Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Buri Gockel
Strukturen und Algebra » Ringe » Primideale in Quotient von Polynomring finden
Autor
Universität/Hochschule Primideale in Quotient von Polynomring finden
FractalAntenna
Senior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 19.08.2013
Mitteilungen: 1285
  Themenstart: 2016-04-27

Hallo, ich frage mich, welche Verfahren es gibt, (minimale) Primideale über Idealen in Polynomringen zu finden, z.B. bzgl. $(x^3 y, y^2) \subseteq \mathbb{R}[x,y]$. Primideale über dem Ideal entsprechen Primidealen in $\mathbb{R}[x,y]/(x^3y,y^2)$, ok. Aber wie soll man weiter machen? Am liebsten würde ich den Quotienten ausrechnen (z.B. mit chinesischem Restsatz). Dann müsste ich aber das Ideal in ein Produkt koprimer Ideale zerlegen. Aber das geht hier nicht (oder doch?) Viele Grüße FractalAntenna


   Profil
FractalAntenna
Senior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 19.08.2013
Mitteilungen: 1285
  Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2016-04-27

Wie kann man denn den Quotienten erstmal ausrechnen (ich komm mir bald selbst blöd vor, das zu fragen)? Ich sehe einfach keine "schöne" Form im Stil eines Produkt zweier einfacher Quotienten o.Ä. Vielen Dank.


   Profil
Kollodez777
Senior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 15.07.2014
Mitteilungen: 1522
  Beitrag No.2, eingetragen 2016-04-27

Ich denke, das geht nicht. Du kannst $K[X]/(X^2)$ auch nicht "vereinfachen". Und hier hast du ja $K[Y,X]/(Y^2)$ und auch $K[X,Y]/(X^3Y)$. Ich würde also sagen, das lässt sich nicht verschönern. Und $\mathbb{R}[X,Y]$ ist auch kein Hauptidealring, sodass man die Primideale des Quotienten leicht finden könnte. Bei $K[X]/(X^2)$ ginge das noch recht einfach. Aber zumindest weißt du, dass $\mathbb{R}[X,Y]$ ein Ring der (Krull-)Dimension 2 ist. Vielleicht hilft das irgendwie.


   Profil
FractalAntenna
Senior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 19.08.2013
Mitteilungen: 1285
  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2016-04-27

Ja, hab ich mir doch gedacht. Wie kann ich dann an die Primideale kommen? Krull-Dimension ist noch unbekannt, daher muss es ohne gehen. Wie wäre es mit $\mathbb{R}[x,y]/(x^3 y, yx)$? Zumindest ist doch $(x)$ ein Primideal über $(x^3 y, yx)$. Ebenso für $(y)$. Sind sie minimal? Gibt es noch mehr?


   Profil
Kollodez777
Senior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 15.07.2014
Mitteilungen: 1522
  Beitrag No.4, eingetragen 2016-04-27

Hallo FractalAntenna, Mir ist da wieder etwas eingefallen: Stichwort "Primary Decomposition", die in Noetherschen Ringen immer existiert. Sei also $I=\bigcap_{i=1}^n Q_n$ eine "minimal primary decomposition" von $I$. Da $\mathbb{R}[X,Y]$ Noethersch ist, existiert so eine Decomposition. Was "minimal primary decomposition" genau heißt und die ganzen Sätze dazu, kannst du hier http://wstein.org/edu/Fall2003/252/references/Atiyah-MacDonald/Atiyah-McDonald-Commutative_Algebra.pdf ab Seite 30 (Kapitel 4) nachlesen oder auch auf Wikipedia kurz. Man nimmt nun die Radikale der $Q_i$, die primary ideals sind, und ihre Radikale sind damit Primideale $P_i:=\sqrt{Q_i}$. Nun hat man also verschiedene Primideale $\{P_1, ..., P_n\}$ und kann sich anschauen, welche davon minimal sind in dieser Menge (minimal bezüglich Mengeninklusion). Und diese minimalen Primideale sind dann genau die minimalen Primideale über $I$ in $\mathbb{R}[X,Y]$. Das kannst du auch alles oben im Link nachlesen. Du musst also eine primary decomposition von $I$ finden. Das geht wahrscheinlich mit Computer-Algebra, ich weiß es nicht. Oder du kannst versuchen, eine per Hand zu finden. PS: Es ist $\mathbb{R}[X,Y]/(X^3Y,Y)=\mathbb{R}[X]$. Die Primideale hiervon sind $(0)$ und alle Ideale $I=(f)$ mit irreduziblem $f\in \mathbb{R}[X]$.


   Profil
FractalAntenna
Senior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 19.08.2013
Mitteilungen: 1285
  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2016-04-27

Dass es solche eine Primärzerlegung (?) gibt, weiß ich wohl. Aber das kam alles noch nicht dran und scheint mir doch leider sehr aufwändig, zumindest, wenn man es per Hand machen will.


   Profil
Kollodez777
Senior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 15.07.2014
Mitteilungen: 1522
  Beitrag No.6, eingetragen 2016-04-27

Ich kenne das deutsche Wort nicht. Vielleicht Primärzerlegung. Das kam noch nicht dran? Ist das eine Übungsaufgabe? Was habt ihr denn für Hilfsmittel hierfür?


   Profil
Kollodez777
Senior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 15.07.2014
Mitteilungen: 1522
  Beitrag No.7, eingetragen 2016-04-27

Vielleicht ist ja $(X^3Y,Y^2)=(X^3,Y^2)\cap (Y)$? Ist eher Intuition. Ich denke, diese Gleichheit stimmt. Du kannst versuchen sie richtig zu beweisen. Und das wäre dann tatsächlich auch schon eine primary decomposition, denn: $(Y)$ ist prim, also primary. $\sqrt{(X^3,Y^2)}=\sqrt{\sqrt{(X^3)}+\sqrt{(Y^2)}}=\sqrt{(X)+(Y)}=(X,Y)$ ist maximal, also ist $(X^3,Y^2)$ primary. Unter den zur primary decomposition assoziierten Primidealen $\{(Y),(X,Y)\}$ ist $(X,Y)$ das minimale. Damit liegt nur $(X,Y)$ minimal über $I$. Einen anderen Weg kenne ich nicht, wenn es um minimale Primideale geht. Und wenn es um allgemeine Primideale über $I$ geht, so gibt es sicherlich viel mehr als $(X,Y)$. Das dürfte dann noch schwerer sein.


   Profil
FractalAntenna
Senior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 19.08.2013
Mitteilungen: 1285
  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2016-04-28

Keine Übung direkt. Ich habe da nur nachgedacht und wollte wissen, wie man systematisch vorgehen kann. Konkretes Rechnen ist ja immer schwierig. Vielleich gibt es die Tage ein update - oder jemand von euch hat noch eine Idee oder Anleitung :-)


   Profil
Triceratops
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 6372
Wohnort: Nordamerika
  Beitrag No.9, eingetragen 2016-04-28

Die Primideale in $k[x,y]/(x^3 y,y^2)$ entsprechen ordnungserhaltend den Primidealen in $k[x,y]/(x^3 y,y)$. Und es ist $k[x,y]/(x^3 y,y)=k[x]$. Es hat $k[x]$ genau ein minimales Primideal, nämlich das Nullideal. Das Urbild in $k[x,y]/(x^3 y,y^2)$ ist dann $(y)$. Alle weiteren Primideale haben die Form $(y,f)$, wobei $f \in k[x]$ irreduzibel ist.


   Profil
FractalAntenna
Senior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 19.08.2013
Mitteilungen: 1285
  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2016-04-28

Hallo Triceratops, danke für die Antwort. Das leuchtet ein. Vllt widmen wir uns dann noch dem Fall des Ideals $(x^3 y, xy)$, wo man das eine y nicht einzeln hat. Der Quotient ist dann $\mathbb{R}[x] \times \mathbb{R}[y]$, oder? Und darin die Primideale sind Produkte aus dem vollen Polynomring der einen mit Primidealen der anderen Unbestimmten.


   Profil
Triceratops
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 6372
Wohnort: Nordamerika
  Beitrag No.11, eingetragen 2016-04-28

Es gilt $(x^3 y,xy)=(xy)$. Der Quotient ist $k[x,y]/(xy)$ und nicht weiter vereinfachbar.


   Profil
Kollodez777
Senior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 15.07.2014
Mitteilungen: 1522
  Beitrag No.12, eingetragen 2016-04-28

Die Lösung zu $k[X,Y]/(X^3Y,Y)$ habe ich doch schon oben geliefert. Wieso macht ihr das wieder? Und die Lösung zu $k[X,Y]/(X^3Y,Y^2)$ habe ich oben auch schon geliefert im Falle von minimalen Primidealen. Was willst du also konkret wissen? Willst du wissen, wie die beliebigen Primideale über dem Ideal aussehen?


   Profil
Kollodez777
Senior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 15.07.2014
Mitteilungen: 1522
  Beitrag No.13, eingetragen 2016-04-28

Mir fällt was ein. Wir hatten oben $I=(X^3Y, Y^2)=(X^3,Y^2)\cap (Y)$. Ist nun $P$ ein Primideal über $I$, so gilt schon $(Y)\subset P$ oder $(X^3,Y^2)\subset P$. Die Primideale über $(Y)$ kennst du, da $K[X,Y]/(Y)=K[X]$. Die Primideale über $(X^3,Y^2)$ korrespondieren zu denen in $K[X,Y]/(X^3,Y^2)$ ...


   Profil
FractalAntenna
Senior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 19.08.2013
Mitteilungen: 1285
  Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2016-04-28

Ah, jetzt verwirren wir uns, weil zu viele Ideale im Spiel sind. (x³y,y) und (x³y,y²) sind bearbeitet. \quoteon(2016-04-28 12:03 - Kollodez777 in Beitrag No. 13) Die Primideale über $(Y)$ kennst du, da $K[X,Y]/(Y)=K[X]$. Die Primideale über $(X^3,Y^2)$ korrespondieren zu denen in $K[X,Y]/(X^3,Y^2)$ ... \quoteoff Die Primideale über (y) sind damit (y) selbst, weil (0) das minimale Primideale in k[x], richtig? Die anderen müssen jeweils (x) und (y) enthalten. Vermutlich sind das auch die minimalen? Primideale über (x³y,xy) entsprechen Primidealen in k[x,y]/(xy). (x) und (y) liegen über (xy) und ich würde vermuten, dass sie auch minimal sind. Irgendwie kommt mir das komisch vor. Es stimmt vermutlich nicht.


   Profil
Kollodez777
Senior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 15.07.2014
Mitteilungen: 1522
  Beitrag No.15, eingetragen 2016-04-28

Die Primideale über $(Y)$ sind die Ideale, die $(Y)$ enthalten und Primideale in $K[X,Y]/(Y)=K[X]$ sind. Die Primideale in $K[X]$ sind $(0)$ und $(f)$ für ein irreduzibles Polynom $f\in K[X]$. Also sind die Primideale über $(Y)$ gerade $(Y)$ und $(Y,f)$ mit $f\in K[X]$ irreduzibel (wobei $K[X]$ als Teilmenge von $K[X,Y]$ aufgefasst wird). Also ja: Die minimalen Primideale über $(Y)$ ist $(Y)$ selbst, weil es schon ein Primideal ist. Es ist $(XY)=(X) \cap (Y)$ und $(X)$ und $(Y)$ sind jeweils schon prim. Damit ist das eine minimale primary decomposition und die minimalen Primideale über $(XY)$ sind gerade $\{\sqrt{(Y)},\sqrt{(X)}\}$, also $(X)$ und $(Y)$.


   Profil
Triceratops
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 6372
Wohnort: Nordamerika
  Beitrag No.16, eingetragen 2016-04-28

Man braucht hier keine Primärzerlegung. Ein Primideal, das $xy$ enthält, enthält $x$ oder $y$. Also: Die Primideale in $k[x,y]/(xy)$ entsprechen den Primidealen in $k[x,y]/(x)=k[y]$ vereinigt mit den Primidealen in $k[x,y]/(y)=k[x]$. Geometrisch: $V(xy)=V(x) \cup V(y)$ ist das Achsenkreuz. @Kollodez777: Ein Primideal, das $f^n$ enthält, enthält auch $f$.


   Profil
Kollodez777
Senior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 15.07.2014
Mitteilungen: 1522
  Beitrag No.17, eingetragen 2016-04-28

Hallo Triceratops, Ja, das folgt direkt aus der Definition eines Primideals. Jedoch weiß ich nicht, in welchem Zusammenhang das hier relevant ist ($f^n\in P$ so $f\in P$). Richtig, ein Primideal, das $(XY)=(X)\cap (Y)=(X)\cdot (Y)$ enthält, enthält auch schon $(X)$ oder $(Y)$. Gute Idee mit der Definition des Primideals zu arbeiten. Aber die allgemeinen Primideale von $K[X,Y]/(X^3Y,Y^2)$ konnten wir bisher noch nicht erfassen.


   Profil
Triceratops
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 6372
Wohnort: Nordamerika
  Beitrag No.18, eingetragen 2016-04-28

Beitrag 9.


   Profil
xiao_shi_tou_
Senior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 12.08.2014
Mitteilungen: 1259
Wohnort: Augsburg
  Beitrag No.19, eingetragen 2016-04-28

Hi. Zur Ergaeanzung: Ich hab es mir so gedacht: Sei $ p $ ein minimales Primideal welches $(x^3y,y^2)=:a$ also gleichzeitig $ (x^3y) $ und $(y^2)$ enthaelt. Da $p$ prim ist, folgt aus letzterer Inklusion $(y)\subset p$. Nun ist aber $(y)$ ein Primideal über $a$, also kann nur $p = (y) $ gelten, wegen Minimalitaet. lg Dani [Die Antwort wurde nach Beitrag No.16 begonnen.]


   Profil
xiao_shi_tou_
Senior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 12.08.2014
Mitteilungen: 1259
Wohnort: Augsburg
  Beitrag No.20, eingetragen 2016-04-28

Ich habe versucht diesen Spezialfall ein bisschen zu verallgemeinern. In $K[X_1,...,X_n]$: Wenn $p$ ein Primideal ist, welches $a:=(f_1,...,f_m)$, also gleichzeitig jedes der Ideale $(f_i) $ mit $i=1,2,...,m$ enthält, dann folgt aus der Primeigenschaft, dass für jedes $i$ , $p$ einen irreduziblen (=primen) Faktor $g_i$ von $f_i$, also $(g_i)$ enthalten muss, welches ein Primideal ist. Das scheint aber im allgemeinen nicht viel zu bringen, denn man kann sich diese $g_i$ nicht aussuchen, stattdessen kann man nur ihre Existenz annehmen. Zum anderen müssen diese $(gi)$ das Ideal $a$ nicht enthalten. Und selbst wenn man für jedes Primideal $p$ über $a$ ein $g_i$ mit $a\subset(g_i)$ finden könnte, müssten diese $(g_i)$ ja nicht unbedingt gleich sein. Sie könnten koprim zueinander sein. Wenn aber diese Ideale $(g_i)$ allesamt einander gleich sind, dann wäre $(g_i)$ das gesuchte minimale Ideal, wie im obigen Spezialfall, wo $(g_i)=(y)$ ist. Stimmt ihr dem zu? lg


   Profil
FractalAntenna
Senior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 19.08.2013
Mitteilungen: 1285
  Beitrag No.21, vom Themenstarter, eingetragen 2016-04-28

Ok, danke euch allen. In den obigen Beispielen war ja immer ein Erzeuger ein Teiler des anderen oder nur von einer Variablen. Wenn das nicht so ist, z.B. $(x^3y,y^3x)$, dann folgt aber genauso, dass die minimalen Primideale P darüber (x) und (y) sind, denn P enthält wegen Primalität x oder y, also (x) oder (y), und man ist wegen der Minimalität von P fertig (das ist eigentlich nur xiao_shi_tou_s Argument). @xiao_shi_tou: Wenn eines der g_i über a liegt, dann müsste das doch minimal sein oder? Und wäre das nicht der Fall, wenn g_i jedes f_j teilt?


   Profil
Triceratops
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 6372
Wohnort: Nordamerika
  Beitrag No.22, eingetragen 2016-04-28

Ja, es gilt $V(x^3 y,y^3 x) = V(xy,yx)=V(xy)$ als Mengen bzw. sogar topologische Räume (wieder wegen der Definition eines Primideals).


   Profil
xiao_shi_tou_
Senior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 12.08.2014
Mitteilungen: 1259
Wohnort: Augsburg
  Beitrag No.23, eingetragen 2016-04-29

Hi. @FractalAntenna Stimmt, du hast wohl Recht, aus $a \subset (g_i)$ würde bereits die Minimalitaet von $(g_i)$ über $a$ folgen. Bin noch recht unerfahren in diesem Gebiet, und habe das übersehen =). Denn, aus $(g)\in V(p) , p $ prim , folgt $(g)=p_i $ fuer alle $i$ . lg Dani


   Profil
FractalAntenna
Senior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 19.08.2013
Mitteilungen: 1285
  Beitrag No.24, vom Themenstarter, eingetragen 2016-04-29

Das war von mir auch erstmal eine Vermutung, aber es sollte stimmen. Was ist in deiner Begründung p_i und was g? Du meinst wohl g_i und p, oder?


   Profil
Kollodez777
Senior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 15.07.2014
Mitteilungen: 1522
  Beitrag No.25, eingetragen 2016-04-30

Und was ist $V(p)$? Nur $V(I)$ für $I \subset K[X_1, ..., X_n]$ macht doch Sinn?


   Profil
Triceratops
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 6372
Wohnort: Nordamerika
  Beitrag No.26, eingetragen 2016-04-30

$V(p) := V(\langle p \rangle)=\{a : p(a)=0\}$.


   Profil
Kollodez777
Senior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 15.07.2014
Mitteilungen: 1522
  Beitrag No.27, eingetragen 2016-04-30

Ach so, $p$ soll dann wohl ein Primelement von $K[X,Y]$ sein. Und was heißt $(g)\in V(p)$? $V(p)$ ist die Nullstellenmenge des Polynoms $p$. Was soll das dann heißen?


   Profil
xiao_shi_tou_
Senior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 12.08.2014
Mitteilungen: 1259
Wohnort: Augsburg
  Beitrag No.28, eingetragen 2016-05-01

Tut mir leid, dass ich mich unklar ausgedrückt hatte. Ich meinte: Wenn ein Hauptprimideal $(g)$ in $k[X_1,...,X_n]$ ein Primideal $p$ enthaelt, ($(g)\in V(p), p, (g)$ Primideale), dann gilt $(g)=p_i $fuer alle $i$ wo $p_i, i=1,2,...,m$ endlich viele prime Erzeuger von $p$ sind. kurz: $(1*)$ Aus $(g)\in V(p), p, (g)$ Primideale, folgt bereits $(g)=p$ Jedes Primideal $p$ in $k[X_1,...,X_n]$ laesst sich von endlich vielen Primelementen erzeugen. Das folgt direkt aus der Noethereigenschaft und der Primeigenschaft. Aus $(1*)$ folgt: Wenn ein Haupt-Primideal $(g)$ ein Ideal $a$ enthaelt, dann ist es bereits ein minimales Primideal über $a$. Im allgemeinen folgt aber aus $p\subset q , p,q, $ Primideale nicht, dass $p=q$ ist. Z.B. $p:=(X)\subset q:=(X,Y)$ in $k[X,Y]$. Nun ist $a=(f_1,...,f_k)\subset(g)$ genau dann wenn $g$ ein gemeinsamer Teiler der $f_i$ ist. Wenn also das Ideal $a$ endlich viele nicht-koprime Erzeuger besitzt, dann ist das Hauptideal $p:=($ ein irreduzibler gemeinsamer Teiler der $f_i)$ bereits ein minimales Primideal über $a$. Umgekehrt ist aber nicht jedes minimale Primideal über $a$ ein Hauptideal. Z.B. $a:=p:=(X,Y)$ in $k[X,Y]$ ein minimales Primideal ueber sich selbst, welches kein Hauptideal ist. Die Frage ist also, wie man minimale Primideale in $k[X_1,...,X_n]/a$ findet, wenn es keine nicht-koprimen Erzeuger von $a$ gibt. Wie man hier weitermacht, habe ich noch nicht ganz herausgefunden. lg Daniel


   Profil
Triceratops
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 6372
Wohnort: Nordamerika
  Beitrag No.29, eingetragen 2016-05-01

-> "Ideals, Varieties and Algorithms" von Cox, Little, O'Shea, Abschnitt 4.6. Dort geht es darum, wie man irreduzible Komponenten einer Varietät bestimmt - diese entsprechen bijektiv den minimalen Primidealen des Koordinatenringes.


   Profil
xiao_shi_tou_
Senior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 12.08.2014
Mitteilungen: 1259
Wohnort: Augsburg
  Beitrag No.30, eingetragen 2016-05-01

Mir ist etwas (triviales) aufgefallen: Edit: Das ist Unsinn: (Sei $a=(f_1,...,f_m)$ ein Ideal in $k[X_1,...,X_n]$. Waehle für jedes $i$ jeweils einen irreduziblen Faktor $g_i$ von $f_i$. Dann ist $p:=(g_1,...,g_m)$ ein Primideal ueber $a$. Sei jetzt $S_a$ die Menge aller dieser Primideale, also $ S_a := \{p \text{ Primideal ueber } a : p=(g_1,...,g_m), g_i | f_i ,i=1,2,...,m \} $. Sei nun $p$ irgendein beliebiges Primideal ueber $a$. Dann gibt es für jedes $i$ einen irreduziblen Faktor $g_i$ von $f_i$, welcher in p enthalten ist. Edit: Das scheint nicht zu stimmen. Das heisst: $S_a$ ist genau die Menge aller Primideale über $a$. Man kann wohl nur schliessen, dass für jedes Primideal $p$ welches $a$ enthaelt, gibt es ein Ideal $q\in S_a$ mit $a\subset q\subset p$ ) lg Daniel [Die Antwort wurde nach Beitrag No.28 begonnen.]


   Profil
Triceratops
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 6372
Wohnort: Nordamerika
  Beitrag No.31, eingetragen 2016-05-01

\quoteon(2016-05-01 11:35 - xiao_shi_tou_ in Beitrag No. 30) Sei $a=(f_1,...,f_m)$ ein Ideal in $k[X_1,...,X_n]$. Waehle für jedes $i$ jeweils einen irreduziblen Faktor $g_i$ von $f_i$. Dann ist $p:=(g_1,...,g_m)$ ein Primideal ueber $a$. \quoteoff Wenn $k$ algebraisch abgeschlossen ist, ja. Ansonsten muss das nicht der Fall sein (und ursprünglich ging es hier um $k=\mathbb{R}$). Zum Beispiel ist $(x^2+1,y^2+1)$ kein Primideal in $\mathbb{R}[x,y]$, weil der Quotient $\mathbb{C} \otimes_{\mathbb{R}} \mathbb{C} \cong \mathbb{C} \times \mathbb{C}$ ist.


   Profil
Triceratops
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 6372
Wohnort: Nordamerika
  Beitrag No.32, eingetragen 2016-05-01

\quoteon(2016-05-01 11:35 - xiao_shi_tou_ in Beitrag No. 30) $S_a$ ist genau die Menge aller Primideale über $a$. \quoteoff Das stimmt selbst für algebraisch abgeschlossene $k$ nicht.


   Profil
xiao_shi_tou_
Senior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 12.08.2014
Mitteilungen: 1259
Wohnort: Augsburg
  Beitrag No.33, eingetragen 2016-05-01

@Triceratops Stimmt. Da war ich zu voreilig...


   Profil
FractalAntenna
Senior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 19.08.2013
Mitteilungen: 1285
  Beitrag No.34, vom Themenstarter, eingetragen 2016-05-26

Ich habe noch mal eine andere Frage. Wenn ich ein Ideal I in k[x_1, ..., x_n] habe und p ist ein irreduzibles Polynom in k[x_1, ..., x_n], ist dann das von der Restklasse p' von p in k[x_1, ..., x_n]/I erzeugte Ideal (p') wieder ein Primideal/maximales Ideal in k[x_1, ..., x_n]/I?


   Profil
KidinK
Senior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 10.06.2013
Mitteilungen: 1138
  Beitrag No.35, eingetragen 2016-05-26

Wenn I das Einsideal ist, sicherlich nicht. Wenn $I$ in $(p)$ enthalten ist, dann ist $(p')$ ein Primideal. Ansonsten lässt sich natürlich nichts sagen. Sei etwa $p=x$, $I=(y^2)$ in $k[x,y]$. Liebe Grüße, KidinK


   Profil
FractalAntenna
Senior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 19.08.2013
Mitteilungen: 1285
  Beitrag No.36, vom Themenstarter, eingetragen 2016-05-26

Ja ok. Es konnte ja eigentlich auch nicht stimmen. Was ist denn k[x,y]/(y^2) / (x')? Es fällt mir irgendwie schwer, Ideale von Quotienten "auszurechnen".


   Profil
KidinK
Senior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 10.06.2013
Mitteilungen: 1138
  Beitrag No.37, eingetragen 2016-05-26

Du teilst y^2 und x raus. Übrig bleibt $k[y]/(y^2)$. Liebe Grüße, KidinK


   Profil
Kollodez777
Senior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 15.07.2014
Mitteilungen: 1522
  Beitrag No.38, eingetragen 2016-05-26

Hallo, $K[X,Y]/(Y^2)/([X]) \simeq K[X,Y]/(Y^2,X)\simeq K[Y]/(Y^2)$. [Die Antwort wurde nach Beitrag No.36 begonnen.]


   Profil
FractalAntenna
Senior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 19.08.2013
Mitteilungen: 1285
  Beitrag No.39, vom Themenstarter, eingetragen 2016-05-26

Ok, meine Vermutung war ohnehin (k[x,y]/I)/p' = k[x,y]/(I,p) und damit habe ich es eben selbst nachgerechnet. Danke.


   Profil
FractalAntenna hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.

Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2022 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]