einmal die W-keiten ausrechnen:$ P(kzz)=\frac{1*1*4}{5^3}=\frac{4}{5^3}=P(zkz)=P(zzk)$
Jetzt beträgt die relative Häufigkeit für 2-mal Zahl nicht mehr $\frac{3}{8}$, sondern $3*\frac{4}{5^3}$.
Um diesen Fehler zu vermeiden, wollte ich immer für jeden Ausgang des Experimentes die W-keiten bestimmen.
Dann mache ich keinen Fehler mehr, wenn die W-keiten eines Würfels, Glücksrades, Münze usw. nicht gleichverteilt sind.
Ich weiß nur nicht, ob ich damit immer noch in eine Falle laufen kann? :-? :-?
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1 begonnen.]
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tommy40629
Ehemals Aktiv
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2016-02-11
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\quoteon(2016-02-11 15:30 - Valmont in Beitrag No. 2)
\quoteon(2016-02-11 13:42 - tommy40629 im Themenstart)
Ist es denn so, dass man sich quasi immer eine Liste machen kann, wo man die W-keiten der Elementarereignisse aufschreibt, damit man nicht diesen Fehler begeht, wie ich es beim Münzwurf gemacht habe?? :-? :-?
\quoteoff
Ja, wenn die Ereignismenge endlich ist, dann geht das immer.
Der Ansatz, dass die Wahrscheinlichkeit gleich der relativen Häufigkeit ist, funktioniert dagegen nur, wenn die gezählten Elementarereignisse auch alle die gleiche Wahrscheinlichkeit haben. Das wäre im Münzwurf-Beispiel der Fall, wenn die Münze fair wäre. Wenn ich die Vorgabe richtig verstanden habe, dann soll es sich hier aber um eine gezinkte Münze handeln.
\quoteoff
Ja genau, die Münze ist quasi gezinkt.
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Ex_Senior
| Beitrag No.5, eingetragen 2016-02-11
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Hallo
dein vorgehen kann bei gezinkten Münzen nicht funktionieren, da die Wahrscheinlichkeiten nicht gleich sind. Da hilft ein Baumdiagramm.
mfgMrBean
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Ex_Senior
| Beitrag No.6, eingetragen 2016-02-11
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\quoteon(2016-02-11 15:34 - tommy40629
Z.B. Wir werfen eine Münze 3 mal und die ZV X zählt, wie oft 2 mal Zahl vorgekommen ist.
Zufallsvariable aufstellen:Zufallsvariable definieren:
$X:\Omega=\{(kkk),(zzz),(kzz),(zzk),(zkz),(kkz),(kzk)(zkk)\}\to\Omega'=\{0,1,2,3\}$
2 Mal Zahl liefern die Ergebnisse: kzz, zzk, zkz.
Die absolute Häufigkeit für 2-mal Zahl ist ja 3.
\quoteoff
Genau 2 Mal Zahl.
Die Anzahl der möglichen Ereignisse mit genau 2 Mal Zahl bei 3 Würfen ist 3 in der Ereignismenge $\Omega$.
Die Mächtigkeit von ${|\Omega |}=8$.
\quoteon(2016-02-11 15:34 - tommy40629
Relative Häufigkeit für 2-mal Zahl ist dann $\frac{3}{|\Omega|}=\frac{3}{8}$ =P(3~mal~Zahl)
\quoteoff
Die W'keit für genau 2 Mal Zahl bei 3 Würfen ist:
$\frac{3}{|\Omega|}=\frac{3}{8}$
\quoteon(2016-02-11 15:34 - tommy40629
Dieses Schema geht aber schief, wenn z.B. gilt:
$P(Zahl)=\frac{1}{5}~~P(Kopf)=\frac{4}{5}$.
Dann müßte ich mir für die Ergebnisse kzz, zzk, zkz erst einmal die W-keiten für genau 2 Mal Zahl bei 3 Würfen ausrechnen:$ P(kzz)=\frac{1*1*4}{5^3}=\frac{4}{5^3}=P(zkz)=P(zzk)$
Jetzt beträgt die relative Häufigkeit für 2-mal Zahl nicht mehr $\frac{3}{8}$, sondern $3*\frac{4}{5^3}$.
\quoteoff
Klar ! "geht das schief", hat ja auch nichts mit der definierten Zufallsvariablen zu tun !
Es gibt manchmal mehrere Möglichkeiten eine Zufallsvariable auf ein und der selben Ereignismenge zu definieren. Und nicht alle Teilereignisse sind dann für eine entsprechende Zufallsvariable relevant.
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.4 begonnen.]
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umlaufsatz
Senior
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Mitteilungen: 823
| Beitrag No.7, eingetragen 2016-02-11
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Außerdem: Wenn du irgendeinen W-Raum und eine ZV darauf angeben sollst, die zusammen die Realität (dein Experiment in einer Umgebung) abbilden, hast du im Wesentlichen viel Freiheit: Als Ereignismenge kannst du alles Mögliche nehmen, was auch nur irgendwie die relevanten Informationen enthält (die deine ZV nachher „extrahiert“). Zum Beispiel:
Ω sei die Menge von allem, was gerade auf der Welt passiert, inklusive deinem Münzwürf. Diese Menge Ω ist riesig, aber trotzdem interessiert dich am Ende nur z. B. die Verteilung der ZV oder die Unabhängigkeit von anderen ZVn. Auf diese Weise kannst du so viele ZVn „in“ einem gemeinsamen W-Raum unterbringen, wie du willst. Das ist auch der Approach, der in der Regel in der W-Theorie gegangen wird, nachdem man sich ein paar triviale/elementare Beispiele angesehen hat (z. B. Ω explizit hingeschrieben).
In deiner Klausur werden also bei allen anderen Aufgaben eher Ω und irgendwelche ZVn darauf gegeben sein (und womöglich deren Verteilung etc.). Und du musst dann selbst irgendwas bestimmen, ohne Ω und die ZV genau zu kennen (geschweige denn, sie selbst explizit definiert zu haben).
Hilft das?
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tommy40629
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 01.06.2011
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Wohnort: Germany, NRW
| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2016-02-12
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\quoteon(2016-02-11 20:00 - umlaufsatz in Beitrag No. 7)
Außerdem: Wenn du irgendeinen W-Raum und eine ZV darauf angeben sollst, die zusammen die Realität (dein Experiment in einer Umgebung) abbilden, hast du im Wesentlichen viel Freiheit: Als Ereignismenge kannst du alles Mögliche nehmen, was auch nur irgendwie die relevanten Informationen enthält (die deine ZV nachher „extrahiert“). Zum Beispiel:
Ω sei die Menge von allem, was gerade auf der Welt passiert, inklusive deinem Münzwürf. Diese Menge Ω ist riesig, aber trotzdem interessiert dich am Ende nur z. B. die Verteilung der ZV oder die Unabhängigkeit von anderen ZVn. Auf diese Weise kannst du so viele ZVn „in“ einem gemeinsamen W-Raum unterbringen, wie du willst. Das ist auch der Approach, der in der Regel in der W-Theorie gegangen wird, nachdem man sich ein paar triviale/elementare Beispiele angesehen hat (z. B. Ω explizit hingeschrieben).
In deiner Klausur werden also bei allen anderen Aufgaben eher Ω und irgendwelche ZVn darauf gegeben sein (und womöglich deren Verteilung etc.). Und du musst dann selbst irgendwas bestimmen, ohne Ω und die ZV genau zu kennen (geschweige denn, sie selbst explizit definiert zu haben).
Hilft das?
\quoteoff
Ja, ich denke schon.
Ich muss einfach noch ein paar Aufgaben zu diesem Thema rechnen.
Wenn das wieder schief geht, muss ich mich noch einmal melden.
Dann vielen Dank!! :-) :-)
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tommy40629 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
tommy40629 hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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