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 Aus stetiger Verteilung die Verteilungsfunktion berechnen |
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tommy40629
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 |  Themenstart: 2016-02-12
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Hallo!
(Edit 13.02.16 Unten ist eine schwerere Aufgabe.)
X sei eine stetige ZV mit der Dichtefunktion f(x).
Bestimme die jeweilige Verteilungsfunktion F(x).
Es gilt ja $F(x)=\int_a^bf(x)dx$
a)
$f(x)=\frac{1}{2}x,(0\le x \le 2)$
$F(x)=\frac{1}{2}\int(x)dx=\frac{1}{4}x^2 $
Diese Lösung stimmt
b)
$f(x)\lambda*exp(-\lambda x),(x\ge 0,\lambda>0)$
$F(x)=\lambda\int(exp(-\lambda x))dx$
Substitution:
$z=-\lambda x,\frac{dz}{dx}=-\lambda \Leftrightarrow dx=-\frac{1}{\lambda}dz$
$F(x)=\lambda\int(exp(-\lambda x))dx=-\frac{\lambda}{\lambda}\int(exp(z))dz=-exp(-\lambda x)$
Die Lösung ist aber $F(x)=1-exp(-\lambda x)$
Auf diese Lösung kommt man doch nur, wenn man rechnet:
$F(x)=\lambda\int_0^{\infty}exp(-\lambda x)dx=\lambda[-exp(-\lambda x)]_{x=0}^{\infty}=$
$\lambda[(\lim_{x\to \infty}(-\frac{1}{exp(\lambda x))})-(-exp(-\lambda 0))]=$
$\lambda[(0)-(-1)]=\lambda$
Leider falsch gedacht :-|
Bei meiner Lösung fehlt ja die Konstante $-exp(-\lambda x)$
$-exp(-\lambda x)+c \Leftrightarrow c-exp(-\lambda x)$
Wie kann ich jetzt berechnen, dass $c$ genau den Wert $1$ hat? :-? :-?
Beid er nächsten Aufgabe $f(x)=\frac{1}{x^2},(x\ge 1)$
Ist die Lösung auch $F(x)=1-\frac{1}{x}$ und nicht $-\frac{1}{x}$.
Die Konstante c ist hier auch wieder 1.
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RoPro
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 | Beitrag No.1, eingetragen 2016-02-12
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Hallo tommy40629,
Was sollen denn $a$ und $b$ in deiner Verteilungsfunktion sein? Außerdem sollte sie von $x$ abhängen, in deiner Definition ist $x$ aber die Integrationsvariable.
Stell zuerst sicher, dass du mit der richtigen Definition arbeitest, dann könnten sich deine Probleme von selbst lösen.
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tommy40629
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2016-02-12
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\quoteon(2016-02-12 11:41 - RoPro in Beitrag No. 1)
Hallo tommy40629,
Was sollen denn $a$ und $b$ in deiner Verteilungsfunktion sein? Außerdem sollte sie von $x$ abhängen, in deiner Definition ist $x$ aber die Integrationsvariable.
Stell zuerst sicher, dass du mit der richtigen Definition arbeitest, dann könnten sich deine Probleme von selbst lösen.
\quoteoff
Ich habe gerade die Definition angeschaut:
http://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/9/31515_lk002.JPG
Die obere Integrationsgrenze ist ja $x$.
In der (b) gilt $x\ge 0$ dann wäre die untere Integrationsgrenze 0.
In der letzten Aufgabe gilt $x\ge 1$.
Dann lautet hier das Integral $\int_1^xf(u)du$
Ich kann mir also allgemein merken:
$f(x)=...,(x\ge m)$ dann lautet $F(x)=\int_m^xf(u)du$
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RoPro
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| Beitrag No.3, eingetragen 2016-02-12
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Ja genau.
(Wenn man genau sein will, dann ist mit $f(x)=\dots,\,(x\ge m)$ eigentlich gemeint $f(x)=\begin{cases}\dots,\,x\ge m\\0,\quad x
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tommy40629
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2016-02-12
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\quoteon(2016-02-12 11:58 - RoPro in Beitrag No. 3)
Ja genau.
(Wenn man genau sein will, dann ist mit $f(x)=\dots,\,(x\ge m)$ eigentlich gemeint $f(x)=\begin{cases}\dots,\,x\ge m\\0,\quad x
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tommy40629
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| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2016-02-12
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Mit der Exponentialverteilung klappt es noch nicht richtig.
http://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/9/31515_lk003.JPG
Mein Ergebnis ist $1-\lambda e^{-\lambda x}$
Ich muss irgendwie noch das Lambda zu einer 1 transformieren.
$\lambda=1 \Rightarrow 1-exp(-\lambda x)$
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umlaufsatz
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| Beitrag No.6, eingetragen 2016-02-12
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Ja, dein Integral ist ja auch falsch.
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tommy40629
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| Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2016-02-12
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\quoteon(2016-02-12 12:30 - umlaufsatz in Beitrag No. 6)
Ja, dein Integral ist ja auch falsch.
\quoteoff
Also wenn für x gilt: $x\ge 0$ dann lautet das Integral nicht
$\int_0^x f(u)du$.
Sehe ich das richtig? :-?
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umlaufsatz
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| Beitrag No.8, eingetragen 2016-02-12
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Na ja, ich meine deine Stammfunktion von $ u \mapsto e^{-\lambda u} $. Überprüf deine Stammfunktion mal durch Ableiten :).
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tommy40629
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| Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2016-02-12
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Ich habe den Fehler gefunden, das Lambda kürzt sich ja mit -1/lambda.
Dann ist alles klar.
Vielen Dank!!! :-)
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tommy40629
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| Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2016-02-13
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Ich habe jetzt hier eine schwerere Aufgabe:
http://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/9/31515_llll0005.JPG
http://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/9/31515_llll0006.JPG
Stimmt das so? :-?
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tommy40629
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| Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2016-02-13
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ich habe es noch einmal neu, mit der Definition aus dem Papula gerechnet:
http://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/9/31515_llll0007.JPG
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RoPro
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| Beitrag No.12, eingetragen 2016-02-13
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Beim ersten Versuch hast du die obere Integrationsgrenze und die Integrationsvariable gleich bezeichnet, das führt natürlich zu Verwirrung.
Beim zweiten Versuch ist dieses Problem zwar beseitigt, aber da im Integral wegen der Indikatorfunktion nur Werte von $t$ mit $t>1$ relevant sind, hat man als untere Integrationsgrenze nicht mehr $-\infty$, sondern...?
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tommy40629
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| Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2016-02-13
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\quoteon(2016-02-13 12:50 - RoPro in Beitrag No. 12)
Beim ersten Versuch hast du die obere Integrationsgrenze und die Integrationsvariable gleich bezeichnet, das führt natürlich zu Verwirrung.
Beim zweiten Versuch ist dieses Problem zwar beseitigt, aber da im Integral wegen der Indikatorfunktion nur Werte von $t$ mit $t>1$ relevant sind, hat man als untere Integrationsgrenze nicht mehr $-\infty$, sondern...?
\quoteoff
Damit die Indikatorfunktion eine 1 und keine 0 liefert, muss t>1 sein.
Wenn ich das jetzt richtig verstanden habe, dann setzt man diesen Wert, hier $t>1$ als untere Integrationsgrenze ein.
Da wir im stetigen sind nehmen wir die 1 als untere Grenze:
$\int_{1}^z(...)dt$
http://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/9/31515_llll0008.JPG
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RoPro
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| Beitrag No.14, eingetragen 2016-02-13
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Bis auf einen Vorzeichenfehler in der allerletzten Gleichheit und der Tatsache, dass es bei bestimmten Integralen keine Integrationskonstante gibt (die Interpretation ist die Berechnung der Fläche unter dem Graphen, diese hat einen fixen Wert), stimmt die Rechnung jetzt.
Du hast dann die Verteilungsfunktion $F(z)$ für $z>1$ bestimmt. Was passiert für $z\le 1$? (Diese Frage musst du dir eigentlich auch bei einigen der vorigen Beispiele stellen.)
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tommy40629
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| Beitrag No.15, vom Themenstarter, eingetragen 2016-02-13
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\quoteon(2016-02-13 17:13 - RoPro in Beitrag No. 14)
Bis auf einen Vorzeichenfehler in der allerletzten Gleichheit und der Tatsache, dass es bei bestimmten Integralen keine Integrationskonstante gibt (die Interpretation ist die Berechnung der Fläche unter dem Graphen, diese hat einen fixen Wert), stimmt die Rechnung jetzt.
Du hast dann die Verteilungsfunktion $F(z)$ für $z>1$ bestimmt. Was passiert für $z\le 1$? (Diese Frage musst du dir eigentlich auch bei einigen der vorigen Beispiele stellen.)
\quoteoff
Für $z\le 1$ wird eine W-keit von Null ausgegeben.
Es werden nur W-keiten für Werte größer als 1 ausgegeben.
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RoPro
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| Beitrag No.16, eingetragen 2016-02-13
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Ja, $F(z)=P(X\le z)=0$ für $z\le 1$.
\quoteon(2016-02-13 18:46 - tommy40629 in Beitrag No. 15)
Es werden nur W-keiten für Werte größer als 1 ausgegeben.
\quoteoff
Was du damit sagen willst, ist unklar.
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