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Strukturen und Algebra » Ringe » Die Abbildung definiert einen einzigen Automorphismus
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Universität/Hochschule Die Abbildung definiert einen einzigen Automorphismus
mathletic
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Hallo, sei $R$ ein kommutativer Ring und seien $b,c\in R$ mit $c$ invertierbar. Ich will zeigen dass die Abbildung $x\rightarrow cx+b$ einen einzigen Automorphismus von $R[x]$ definiert das idempotent in $R$ ist. Ich habe folgendes versucht: Sei $f(x)=cx+b$ und $p(x)\in R[x]$ ein Polynom. Dann haben wir die Abbildung $\phi : p(x)\mapsto (p\circ f)(x)$. Um zu zeigen dass diese Abbildung ein Homomorphismus ist, muss man zeigen dass $\phi (p_1+p_2)=\phi (p_1)+\phi (p_2)$ und $\phi (p_1p_2)=\phi (p_1)\phi (p_2)$. Wir haben folgendes: seien $p_1(x) = \sum\limits_{i = 0}^n c_ix^i, \ \ p_2(x) = \sum\limits_{i = 0}^n d_ix^i$ dann $\phi(p_1(x)+p_2(x)) = (p_1+p_2)(f(x)) = \sum\limits_{i = 0}^n (c_i+d_i)(ax + b)^i= \sum\limits_{i = 0}^n c_i(ax + b)^i + \sum\limits_{i = 0}^n d_i(ax + b)^i= p_1(f(x)) + p_2(f(x)) = \phi(p_1(x)) + \phi(p_2(x))$ Ist das richtig? Ausserdem haben wir folgendes: $\phi(p_1(x)p_2(x)) = (p_1p_2)(f(x)) = \sum\limits_{i = 0}^{2n} \sum\limits_{j=0}^ic_jd_{i-j}(ax + b)^i$ Wie kann man zeigen dass das gleich $\left (\sum\limits_{i = 0}^n c_i(ax + b)^i \right )\cdot \left ( \sum\limits_{i = 0}^n d_i(ax + b)^i\right )$ ist?


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Kollodez777
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  Beitrag No.1, eingetragen 2016-05-04

Hallo matheltic, Was genau willst du zeigen? Was soll idempotent sein? Dass $R[X]\to R[X]$, $X\mapsto cX+d$ einen Ringhomomorphismus definiert, folgt direkt aus der universellen Eigenschaft des Polynomringes. Da musst du nichts weiter zeigen (die Abbildung wird linear und multiplikativ fortgesetzt, das $f(aX^n)=af(X)^n$ usw.


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mathletic
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2016-05-04

\quoteon(2016-05-04 20:35 - Kollodez777 in Beitrag No. 1) Was soll idempotent sein? \quoteoff Mit idempotent meine ich dass jedes Element zu sich selber abgebildet wird. Ist "idempotent" nicht der richtige Ausdruck dafür? \quoteon(2016-05-04 20:35 - Kollodez777 in Beitrag No. 1) Dass $R[X]\to R[X]$, $X\mapsto cX+d$ einen Ringhomomorphismus definiert, folgt direkt aus der universellen Eigenschaft des Polynomringes. Da musst du nichts weiter zeigen (die Abbildung wird linear und multiplikativ fortgesetzt, das $f(aX^n)=af(X)^n$ usw. \quoteoff Muss man nicht zeigen dass die Abbildung $\phi : p(x)\mapsto (p\circ f)(x)$ einen Ringhomomorphismus definiert?


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Kollodez777
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  Beitrag No.3, eingetragen 2016-05-04

\quoteon(2016-05-04 21:17 - mathletic in Beitrag No. 2) Mit idempotent meine ich dass jedes Element zu sich selber abgebildet wird. Ist "idempotent" nicht der richtige Ausdruck dafür? \quoteoff Ein Element $a$ eines Ringes heißt idempotent, falls $a^2=a$. Was soll jetzt idempotent sein? Die Abbildung $\phi$? Welches mathematische Objekt soll idempotent sein? Jedes Element zu sich selber abgebildet wird? Durch was abgebildet? \quoteon Muss man nicht zeigen dass die Abbildung $\phi : p(x)\mapsto (p\circ f)(x)$ einen Ringhomomorphismus definiert? \quoteoff Das ist die universelle Eigenschaft des Polynomringes, die sagt gerade, dass es einen eindeutigen Ringhomomorphismus gibt, sodass $X\mapsto cX+d$. Google "Universelle Eigenschaft des Polynomringes".


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mathletic
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2016-05-04

\quoteon(2016-05-04 21:44 - Kollodez777 in Beitrag No. 3) \quoteon(2016-05-04 21:17 - mathletic in Beitrag No. 2) Mit idempotent meine ich dass jedes Element zu sich selber abgebildet wird. Ist "idempotent" nicht der richtige Ausdruck dafür? \quoteoff Ein Element $a$ eines Ringes heißt idempotent, falls $a^2=a$. Was soll jetzt idempotent sein? Die Abbildung $\phi$? Welches mathematische Objekt soll idempotent sein? Jedes Element zu sich selber abgebildet wird? Durch was abgebildet? \quoteoff Der Automorphismus ist idempotent. Also jedes Element wird zu sich selber durch den Automorphismus abgebildet.


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Kollodez777
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  Beitrag No.5, eingetragen 2016-05-04

Es wird aber dann nicht notwendig jedes Element auf sich selbst abgebildet. Sonst wäre $\phi$ doch die Identität. $\phi$ ist idempotent heißt $\phi^2 = \phi$. Insbesondere also $\phi^2(X)=\phi(X)$, das heißt $cX+d=\phi(X)=\phi^2(X)=c(cX+d)+d$. Damit $cX+d=c^2X+cd+d$, also $c^2=c$ und $cd=0$. Das kann aber nicht sein, da $c$ invertierbar ist, muss $c=1$ und $d=0$. Und dann ist in der Tat $\phi$ auch die Identität. Ich glaube, der Automorphismus soll nicht idempotent sein. Kannst du mal die Aufgabe im Orginalwortlaut, so wie sie dir gegeben ist, hier posten?


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mathletic
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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2016-05-04

\quoteon(2016-05-04 22:06 - Kollodez777 in Beitrag No. 5) Es wird aber dann nicht notwendig jedes Element auf sich selbst abgebildet. Sonst wäre $\phi$ doch die Identität. $\phi$ ist idempotent heißt $\phi^2 = \phi$. Insbesondere also $\phi^2(X)=\phi(X)$, das heißt $cX+d=\phi(X)=\phi^2(X)=c(cX+d)+d$. Damit $cX+d=c^2X+cd+d$, also $c^2=c$ und $cd=0$. Das kann aber nicht sein, da $c$ invertierbar ist, muss $c=1$ und $d=0$. Und dann ist in der Tat $\phi$ auch die Identität. Ich glaube, der Automorphismus soll nicht idempotent sein. Kannst du mal die Aufgabe im Orginalwortlaut, so wie sie dir gegeben ist, hier posten? \quoteoff Der Originaltext ist in griechisch. Ich habe ihn anscheinend falsch übersetzt. Also müsste es folgenderweise sein: Sei $R$ ein kommutativer Ring und seien $b,c\in R$ mit $c$ invertierbar. Zeigen Sie dass die Abbildung $x\rightarrow cx+b$ einen einzigen Automorphismus von $R[x]$ definiert der die Identität in $R$ ist. Um das zu zeigen muss man zeigen dass die Abbildung ein Isomorphismus ist, oder nicht?


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Kollodez777
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  Beitrag No.7, eingetragen 2016-05-05

Wenn die Abbildung die Identität ist, dann folgt notwendig $c=1$ und $d=0$. Das macht aber nicht Sinn, weil c und d fest sind, oder nicht? Nein, um das zu zeigen, muss man zeigen, dass es die Identität ist und nicht dass es ein Isomorphismus ist. Ach sooo, vielleicht ist gemeint, dass du zeigen sollst, dass die Abbildung einen Isomorphismus definiert. Das macht dann schon mehr Sinn. Also, seien c und b fest und c invertierbar. Zeige, dass es genau einen Ringhomomorphismus $X\mapsto cX+b$ gibt, und dass diese sogar ein Isomorphismus ist. Aber wenn du stünde, dass du zeigen sollst, dass die Abbildung die Identität ist, dann müsstest du wirklich nur das zeigen und nichts anderes. Wenn es die Identität wäre, dann wäre es natürlich ein Isomorphismus, aber zu zeigen dass es ein Isomorphismus ist, reicht natürlich nicht. Es gibt Isomorphismen, die nicht die Identität ist. Das nur zur Info. Das soll uns aber nicht interessieren. Deine Aufgabe ist es zu zeigen, dass genau ein Ringhomomorphismus mit $X\mapsto cX+b$ existiert und dass dieser ein Isomorphismus ist.


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Buri
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  Beitrag No.8, eingetragen 2016-05-05

\quoteon(2016-05-04 22:32 - mathletic in Beitrag No. 6) Um das zu zeigen muss man zeigen dass die Abbildung ein Isomorphismus ist, oder nicht? \quoteoff Hi mathletic, man muss die Abbildung überhaupt erst definieren, damit man etwas über sie zeigen kann. Anders formuliert, besagt die Aufgabe, dass es genau einen Homomorphismus p : R[x] --> R[x] gibt mit p(x) = cx + b, und dass dieser sogar ein Isomorphismus ist. Gruß Buri


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mathletic
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  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2016-05-09

\quoteon(2016-05-05 12:55 - Buri in Beitrag No. 8) \quoteon(2016-05-04 22:32 - mathletic in Beitrag No. 6) Um das zu zeigen muss man zeigen dass die Abbildung ein Isomorphismus ist, oder nicht? \quoteoff Anders formuliert, besagt die Aufgabe, dass es genau einen Homomorphismus p : R[x] --> R[x] gibt mit p(x) = cx + b, und dass dieser sogar ein Isomorphismus ist. Gruß Buri \quoteoff Also wollen wir erst mal zeigen dass die Abbildung $p$ ein Homomorphismus ist: $p(x+y)=c(x+y)+b=(cx+b)+cy\neq (cx+b)+(cy+b)=p(x)+p(y)$ Oder habe ich etwas falsch gemacht? Sei $q(x)\in R[x]$ ein Polynom und $f(x):=cx+b$. Wenn wir folgende Abbildung definieren $\phi : q(x)\mapsto (q\circ f)(x)$ haben wir folgendes: Seien $p_1(x)=\sum_{i=0}^ma_ix^i$ und $p_2(x)=\sum_{i=0}^nd_ix^i$ dann wenn $n>m$ setzen wir $a_i=0$ für $i=m+1, \dots , n$ und dann $p_1(x)=\sum_{i=0}^na_ix^i$ $\phi (q_1(x)+q_2(x))=(p_1(x)+p_2(x))(f(x))=\sum_{i=0}^n(a_i+d_i)(cx+b)^i=\sum_{i=0}^n(cx+b)^i+\sum_{i=0}^nd_i(cx+b)^i=p_1(f(x))+p_2(f(x))=\phi (p_1(x))+\phi (p_2(x))$ und $\phi (p_1(x)p_2(x))=\phi [(\sum_{i=0}^ma_ix^i)(\sum_{i=0}^nd_ix^i)]=\phi (\sum_{i=0}^{m+n}(\sum_{j+k=i a_jd_k)x^i]=\sum_{i=0}^{m+n}\phi ((\sum_{j+k=i}a_id_k)x^i)=\sum_{i=0}^{m+n}(\sum_{j+k=i}a_jd_k)(cx+b)^i=(\sum_{i=0}^ma_i(cx+b)^i)(\sum_{i=0}^nd_i(cx+b)^i)=(\phi (\sum_{i=0}^ma_ix^i))(\phi (\sum_{i=0}^nd_ix^i))=\phi (p_1(x))\phi (p_2(x))$ Ausserdem haben wir noch dass $\phi$ eine Bijektion ist. Also ist $\phi $ ein Isomorphismus von $R[x]$ zu $R[x]$, also ein Automorphismus. Ist es bisher richtig? Wir zeigt man aber dass es der einzige Automorphismus ist?


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ligning
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  Beitrag No.10, eingetragen 2016-05-09

Was ist y? :-? Und bei der Gelegenheit: Was ist x?


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mathletic
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\quoteon(2016-05-09 09:36 - ligning in Beitrag No. 10) Was ist y? :-? Und bei der Gelegenheit: Was ist x? \quoteoff Ich habe es falsch gedacht... Wir gucken ja Polynome mit der Variable $x$.


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ligning
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  Beitrag No.12, eingetragen 2016-05-09

Kennst du die universelle Eigenschaft des Polynomrings?


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\quoteon(2016-05-09 10:33 - ligning in Beitrag No. 12) Kennst du die universelle Eigenschaft des Polynomrings? \quoteoff Nein, wir haben diese Eigenschaft nicht in der Vorlesungen gesehen. Braucht man diese um zu zeigen dass der Automorphismus der einzige ist?


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ligning
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  Beitrag No.14, eingetragen 2016-05-09

Von "brauchen" kann keine Rede sein, aber sie gibt dir alles, was du hier zeigen musst, außer dass es ein Isomorphismus ist. Und wenn du sie nicht benutzt, führst du im Prinzip nur ihren Beweis in einem Spezialfall durch. Wie dem auch sei, Eindeutigkeit zeigt man wie immer so, dass man einen Homomorphismus $q: R[x]\to R[x]$ mit denselben Eigenschaften, also $q(x) = cx+d$ und $q|_R = \id_R$, annimmt, und dann $q=p$ folgert.


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mathletic
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  Beitrag No.15, vom Themenstarter, eingetragen 2016-05-09

\quoteon(2016-05-09 10:53 - ligning in Beitrag No. 14) Eindeutigkeit zeigt man wie immer so, dass man einen Homomorphismus $q: R[x]\to R[x]$ mit denselben Eigenschaften, also $q(x) = cx+d$ und $q|_R = \id_R$, annimmt, und dann $q=p$ folgert. \quoteoff Also haben wir dass $q(x)=cx+d=p(x)$ und $q|_R=\id_R=p|_R$. Also folgt es dass $q=p$, richtig?


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  Beitrag No.16, eingetragen 2016-05-09

Wann sind zwei Abbildungen gleich?


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  Beitrag No.17, vom Themenstarter, eingetragen 2016-05-09

\quoteon(2016-05-09 11:32 - ligning in Beitrag No. 16) Wann sind zwei Abbildungen gleich? \quoteoff Wenn die zwei bei jeden Punkt den gleichen Wert haben, richtig?


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ligning
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  Beitrag No.18, eingetragen 2016-05-09

Das war eine rhetorische Frage, die dich dazu anregen sollte, einen korrekten Beweis der Gleichheit der zwei Abbildungen zu finden.


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mathletic hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.

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