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Strukturen und Algebra » Ringe » Ring mit endlich vielen maximalen Idealen
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Universität/Hochschule J Ring mit endlich vielen maximalen Idealen
yann
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  Themenstart: 2016-06-11

Hallo, Sei $R$ ein (kommutativer) Ring mit endlich vielen maximalen Idealen. Dann ist $R$ entweder ein Körper oder $\underline{nicht}$ Jacobson. Trivialerweise können ja nur 2 Fälle auftreten: a) $R$ ist nicht Jacobson: hier muss ich zeigen, dass $R$ kein Körper ist. Das ist aber klar, da die Aussage logisch äquivalent ist zu: $R$ Körper $\Rightarrow$ $ R$ Jacobson. (Körper haben nur ein maximales/primes Ideal, nämlich 0) b) $R$ ist Jacobson: hier muss ich zeigen, dass $R$ ein Körper ist. Nach Voraussetzung ist jedes Primideal ein Schnitt von endlich vielen maximalen Idealen. Jemand eine Idee?


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Triceratops
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  Beitrag No.1, eingetragen 2016-06-11

Der Nullring ist ein Gegenbeispiel, denn der Nullring hat keine maximalen Ideale, ist Jacobson und kein Körper. Ein etwas interessnteres Gegenbeispiel ist das direkte Produkt von zwei Körpern. Das ist kein Körper, hat zwei maximale Ideale und ist 0-dimensional und folglich Jacobson.


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yann
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2016-06-11

Ok, $R\neq 0$ könnte man problemlos als Voraussetzung hinzufügen. Die 2 maximalen Ideale in $K_1\oplus K_2$ sind $(0,K_2),(K_1,0)$ vermute ich und das sind auch die einzigen Primideale, da jedes Primideal im direkten Produkt von der Form $(K_1,q)$ für $q\in Spec(K_2) = 0$ bzw. $(p,K_2)$ für $p\in Spec(K_1)=0$ ist. Ok, damit ist die Dimension, also die längste aufsteigende Kette von Primidealen 0. Also hast du vermutlich Recht. Ich vermute, das kann man nicht mit irgendeiner sinnvollen Voraussetzung beheben.


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yann
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  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2016-06-11

Ah doch, sei $R$ einfach ein Integritätsbereich. $K_1\oplus K_2$ ist keiner, da (0,1) und (1,0) Nullteiler sind. Stimmt die Aussage dann?


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Triceratops
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  Beitrag No.4, eingetragen 2016-06-11

Es gibt maximale Ideale $I_1,\dotsc,I_k$ mit $I_1 \cap \dotsc \cap I_k = 0$. Maximale Ideale sind immer paarweise koprim. Nach dem chinesischen Restsatz ist also $R \cong R/I_1 \times \dotsc \times R/I_k$. Der Rest sollte nun klar sein.


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yann
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  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2016-06-11

Ich darf nichts ausser die Definition verwenden. Ausserdem ist doch das direkte Produkt von Körpern i.A. kein Körper oder worauf wolltest du hinaus?


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yann
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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2016-06-11

Deinen Ansatz können wir denke ich doch verwenden, da steckt ja eigentlich nur die Surjektion R-> R/I_1 x ... x R/I_k hinter. Allerdings verstehe ich nicht, wie es weitergehen soll.


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Kollodez777
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  Beitrag No.7, eingetragen 2016-06-11

Schau dir den chinesischen Restsatz an. Das ist nicht nur die Surjektion, sondern auch schon eine Bijektion. $R$ ist nullteilerfrei. Also muss es auch das Produkt der rechten Seite sein. Also ...


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yann
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  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2016-06-11

Also folgt k = 1, da kanonische Einheitsvektoren immer Nullteiler sind und damit I_1 = 0. Damit hat R nur ein maximales Ideal 0, also ist R ein Körper.


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