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  Punkt=Vektor? |
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Eraserhead
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 15.12.2012
Mitteilungen: 1067
 |  Themenstart: 2016-03-02
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Hallo,
ich bereite gerade eine Geometrie Stunde (Klasse 11) vor und ich merke, dass ich nicht das Buch dazu heranziehen kann, weil ich die Herangehensweise dort nicht gut finde. Wie genau unterscheidet man in der Schule denn Vektoren von Punkten im Raum? Ich kann mich an meine Schulzeit leider nicht mehr genau genug erinnern.
Ich denke, dass die Unterscheidung in dem Moment weg fällt, in dem man einen Ursprung wählt, denn damit sind jegliche Unterscheidungen zwischen Punkten und ihren Ortsvektoren eigentlich hinfällig.
Wie kann man das auf (didaktisch) sinnvolle Weise denn einführen?
Einerseits möchte ich nicht erst einen Vektorraum einführen müssen, andererseits ist die Definition über Pfeile mit Längen und Richtungen ziemlich sinnfrei.
Grüße
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viertel
Senior 
Dabei seit: 04.03.2003
Mitteilungen: 27787
Wohnort: Hessen
 | Beitrag No.1, eingetragen 2016-03-02
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Aber in dem Buch sollte es doch genau so stehen, wie es in der Schule gehandhabt wird – ob dir das gefällt oder nicht ist eine andere Frage.
Gruß vom ¼
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piquer
Senior 
Dabei seit: 01.06.2013
Mitteilungen: 517
 | Beitrag No.2, eingetragen 2016-03-02
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Hallo zusammen,
@viertel: Du hast mit deinem Einwand sicherlich Recht; ich muss aber aus eigener Erfahrung sagen, dass ich die in der Schule behandelte Geometrie erst verstanden habe, als mir der Unterschied zwischen $\IR^3$, dem Raum der Punkte und $\IR^3$, dem $\IR$-Vektorraum, an der Universität klar wurde. Deshalb finde ich das Vorhaben von Eraserhead gut, da das Konzept sehr anschaulich ist.
Vektoren dienen im affinen Raum $\IR^3$ dazu, die "Lagebeziehung" zwischen zwei Punkten $A,B \in \IR^3$ beschreiben. Der Verbindungsvektor $\vec{AB}$ gibt an, wie man sich zu bewegen hat, dass man von $A$ zu $B$ gelangt, oder anders: Der Vektor $\vec{AB}$ beschreibt eine Translation, die $A$ auf $B$ abbildet. Damit lässt sich erklären, was man unter einer Translation um den Vektor $v \in \IR^3$ versteht. Dann wird $A$ auf den Punkt $C = A+v$ abgebildet, wobei dann $v = \vec{CA}$ gilt. So lässt sich auch der Nullvektor motivieren, denn er stellt diejenige Translation dar, die alle Punkte unverändert lässt. Die Addition zweier Vektoren stellt dann die Verkettung zweier Translationen dar.
Insbesondere gibt es einen Vektor $a \in \IR^3$, für den $\mathcal{O}+a = A$ gilt. Dabei ist $\mathcal{O}$ der Ursprung. Dann nennt man $a$ den Ortsvektor von $A$.
Grüße
piquer
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Gerhardus
Senior 
Dabei seit: 22.09.2010
Mitteilungen: 418
Wohnort: Wetterau
 | Beitrag No.3, eingetragen 2016-03-02
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Ich glaube, man muss klar machen, dass verschiedene Definitionen gleichwertig sind. Sonst gibt es später viel Chaos. Mein Text dazu lautet:
"Vektoren werden in der Geometrie dargestellt durch gerade Pfeile, definiert durch Richtung und Länge. Parallele Vektoren gleicher Richtung und Länge gelten als gleich. Im Koordinatensystem werden sie durch eine Liste von reellen Zahlen beschrieben, die Koordinaten oder Komponenten heißen. So eine Liste heißt auch Zahlen-n-Tupel (n = Dimension = Anzahl der Koordinaten). Dort sind Vektoren gleich, wenn alle Koordinaten übereinstimmen. Zahlen-n-Tupel sind auch Punkte im Koordinatensystem, die durch Ortsvektoren dargestellt werden. Ein Ortsvektor hat den Nullpunkt als Schaft und den Punkt als Spitze des Pfeils."
Vielleicht hilft das weiter.
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Eraserhead
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 15.12.2012
Mitteilungen: 1067
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2016-03-02
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viertel: Ich verstehe deine Antwort leider nicht. Ich bin ja kein Lehrer und ich muss mich auch an kein Buch halten. Es geht nur darum, einen guten Mittelweg für den Einstieg in die Geometrie zu finden.
piquer: Das Problem, das ich in diesem Zusammenhang habe, ist:
Sowohl die Punkte im $\IR^3$ als auch die Vektoren werden mit $(x,y,z)$ notiert, also drängt sich zunächst stark die Frage auf, inwiefern es aus Sicht der Mathematik denn unterschiedliche Objekte sind. Die Translation, die du beschreibst, setzt ja voraus, dass man Punkte und Vektoren addieren kann. Ebenso kann man jedoch Vektoren und Vektoren addieren, also z.B. $A=B+\vec v+\vec w$. Bist du dir sicher, dass das nicht zu Verwirrung führt? Ich finde das Konzept von "Raumpunkten" eigentlich komplett irreführend und würde wahrscheinlich gerne von Anfang an über Ortsvektoren reden.
EDIT zu Gerhardus: Das Problem, das ich mit dieser Definition habe ist, dass Konzepte wie Länge und Richtung ja erst mathematisch definiert werden müssen für ein an sich sehr elementares Objekt. Ein Vektor existiert ja auch völlig unabhängig von diesen Dingen. Das Skalarprodukt kommt aber üblicherweise erst etwas später. Und vor allem, was soll denn die Richtung von $(1,2,3,4)\in\IR^4$ sein?
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.2 begonnen.]
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kurtg
Senior 
Dabei seit: 27.08.2008
Mitteilungen: 1300
| Beitrag No.5, eingetragen 2016-03-02
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Könnte man nicht einfach sagen, dass der affine Raum $\mathbb{A}^n$ (hier leben die Punkte) ein Torsor unter $\mathbb{R}^n$ (hier leben die Vektoren) ist?
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Chandler
Senior
Dabei seit: 07.03.2011
Mitteilungen: 1027
Wohnort: Hamburg
 | Beitrag No.6, eingetragen 2016-03-02
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\quoteon(2016-03-02 17:26 - kurtg in Beitrag No. 5)
Könnte man nicht einfach sagen, dass der affine Raum $\mathbb{A}^n$ (hier leben die Punkte) ein Torsor unter $\mathbb{R}^n$ (hier leben die Vektoren) ist?
\quoteoff
Klar könnte man das sagen. Es gibt aber immer ein paar Schüler, die dann nur Bahnhof verstehen...
Zum Thema: Wir hatten in der Schule eine klare Unterscheidung. Ein Punkt P wurde ohne Vektorpfeil geschrieben und in Zeilenform:
P = ( 1 | 2 | 4 )
Ein Vektor war wirklich ein anschaulicher "Pfeil" und zum Beispiel die Verbindung des Ursprungs O zum Punkt P. Dies wurde dann auch nur in Spaltenform geschrieben:
$\displaystyle \vec{a} = \vec{OP} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\4 \end{pmatrix}$
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Zetavonzwei
Senior 
Dabei seit: 07.03.2012
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Wohnort: Bamberg, Deutschland
 | Beitrag No.7, eingetragen 2016-03-02
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Hallo,
wie wäre es damit: Punkte sind statische Objekte mit Koordinaten.
Ein Vektor beschreibt eine Verschiebung dieser Punkte (bzw. "ist" diese Verschiebung).* Weil diese Verschiebung durch den Wert an der Stelle 0 eindeutig bestimmt ist, kann man hier eine Identifizierung vornehmen (vgl. Ortsvektor [nicht nur]).
Das ergibt insgesamt eine "geometrischere" (und funktionalere) Sicht auf das Objekt "Vektor", der jetzt quasi ein Repräsentant bzw. ein "kanonischer" Name für eine Abbildung ist. "Einen Vektor (auf einen Punkt) addieren" bedeutet entsprechend "die Abbildung (auf diesen Punkt) anwenden", Addieren von Vektoren ist die Hintereinanderausführung, die Darstellung als Pfeil stellt die tatsächliche Verschiebung eines speziellen Punktes dar.
*Dass man jede Verschiebung durch komponentenweises Addieren beschreiben kann, kann man anschaulich gut beschreiben: Man geht in x-, y- und z-Richtung entsprechend viele Einheiten.
Im Nachhinein klingt das dann doch wieder zu abstrakt...
Viele Grüße
Zvz
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Tirpitz
Senior 
Dabei seit: 07.01.2015
Mitteilungen: 787
 | Beitrag No.8, eingetragen 2016-03-02
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\quoteon(2016-03-02 18:50 - Zetavonzwei in Beitrag No. 7)
Hallo,
wie wäre es damit: Punkte sind statische Objekte mit Koordinaten.
Ein Vektor beschreibt eine Verschiebung dieser Punkte (bzw. "ist" diese Verschiebung).* Weil diese Verschiebung durch den Wert an der Stelle 0 eindeutig bestimmt ist, kann man hier eine Identifizierung vornehmen (vgl. Ortsvektor [nicht nur]).
Das ergibt insgesamt eine "geometrischere" (und funktionalere) Sicht auf das Objekt "Vektor", der jetzt quasi ein Repräsentant bzw. ein "kanonischer" Name für eine Abbildung ist. "Einen Vektor (auf einen Punkt) addieren" bedeutet entsprechend "die Abbildung (auf diesen Punkt) anwenden", Addieren von Vektoren ist die Hintereinanderausführung, die Darstellung als Pfeil stellt die tatsächliche Verschiebung eines speziellen Punktes dar.
*Dass man jede Verschiebung durch komponentenweises Addieren beschreiben kann, kann man anschaulich gut beschreiben: Man geht in x-, y- und z-Richtung entsprechend viele Einheiten.
Im Nachhinein klingt das dann doch wieder zu abstrakt...
Viele Grüße
Zvz
\quoteoff
Ich halte das für einen sehr guten Weg. Ich habe lange nie zwischen affinen und Vektorräumen getrennt, bis mich die mehrdimensionale Analysis dazu zwang, da alles keinen Sinn mehr ergeben hat. Insbesondere den Ortsvektor halte ich für ein eher schädliches Konstrukt, weil er m.M.n. den Unterschied zwischen Punkt und Vektor verschwimmen lässt und man der Notation nicht ansieht, ob es sich nun um einen "normalen" Vektor oder einen sog. "Ortsvektor" handelt. Beispiel Parametrisierung einer Geraden:
$t\mapsto\begin{pmatrix}3\\2\\1\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix}$. Diese Abbildung kann man nur als Gerade in einem affinen Raum bezeichnen, wenn man den Aufpunkt als "Ortsvektor" bzgl. des gewählten Ursprungs begreift und den anderen Vektor als Richtungsvektor, sodass in Summe wieder ein Ortsvektor herauskommt. Was hier Orts- und Richtungsvektor ist, steht aber nirgends geschrieben, man kann diesen Ausdruck auch einfach nur als Richtungsvektor begreifen. Die Herangehensweise, dass Vektoren (per Addition) auf Punkte wirken in Analogie wie lin. Abb. auf Vektoren, finde ich sehr anschaulich vermittelbar. Sagt man $t\mapsto o+\begin{pmatrix}3\\2\\1\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix}$, wobei man o als Koordinatenursprung (Punkt) definiert (bzw. für o z.B. (0|0|0) und nicht (0,0,0) schreibt, um es mit Kovektoren nicht zu verwechseln), so kann man dafür auf die Unterscheidung zwischen "Orts-" und "Richtungsvektor" verzichten.
Es ist ein schwieriger Kompromiss, einerseits etwas so zu vereinfachen, dass jeder auch nicht-so-Mathematik-affine Schüler etwas sinnvolles damit anfangen kann (sodass evtl. sogar etwas hängenbleibt) aber andererseits es nicht falsch wird, sodass alle Schüler, die später mal was mit Mathe machen, ihre falschen Vorstellungen überwinden müssen, was sehr schwerfällt.
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Eraserhead
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 15.12.2012
Mitteilungen: 1067
| Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2016-03-02
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\quoteon(2016-03-02 17:47 - Chandler in Beitrag No. 6)
Zum Thema: Wir hatten in der Schule eine klare Unterscheidung. Ein Punkt P wurde ohne Vektorpfeil geschrieben und in Zeilenform:
P = ( 1 | 2 | 4 )
Ein Vektor war wirklich ein anschaulicher "Pfeil" und zum Beispiel die Verbindung des Ursprungs O zum Punkt P. Dies wurde dann auch nur in Spaltenform geschrieben:
$\displaystyle \vec{a} = \vec{OP} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\4 \end{pmatrix}$
\quoteoff
Vermutlich wird das der beste Weg sein für die Schüler. Mit der Begründung von Zetavonzwei, also durch Einführen eines Ursprungs. Zum einen ist es fraglich, warum man etwas anderes meint, nur weil man die "Zahlen" in der Klammer übereinander statt nebeneinander schreibt, zum anderen ist es aber vermutlich auch unvermeidbar da eine Differenzierung zu schaffen, da gerade auch in Abituraufgaben oft mit Punkten bei geometrischen Körpern (Oktaeder ABCDEF) gearbeitet wird, das Konzept eines Punktes also schon mal irgendwo aufgetaucht sein muss.
\quoteon(2016-03-02 19:32 - Tirpitz in Beitrag No. 8)
Es ist ein schwieriger Kompromiss, einerseits etwas so zu vereinfachen, dass jeder auch nicht-so-Mathematik-affine Schüler etwas sinnvolles damit anfangen kann (sodass evtl. sogar etwas hängenbleibt) aber andererseits es nicht falsch wird, sodass alle Schüler, die später mal was mit Mathe machen, ihre falschen Vorstellungen überwinden müssen, was sehr schwerfällt.
\quoteoff
In der Tat. Eigentlich ein unlösbarer Kompromiss. Ich habe es hier nun schon zwei Mal gelesen und bei mir war es ebenfalls der Fall, dass man falsche/fehlerhafte Ansichten aus der Schule mit in das Studium genommen hat und diese dort loswerden musste.
Grüße
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DerEinfaeltige
Senior
Dabei seit: 11.02.2015
Mitteilungen: 3282
 | Beitrag No.10, eingetragen 2016-03-02
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Ich bin mal ketzerisch:
Warum überhaupt Vektoren geometrisch einführen?
Eine Liste oder ein Tupel addierbarer Objekte finde ich als Definition praktischer.
Schon alleine, weil Objekte mit realem Kontext (bspw. eine Einkaufsliste) viel greifbarer sind als abstrakte Koordinaten in uneindeutigen Projektionen.
Die Definition als "Translation" bzw. Parallelverschiebung nützt zudem wenig um dann zum Studienbeginn Formulierungen wie "Glätten eines Vektors von Grauwerten" zu verstehen.
PS.: Für mich war bspw. der Lösungsvektor eines GS immer ein Punkt und keine Translation.
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Gerhardus
Senior
Dabei seit: 22.09.2010
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Wohnort: Wetterau
| Beitrag No.11, eingetragen 2016-03-02
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Das Problem ist, dass die Schule nur die Vektorgeometrie kennt. Richtungen werden durch Winkel bestimmt, das Skalarprodukt über den Kosinus definiert. Man beachte auch gewisse Anwendungen in der (Schul-)Physik, womit die Mathematik zu verbinden ist.
Man muss also die Anforderungen des Abiturs beachten.
Später kommt man nicht darum herum, Vektoren und Vektorräume geometriefrei zu definieren.
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OmmO
Senior
Dabei seit: 01.12.2006
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Wohnort: Kiel
| Beitrag No.12, eingetragen 2016-03-02
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\quoteon(2016-03-02 18:50 - Zetavonzwei in Beitrag No. 7)
*Dass man jede Verschiebung durch komponentenweises Addieren beschreiben kann, kann man anschaulich gut beschreiben: Man geht in x-, y- und z-Richtung entsprechend viele Einheiten.
Im Nachhinein klingt das dann doch wieder zu abstrakt...
\quoteoff
So abstrakt muss das ja gar nicht sein.
Punkte sind A(nna) und B(en), die irgendwo im Klassenraum stehen. Der Vektor von A zu B ist der Weg, den man beschreiten muss, also Schritte nach vorn und zur Seite.
Nun kommt noch C(hristian) dazu.
Gehen zwei Schülerinnen oder Schüler, v und w, parallel bzw. synchron denselben Vektor von A zu B, wobei v bei A startet und w bei C, so landet w natürlich irgendwo, aber nicht bei B.
So kann man das ganze praktisch nachspielen. Ich habe das noch nie vor der ganzen Klasse versucht, sondern nur mit wenigen Schülern, die noch extreme Probleme damit hatten, aber ich glaube, dass die dadurch die Grundidee verstanden haben.
Vektoren (Wege) kann man ja auch verlängern, indem man sie 2x, 3x, 4x hintereinander abgeht. Dazu notiert man sich natürlich die gemachten Schritte nach vorn oder nach links.
Man kann den Vektor auch mit negativen Zahlen multiplizieren, dann muss man rückwärts gehen bzw. nach rechts.
Außerdem kann man Wege hintereinander ablaufen, dabei sind sogar Abkürzungen zugelassen. Daher kann man aus der Summe zweier Vektoren nicht mehr die einzelnen Summanden rekonstruieren.
Schwierigkeit dabei: Ein Weg ist nicht durch Start und Ziel beschrieben, sondern wie eine Schatzkarte: xy Schritte nach vorn, yx nach links usw.
Kann man aus meiner Sicht versuchen, wenn sich die SuS darauf einlassen. Es bringt wahrscheinlich mehr, als sich noch 20x zu wiederholen.
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Gerhardus
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| Beitrag No.13, eingetragen 2016-03-02
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Als Tipp möchte ich das Buch "Analytische Geometrie" von Karl Peter Grotemeyer, Berlin 1969 erwähnen.
Darin definiert er Vektoren zuerst geometrisch als "gebundene und freie Vektoren" und in einem späteren Kapitel durch Koordinaten.
Man muss also nicht mit n-Tupeln von Zahlen anfangen.
Wichtig ist die Lehre einer anderen Algebra.
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Ehemaliges_Mitglied
| Beitrag No.14, eingetragen 2016-03-02
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Was ich immer gut gefunden habe und auch meinen Tutanden so versucht habe zu vermitteln:
Vektoren sind Ortsangaben im Koordinatensystem. Sie stimmen genau dann mit Punkten überein, wenn man den Ursprung als Ausgangs"ort" nimmt.
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OmmO
Senior
Dabei seit: 01.12.2006
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Wohnort: Kiel
| Beitrag No.15, eingetragen 2016-03-02
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\quoteon(2016-03-02 23:43 - gudn in Beitrag No. 14)
Was ich immer gut gefunden habe und auch meinen Tutanden so versucht habe zu vermitteln:
Vektoren sind Ortsangaben im Koordinatensystem. Sie stimmen genau dann mit Punkten überein, wenn man den Ursprung als Ausgangs"ort" nimmt.
\quoteoff
Und was macht man, wenn die Schüler nach "Ortsangaben" auf Durchzug schalten?
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wessi90
Senior
Dabei seit: 16.09.2011
Mitteilungen: 2127
| Beitrag No.16, eingetragen 2016-03-03
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Ich finde es eigentlich am besten Vektoren also Objekte einzuführen, die man sinnvoll addieren und mit Zahlen multiplizieren kann. Sinnvoll soll einfach bedeuten, dass die bekannten Rechengesetzen gelten sollen.
Dann kann man sehen, dass Verschiebungen Vektoren sind und ordnet ihnen Tupel von Zahlen zu, die angeben, in welche Richtung man wie weit verschiebt.
Aber auf diese Weise erfasst man auch alle anderen Vektoren, bspw. stetige Funktionen. Ich finde nicht, dass diese Definition zu abstrakt ist. Es ist nur die Versprachlichung der Vektorraumaxiome.
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Gerhardus
Senior
Dabei seit: 22.09.2010
Mitteilungen: 418
Wohnort: Wetterau
| Beitrag No.17, eingetragen 2016-03-03
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Die moderne Geometrie hat Euklid vorgeworfen, dass er zuviel definiert hat: "Wir können nicht definieren, was ein Punkt oder eine Gerade ist. Also lassen wir es bleiben." (H. Meschkowski) Das war die Revolution von D. Hilbert. Wenn du in den Sätzen "Punkte, Geraden und Ebenen" durch "Tische, Stühle und Bierseidel" ersetzen kannst, betreibst du Mathematik in eigentlichen Sinne.
Fazit: Sich wegen Begriffserklärungen keine grauen Haare wachsen lassen, sondern auf die Strukturen achten!
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Eraserhead hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Eraserhead hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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