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 Fehlerhafte Abiturprüfungsaufgabe? (Vektorrechnung / Raumgeometrie) |
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Saladori
Junior 
Dabei seit: 26.06.2016
Mitteilungen: 13
 |  Themenstart: 2016-06-26
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Hallo, Ihr Lieben!
Ich bin neu auf diesem Board und möchte daher die Gelegenheit nutzen, mich kurz vorzustellen.
Ich komme aus Thüringen und mein Abitur liegt über 20 Jahre zurück.
Da ich im Anschluss "nur" Informatik studiert habe, bitte ich etwaige Ungenauigkeiten und flapsige Formulierungen nachzusehen. :)
Nun zum eigentlichen Thema: Ich habe dieses Jahr einer Schülerin bei der Vorbereitung auf das Mathe Abitur geholfen. Sie erhielt von ihrem Lehrer zur Vorbereitung unter anderem die zentralen Nachprüfungsaufgaben vom Vorjahr (2015).
Schon beim Lesen einer der darin gestellten Aufgaben regte sich in meiner Magengrube ein ungutes Gefühl. Ohne zu diesem Zeitpunkt die genaue Ursache zu kennen, störte mich der konsequente Gebrauch des Singular. Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes ...
Schon einfachste geometrische Vorüberlegungen ließen mich davon ausgehen, dass für 3 der gesuchten 4 Punkte jeweils zwei mögliche Koordinaten-Tupel existieren.
Normalerweise sind die Thüringer Abituraufgaben, von einigen Stochastikaufgaben abgesehen, immer sehr genau formuliert.
Es werden Wendungen wie: "Bestimmen Sie eine mögliche Lösung ..." oder auch "Geben Sie alle möglichen Lösungen an." gebraucht.
Nun gut, ich begann also die Aufgabe rechnerisch zu lösen und meine anfängliche Vermutung bestätigte sich. Es existierten mehrere Lösungen. Schlimmer noch, mein Rechenweg überstieg m.E. den im Rahmen des Lehrplans vermittelten Wissensstand der Schüler.
Das von mir aufgestellte Gleichungssystem hätte vermutlich kein Abiturient ohne CAS lösen können.
Aber halt, den Schülern stand ja für die Bearbeitung dieser Aufgabe auch das in den TI-nspire integrierte CAS zur Verfügung.
Als ordentlicher Informatiker hatte ich mir dieses kleine Wunderwerk natürlich schon vor vielen Jahren (direkt im Erscheinungsjahr) gekauft. Ich kramte den Taschenrechner also aus dem Schrank, updatete die Software auf den neuesten Stand und gab mein Gleichungsystem ein.
Das Ergebnis: Der Taschenrechner fand nur eine der beiden möglichen Lösungen, nämlich die triviale! Allerdings wies er zumindest noch darauf hin, dass noch weitere Lösungen existieren könnten.
Ein kleiner Gegencheck meines Gleichungssystems bei Wolfram Alpha ergab danach aber genau die von mir auch berechneten 2 Lösungen.
Hey, ich bin schlauer als mein Taschenrechner! Hoffentlich kann ich das auch noch von mir behaupten, wenn Ihr meine Rechnung überprüft und mir Eure Einschätzung der Sachlage mitgeteilt habt. :-D
Genau, da war ja noch was, die Aufgbe:
- Von einer geraden Pyramide mit quadratischer Grundfläche ABCD und der Spitze S sind A(2|1|2), B(2|5|2) und $\overrightarrow{AS}= {\small \left( \begin{array} {r} -2 \\ 2 \\ 5 \\ \end{array} \right)}$ gegeben.
- Bestimmen Sie die Koordinaten der Spitze S, des Höhenfußpunktes F sowie der Punkte der Grundfläche C und D.
Stellen Sie die Pyramide in einem Koordinatensystem dar.
Für diese Teilaufgabe gibt es maximal 4 Bewertungseinheiten. Halbe Punkte dürfen nicht vergeben werden. Setzen wir einmal eine Gleichverteilung der Bewertungseinheiten über die zur Verfügung stehende Zeit voraus, hat der Schüler 18 Minuten zur Beantwortung dieser Frage.
Schon das erste Problem bei der Bewertung: Der Schüler muss vier Punkte berechnen und eine Zeichnung anfertigen. Es gibt also 5 geforderte Antworten aber nur 4 Punkte!
Zum Wissensstand eines Thüringer Abiturienten laut Lehrplan:
- Er kann Punkte, Vektoren und Geraden in R³ mathematisch und graphisch darstellen.
- Er kann Vektoren addieren, subtrahieren und mit einem Skalar multiplizieren und versteht die geometrische Bedeutung dieser Rechenoperationen.
- Er kann die Länge eines Vektors ausrechnen.
- Er beherrscht das Skalarprodukt und kann Winkel zwischen Vektoren bestimmen.
- Er kann die Lage eines Punktes bezüglich einer Geraden und einer Strecke untersuchen.
- Er kann die Lagebeziehung von zwei Geraden untersuchen.
- Er kann den Abstand eines Punktes von einer Geraden berechnen.
- Er kann die Spurpunkte einer Geraden bestimmen.
- Der Punkt C muss von B den Abstand $\abs{\overrightarrow{AB}}$ haben $\Rightarrow \abs{\vec C - \vec B}=\abs{\overrightarrow{AB}}$
Der Punkt C liegt also auf der Oberfläche einer Kugel mit dem Mittelpunkt B und dem Radius $\abs{\overrightarrow{AB}}$.
- Die Punkte ABCD sind äuquidistant zum Punkt S. Daher gilt $\abs{\overrightarrow{AS}}=\abs{\overrightarrow{CS}}$
Die Punkte A,B,C und D liegen also auf der Oberfläche einer Kugel mit dem Mittelpunkt S und dem Radius $\abs{\overrightarrow{AS}}$.
- $\overrightarrow{AB}\perp \overrightarrow{BC} \Rightarrow \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} = 0$
Der Punkt C muss also in einer zum Vektor $\overrightarrow{AB}$ orthogonalen Ebene, die ebenfalls den Punkt B beinhaltet, liegen.
- $\sqrt{(x_c-2)^2+(y_c-5)^2+(z_c-2)^2}=4$
- $\sqrt{33}=\sqrt{(0-x_c)^2+(3-y_c)^2+(7-z_c)^2}$
- $4(y_c-5)=0 \Rightarrow y_c=5$
- Geht Ihr mit meiner Lösung und Sicht auf die Aufgabe konform?
- Gibt es einen Weg, bei dem die Abiturienten, mit den ihnen zur Verfügung stehenden Mitteln, die Aufgabe vollständig hätten lösen können?
- Glaubt Ihr, dass überhaupt irgend ein Schüler dese Aufgabe richtig gelöst hat?
- Welches Lernziel sollte mit dieser Aufgabe überprüft werden? Wollte man ernsthaft, dass der Schüler die Ähnlichkeit in den einzelnen Punktkoordinaten erkennt und dann einfach durch Raten die triviale Lösung findet?
- Warum wurde der Fehler in dieser Aufgabe nicht von den prüfenden Lehrern angeprangert? Ist vielleicht die CAS-Prüfung Schuld, weil der Schüler immer öfter Aufgaben lösen muss, die ohne CAS für ihn (und auch den Lehrer) unlösbar gewesen wären und sich daher beide blind auf den Taschenrechner verlassen?
- Was haltet Ihr davon, dass ein Bundesland die zentralen Abiturprüfungen geheim hält und somit dem Bürger jede Kontrollmöglichkeit nimmt?
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Kuestenkind
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Dabei seit: 12.04.2016
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| Beitrag No.1, eingetragen 2016-06-26
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Hallo Saladori,
ich habe deinen Text nur überflogen, aber mach doch mal die Probe mit deinen Lösungen:
Die Grundfläche ABCD ist ein Quadrat, also sind alle Seiten gleich lang. Die Länge des Vektors $\overrightarrow{AB}$ beträgt 4. Berechne ich mit deinem Punkt C die Länge des Vektors $\overrightarrow{BC}$ ergibt sich:
$|\overrightarrow{BC}|=\left|\begin{pmatrix} -1-2 \\ 5-5 \\ 2-2 \end{pmatrix}\right |=3$
Sofern ich mich also nicht verrechnet habe, sieht mir das nicht nach einem Quadrat aus.
Gruß,
Küstenkind
edit: PS: Was die Schüler machen sollen:
Es fällt auf, dass sich die Punkte nur in der y-Koordinate unterscheiden. Die Seitenlänge ist 4. Dann müssen wir also nur -4 in x-Richtung gehen. Also ergibt sich C (-2,5,2) und D (-2,1,2). Der Lotfußpunkt der Höhe steht auf dem Schnittpunkt der Diagonalen. Die Diagonalen halbieren sich im Quadrat. Man berechnet also leicht den Mittelpunkt der Strecke [AC] oder [BD].
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Saladori
Junior
Dabei seit: 26.06.2016
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2016-06-26
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@Kuestenkind
Danke erstmal, dass du meinen langen Text überflogen hast, bei der kurzen Aufgabenstellung hast du dich leider verlesen. ;-)
Der Punkt B hat die Koordintaen (2,5,2) es ergibt sich also richtigerweise
$
\abs{
\left(
\begin{array}{r}
2 \\
5 \\
2 \\
\end{array}
\right)-
\left(
\begin{array}{r}
-2 \\
5 \\
2 \\
\end{array}
\right)
}=4
$
Zu deinem Postscriptum:
Ähnliches habe ich auch vermutet. Der Lehrer hat sich einfach eine achsenparallele Pyramide ausgedacht, dann ein paar Punkte weggelassen und anschließend den Schülern gesagt: Sucht mal bitte.
Ein Lösungsalgorithmus setzt aber immer eine logisch nachvollziehbare und bei ähnlichen Aufgabenstellungen beliebig wiederholbare Vorgehensweise voraus. Diese kann ich in der "Mustererkennung" unseres Gehirns bei dieser Aufgabe leider nicht erkennen.
Vielleicht kennst du die Gemälde von M. C. Escher, da wird unser menschlicher Vrstand auch regelmäßig überlistet. Etwas erscheint völlig logisch, obwohl es das gar nicht ist.
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DavidM
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Dabei seit: 11.06.2012
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 | Beitrag No.3, eingetragen 2016-06-26
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Hallo Saladori,
soweit ich weiß gilt (zumindest in der Schulmathematik) grundsätzlich, dass "Quadrat ABCD" bedeutet, dass die Ecken entgegen dem Uhrzeigersinn der Reihe nach mit A,B,C,D bezeichnet werden. Das ist für die grüne Pyramide in deiner Abbildung aber nicht erfüllt.
Gruß,
David
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1 begonnen.]
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Saladori
Junior
Dabei seit: 26.06.2016
Mitteilungen: 13
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2016-06-26
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@DavidM
Schau in meiner Grafik einfach mal von hinten auf die zweite Pyramide.
Natürlich stimmt dann die Reihenfolge der Punkte ABCD dann wieder.
Die Punkte sind schließlich zyklisch benannt.
trotzdem vielen Dank für deine Mühe. :-)
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DavidM
Senior
Dabei seit: 11.06.2012
Mitteilungen: 412
| Beitrag No.5, eingetragen 2016-06-26
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Das ist mir schon klar, aber bei der Grundfläche einer Pyramide wäre ich davon ausgegangen, dass man "von oben draufschaut" (d.h. von der Spitze der Pyramide aus gesehen).
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Saladori
Junior
Dabei seit: 26.06.2016
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| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2016-06-26
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Eine solche Regel ist mir nicht bekannt, und macht in R³ auch glaube ich wenig Sinn. Was ist schon oben oder unten? Je nach Lehrbuch ist manchmal die Z-Achse oben und dann wieder die Y-Achse.
Wichtig ist die zyklische Reihenfolge bei der Benennung.
Genaugenommen ist bei der Formulierung der Frage sogar eine nichtzyklische Benennung wie ABDC möglich. Legt man Wert auf eine bestimmte Reihenfolge, wird meist wie folgt formuliert:
"Die Punkte ABCD bilden in dieser Reihenfolge ein Quadrat."
Das war hier aber nicht der Fall.
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qwertzusername
Senior 
Dabei seit: 05.06.2015
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| Beitrag No.7, eingetragen 2016-06-26
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Hallo,
ich geb auch meinen Senf zu der Aufgabe dazu.
Dein Lösungsansatz ist viel, viel zu kompliziert und liefert auch noch falsch Werte.
Du ignorierst - wie meine Vorredner auch bereits sagten - dass ABCD ein Rechteck ist.
Man kann ablesen, von den Koordinaten von A und B, dass die Kantenlänge 4 ist und eine Kante Parallel zur y-Achse ist.
D.h. die andere Kante ist entweder parallel zur x-Achse oder z-Achse.
Damit haben C,D entweder die Koordinaten (-2,1,2),(-2,5,2) oder (2,1,6),(2,5,6).
S kann man direkt berechnen.
Damit kann man dann eines der Paare auschließen, weil alle Strecken von den Ecken des Quadrats zu der Spitze gleiche Länge haben müssen.
Und da man damit die Bstimmung von C und D in einem Rutsch erledigt macht es auch Sinn dafür zusammen einen Punkt zu geben.
Und das ist defintiv nicht zu komlpiziert für einen Abiturienten.
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.5 begonnen.]
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Saladori
Junior
Dabei seit: 26.06.2016
Mitteilungen: 13
| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2016-06-26
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@qwertzusername
Danke für Deine Mühe.
Wie ich sehe folgst du genau dem Gedankengang des Lehrers. :-)
Deine Schlussfolgerungen stimmen aber leider nicht.
Wenn du die Kriterien der Vektorlänge 4 und der Orthogonalität zwischen $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{BC}$ gleichzeitig anwendest, so bleiben eben nicht nur 2 mögliche Punkte, sondern eine unendliche Anzahl übrig. Alle möglichen Punkte C bilden einen Kreis.
Erst danach kannst du dein zweites Kriterium, die Seitenkantenlänge anwenden.
Vielen Dank für deine Mühe.
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Saladori
Junior
Dabei seit: 26.06.2016
Mitteilungen: 13
| Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2016-06-26
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Ich stelle mal eine provokante These auf.
Das Lernziel für den Abiturienten war: Pyramiden können mit ihrer Grundfläche immer nur parallel zu den Koordinatenachsen positioniert werden. Logisch, sonst würden sie ja aufgrund der Schwerkraft umkippen. :-)
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willyengland
Aktiv 
Dabei seit: 01.05.2016
Mitteilungen: 496
| Beitrag No.10, eingetragen 2016-06-26
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Nein, das Lernziel sollte sein, aus den Punktwerten zu erkennen, dass die Pyramide parallel zu einer Achse steht.
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Saladori
Junior
Dabei seit: 26.06.2016
Mitteilungen: 13
| Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2016-06-26
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Wenn 12 Jahre Abitur den menschlichen Geist wirklich soweit deformieren, dass man nur noch "rechtwinklig" denkt, plädiere ich dafür, den Matheunterricht nach der Grundschule einzustellen. :-P
Unangepasste Geister sind mir lieber.
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DavidM
Senior
Dabei seit: 11.06.2012
Mitteilungen: 412
| Beitrag No.12, eingetragen 2016-06-26
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\quoteon(2016-06-26 15:35 - Saladori in Beitrag No. 6)
Eine solche Regel ist mir nicht bekannt, und macht in R³ auch glaube ich wenig Sinn. Was ist schon oben oder unten? Je nach Lehrbuch ist manchmal die Z-Achse oben und dann wieder die Y-Achse.
\quoteoff
Ich habe ja schon gesagt, dass mit "von oben" gemeint war "von der Spitze der Pyramide aus gesehen". Dann ist es auch egal, welche Achse nach oben zeigt.
Ich weiß auch nicht, ob es eine derartige Konvention gibt, ich wollte nur sagen, dass ich das sehr naheliegend fände. Ich stimme dir aber zu, dass es, wenn man so etwas nicht annimmt, zwei verschiedene Lösungen gibt.
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.10 begonnen.]
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willyengland
Aktiv
Dabei seit: 01.05.2016
Mitteilungen: 496
| Beitrag No.13, eingetragen 2016-06-26
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Man soll doch die Pyramide auch zeichnen.
Ich habe das mal eben getan und man sieht doch sofort, wie A und B liegen. Man braucht nur S als 0A + AS berechnen und schon hat man alle Punkte.
Selbst wenn man mit oder gegen den Uhrzeigersinn dreht, ist die Aufgabe simpel.
Ich verstehe gar nicht, wo das Problem ist.
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viertel
Senior 
Dabei seit: 04.03.2003
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 | Beitrag No.14, eingetragen 2016-06-26
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Hi zusammen
Es geht um diese Pyramide:
http://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/a/1781_Fehlerhafte_Abiturpruefungsaufgabe_220551.png
Der kleine Kreis hat den Radius $\frac{AB}{2}$. Auf ihm muß der Fußpunkt F liegen.
Außerdem muß das Dreieck $MFS$ bei $F$ einen rechten Winkel haben, der große Kreis ist also der Thaleskreis mit Durchmesser $MS$.
Beide Kreise haben zwar noch einen zweiten Schnittpunkt, aber die zugehörige Pyramide hat dann, wie schon gesagt wurde, die falsche Orientierung bzgl. der Ecken $ABCD$.
Gruß vom ¼
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.5 begonnen.]
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Saladori
Junior
Dabei seit: 26.06.2016
Mitteilungen: 13
| Beitrag No.15, vom Themenstarter, eingetragen 2016-06-26
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Sicherlich ist Dein Argument mit der Bezeichnung gegen den Uhrzeigersinn eine Diskussion Wert und ich halte es sogar für weitaus stichhaltiger, als die Argumentation über die Achsenparallelität, die ja so offensichtlich scheint.
Mir ist jedoch noch ein Argument gegen deine Theorie eingefallen.
Was ist mit einer Doppelpyramide? Hierbei hat man zwangsläufig immer eine Pyramide, die im Uhrzeigersinn und eine die Gegen den Uhrzeigersinn benannt ist.
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.12 begonnen.]
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viertel
Senior
Dabei seit: 04.03.2003
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Wohnort: Hessen
| Beitrag No.16, eingetragen 2016-06-26
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Zur Lage der Grundfläche der Pyramide:
Klar, die Seite $AB$ ist parallel zu y-Achse.
Aber trotzdem könnte die Grundfläche geneigt sein, also nicht parallel zur xy-Ebene.
Wenn z.B. die Seite $AB$ an beiden Enden um 0.5 Einheiten länger wäre, dann hätte der kleine Kreis einen Radius von 2.5 (der Thaleskreis bleibt unverändert) und $F$ läge dann eben nicht mehr senkrecht unter $S$.
So einfach kann man es sich also mit der Lage der Pyramide nicht machen.
Mist, Korrektur:
Mit der Verschiebung von $A$ würde auch $S$ seine Lage ändern :-?
Nachtrag zur Korrektur:
Dann legen wir halt $S$ etwas höher oder tiefer, und schon liegt die Pyramide schräg im Raum 8-)
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.14 begonnen.]
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goeba
Senior
Dabei seit: 24.03.2006
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Wohnort: Göttingen
| Beitrag No.17, eingetragen 2016-06-26
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Hallo,
wenn man voraussetzt, dass ABCD von S aus gegen den Uhzeigersinn orientiert sein müssen, gibt es nur eine Lösung.
Wenn man das nicht voraussetzt, dann gibt es zwei Lösungen, die Lösung von Saladori ist richtig.
Meines Wissens nach gibt es im R3 keine Standardorientierung, ich finde die Aufgabe also schlampig formuliert.
Man hätte leicht hinzufügen können, dass die Grundfläche der Pyramide parallel zur xy-Ebene ist, dann ist die Aufgabe eindeutig.
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viertel
Senior
Dabei seit: 04.03.2003
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Wohnort: Hessen
| Beitrag No.18, eingetragen 2016-06-26
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Das sehe ich nicht so.
Mit $S$ gibt es schon ein „oben“ bei der Pyramide. Sie kann dann im Raum gedreht oder gekippt sein, die Orientierung der Grundfläche ändert sich dadurch nicht.
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Saladori
Junior
Dabei seit: 26.06.2016
Mitteilungen: 13
| Beitrag No.19, vom Themenstarter, eingetragen 2016-06-26
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@goeba
Das sehe ich genau wie Du.
@viertel
Deinen Ansatz über den Lotfußpunkt F anstatt über den Eckpunkt C zu gehen und dann auch noch den Thaleskreis mit einzubeziehen, finde ich sehr interessant. Damit ließe sich das Problem sehr leicht zweidimensional lösen und die dritte Punktkoordinate ergibt sich ja dann aus der Position von M.
Leider gehören Kreisgleichungen nicht zum Lehrplan an Thüringer Gymnasien. Aber wie schon gesagt: Ein sehr schöner Ansatz!
Mit deinem Ausschlussgrund für die zweite Lösung gehe ich nicht konform. Die Gründe hierfür habe ich glaube oft genug ausgeführt.
Vielen lieben Dank für die Arbeit, die Ihr euch gemacht habt!
PS: @goeba
Ich würde sogar noch weiter gehen, die Aufgabe ist nicht nur schlampig formuliert, sie verfestigt auch noch gefährliches Falschwissen, wie man an einigen der vorhergehenden Beiträge erkennen kann.
Mit dieser Aussage möchte ich niemanden beleidigen, der sich jetzt vielleicht angesprochen fühlt. Wir alle sind das Ergebnis unserer Ausbildung. Und wenn man derartige Aufgaben immer wieder vorgesetzt bekommt, dann hinterfragt man die Sache nach einer Weile nicht mehr.
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.17 begonnen.]
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willyengland
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Dabei seit: 01.05.2016
Mitteilungen: 496
| Beitrag No.20, eingetragen 2016-06-26
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\quoteon(2016-06-26 16:52 - goeba in Beitrag No. 17)
Meines Wissens nach gibt es im R3 keine Standardorientierung,
\quoteoff
Das ist eine Frage, die mich schon länger beschäftigt.
1. Ist das so?
2. Wenn ja, warum? Es gibt doch auch die Rechte-Hand-Regel für das KOS.
3. Wenn nein, wie ist die Definition?
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Saladori
Junior
Dabei seit: 26.06.2016
Mitteilungen: 13
| Beitrag No.21, vom Themenstarter, eingetragen 2016-06-26
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Korrigiert mich, wenn ich falsch liege, aber ich weiß nicht einmal von einer solchen verbindlich Konvention für alle Figuren in R².
Eindeutig festgelegt ist meines Wissens nach nur, dass in einem Dreiecke die Seite a dem Punkt A und dem Winkel $\alpha$ gegenüberliegt. Die Höhe $h_a$ bezeichnet dann die Orthogonale zur Seite a und verläuft durch den Punkt A.
Das ein Dreieck nicht mit ACB bezeichnet werden darf, ist meines Wissens nach nirgendwo festgelegt und für Vierecke machen die Dreieckskonventionen schon gar keinen Sinn mehr.
Üblich sind zB. auch Aufgaben dieses Typs:
"Die Punkte A,B und C bilden ein Dreieck. Bestimme alle möglichen Koordinaten eines Punktes D, so dass die Punkte ABCD ein Parallelogramm bilden."
Bei dieser Art der Formulierung werden alle 3 möglichen Koordinatenpaare abgefragt.
Formuliert man die Frage stattdessen wie folgt:
"Die Punkte A,B und C bilden ein Dreieck. Bestimme Sie die Koordinaten eines Punktes D, so dass die Punkte ABCD in dieser Reihenfolge ein Parallelogramm bilden."
Hier wird nur eine einzige Lösung gewünscht.
Auf die genaue Formulierung der Fragen kommt es an. Es ist immer schlecht, wenn man irgendwelche Konventionen anführen muss, die man dann auf Nachfrage in keinem mathematischen Standardwerk finden kann.
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DavidM
Senior
Dabei seit: 11.06.2012
Mitteilungen: 412
| Beitrag No.22, eingetragen 2016-06-26
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Hallo zusammen nochmal,
ich denke, dass man vierstel Ansatz aus Beitrag 14 so modifizieren kann, dass man zur Lösung nicht zwingend Kreisgleichungen zu kennen braucht.
Zunächst kann man mit Pythagoras im Dreieck MFS die Höhe der Pyramide bestimmen. Dann bekommt man direkt aus den Längen der Strecken MF und SF zwei Gleichungen für die Korrdinaten von F (die y-Korrdinate ist ja schon bekannt). Und die kann man dann relativ leicht lösen.
(Natürlich sind das eigentlich auch zwei Kreisgleichungen, aber um sie hinzuschreiben braucht man das nicht unbedingt zu wissen.)
Gruß,
David
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willyengland
Aktiv
Dabei seit: 01.05.2016
Mitteilungen: 496
| Beitrag No.23, eingetragen 2016-06-26
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Ich habe eben mal nachgesehen, in meinem klassischen "Standardwerk":
"Taschenbuch der Schulmathematik", Harry Deutsch, 1980
Dort heißt es
Allgemeines n-Eck
Festsetzungen:
Ecken: A, B, C ... im Gegenuhrzeigersinn
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.21 begonnen.]
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viertel
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Dabei seit: 04.03.2003
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| Beitrag No.24, eingetragen 2016-06-26
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\quoteon(2016-06-26 17:56 - DavidM in Beitrag No. 22)
Zunächst kann man mit Pythagoras im Dreieck MFS die Höhe der Pyramide bestimmen.
\quoteoff
Dazu brauchst du aber erst mal die Seitenlinie $MS$ (die man ebenfalls mit Pythagoras aus dem Dreieck $AMS$ bekommt).
Über das Dreieck $AFS$ geht es schneller, $FS$ zu berechnen, da $AF=AM \cdot \sqrt{2}$.
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dromedar
Senior
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 | Beitrag No.25, eingetragen 2016-06-26
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\quoteon(2016-06-26 17:58 - willyengland in Beitrag No. 23)
Ich habe eben mal nachgesehen, in meinem klassischen "Standardwerk":
"Taschenbuch der Schulmathematik", Harry Deutsch, 1980
Dort heißt es
Allgemeines n-Eck
Festsetzungen:
Ecken: A, B, C ... im Gegenuhrzeigersinn
\quoteoff
Diese Definition ist nur in der Ebene anwendbar. Ein (ebenes) n-Eck im Raum kann man aber "von oben" oder "von unten" anschauen, und von diesen beiden Blickrichtungen ist erstmal keine ausgezeichnet.
Darauf hatte Saladori übrigens schon vor etlichen Beiträgen hingewiesen:
\quoteon(2016-06-26 15:35 - Saladori in Beitrag No. 6)
Eine solche Regel ist mir nicht bekannt, und macht in R³ auch glaube ich wenig Sinn. Was ist schon oben oder unten?
\quoteoff
Nun reden wir hier aber nicht von irgendeinem n-Eck im Raum, sondern von der Grundfläche einer Pyramide. Man könnte also definieren, dass man sich diese Grundfläche immer von der Spitze der Pyramide aus anschaut. Eine solche Definition ist mir allerdings noch an keiner prominenten Stelle begegenet.
Grüße,
dromedar
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willyengland
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| Beitrag No.26, eingetragen 2016-06-26
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Ich kann mir gar nicht vorstellen, dass die Mathematiker da keine Konvention haben.
Das muss doch so sein, sonst wüsste man doch auch nicht, wie herum man einen Winkel sehen muss.
--> Rechte-Hand-Regel etc.
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viertel
Senior 
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| Beitrag No.27, eingetragen 2016-06-26
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Ich seh schon, das wird wieder mal nix.
Die einen wollen/können die Grundfläche mit Orientierung sehen, die anderen nicht.
Lassen wir es dabei, es wird keiner das Lager wechseln.
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Kuestenkind
Senior
Dabei seit: 12.04.2016
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| Beitrag No.28, eingetragen 2016-06-26
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@Saladori:
Ich habe mich nicht verlesen. Ich verstehe nicht wie aus den Punkten A (2,1,2) , B (2,5,2) und C (-1,5,2) ein Quadrat ABCD entstehen kann. Ich bin also anscheinend wirklich so ein Trottel, bei dem die Schulmathematik im Laufe der Jahre den Geist deformiert hat. Könntest du mich nun bitte einmal erleuchten? Deine Rechnung aus Beitrag 2 verstehe ich nicht, da du - wie es sich wohl für einen Querdenker gehört - nicht schreibst was du da berechnest. Mit ging es ja um den Vektor $\overrightarrow{BC}$ . Dein Punkt C kommt in deiner Rechnung aber nicht vor.
Danke und Gruß,
Küstenkind
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dromedar
Senior
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| Beitrag No.29, eingetragen 2016-06-26
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\quoteon(2016-06-26 20:42 - Kuestenkind in Beitrag No. 28)
Ich verstehe nicht wie aus den Punkten A (2,1,2) , B (2,5,2) und C (-1,5,2) ein Quadrat ABCD entstehen kann.
\quoteoff
$C=(-1,5,2)$ ist vermutlich ein Tippfehler. Die Berechnung der Differenz $B-C$ in Beitrag No. 2 deutet auf $C=(-2,5,2)$ hin:
\quoteon(2016-06-26 15:08 - Saladori in Beitrag No. 2)
Der Punkt B hat die Koordintaen (2,5,2) es ergibt sich also richtigerweise
$
\abs{
\left(
\begin{array}{r}
2 \\
5 \\
2 \\
\end{array}
\right)-
\left(
\begin{array}{r}
\color{red}-2 \\
\color{red}5 \\
\color{red}2 \\
\end{array}
\right)
}=4
$
\quoteoff
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viertel
Senior
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| Beitrag No.30, eingetragen 2016-06-26
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Noch ein Angebot für die Berechnung von F:
Der kleine Kreis, auf dem F liegen muß, hat die Gleichung
$F(t)=(2, 3, 2) + (2\cos(t), 0, 2\sin(t))$
Damit F der Fußpunkt der geraden(!) Pyramide ist, muß das Skalarprodukt
$(M-F(t)) \cdot (S-F(t))=0$
sein. Eine der Lösungen dieser Gleichung ist $t=\pi$, was uns ebenfalls zu dem Fußpunkt $F(0, 3, 2)$ bringt.
Der andere (gelbe) liegt bei $F1(\frac{100}{29},3,\frac{98}{29})$.
http://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/a/1781_Fehlerhafte_Abiturpruefungsaufgabe_220551.png
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Saladori
Junior
Dabei seit: 26.06.2016
Mitteilungen: 13
| Beitrag No.31, vom Themenstarter, eingetragen 2016-06-27
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@Kuestenkind
Dromeda hat den Fehler gefunden und ausgeräumt.
In meinem 2. Beitrag hatte ich nicht so genau hingesehen und vermutet, du hättest den Punkt B falsch abgeschrieben. De facto war aber mein Punkt $C_1$ falsch eingetippt. Ein Klick direkt eine Zeile oberhalb auf "Wolfram Alpha" hätte übrigens die richtigen Koordinaten offenbart.
Sorry, aber das kann schon mal passieren.
@dromedar
Danke!
@viertel
Die Aufgabe hat es Dir ja echt angetan. Jetzt hast du es sogar geschafft, die Schnittpunkt deiner beiden Kreise direkt in R³ zu berechnen. Einfacher wird es dadurch aber auch nicht.
Ein kleiner Fun Fact am Rande: Die Koordinaten von D und F habe ich noch nie ausgerechnet. :-)
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viertel
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| Beitrag No.32, eingetragen 2016-06-27
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\quoteon(2016-06-27 10:35 - Saladori in Beitrag No. 31)
Einfacher wird es dadurch aber auch nicht.
\quoteoff
Was ist schon einfach? Der eine rechnet lieber mit Vektoren rum, der anderen kann gut mit trigonometrischen Funktionen.
Wenn man das Skalarprodukt ausrechnet und vereinfacht bleibt dies übrig: $4\cos(t) - 10\sin(t) + 4=0$. Die Lösung $t=\pi$ kann fast ablesen ;-)
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| | Folgende Antworten hat der Fragensteller vermutlich noch nicht gesehen. |
goeba
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| Beitrag No.33, eingetragen 2016-08-08
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Ich habe mich seinerzeit beim Schreiben von Archimedes Geo3D mit der Thematik "Orientierung im Raum" recht intensiv auseinandergesetzt.
Das Problem tritt ständig auf. So kann man z.B. im Raum keine Winkel über 180° messen, so lange man nicht definiert, wo "oben" ist.
Die Winkelmessung im Raum geht daher in Archimedes standardmäßig nur bis 180°. Es gibt ein Makro, bei dem man zusätzlich zu den Beiden Vektoren, deren Winkel gemessen werden soll, einen Vektor angeben muss, der definiert, wo "oben" ist. Hier wird der Winkel bis 360° gemessen, ebenso im 2D-Modus.
Intuitiv orientiert man sich natürlich je nach dem, von wo man auf die Szene schaut. Würde ich aber die Blickrichtung auf die Szene dafür nehmen, zu definieren, wo "oben" ist, so würde beim Drehen der Szene dann evtl. eine auf einer Winkelmessung basierende Konstruktion "umklappen", das ist m.E. kontraproduktiv.
Natürlich ist es "naheliegend", die Orientierung des Basisquadrats "von S aus" anzunehmen, aber es steht eben nicht da.
Ich finde es gerade spannend an der Raumgeometrie, dass sich - gerade dann, wenn man nicht immer von schräg oben auf die xy-Ebene schaut - eben doch noch andere Möglichkeiten ergeben, als man zunächst denkt.
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MartinN
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| Beitrag No.34, eingetragen 2016-08-08
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Hi, sorry, dass ich hier nicht alles nachgelesen habe, aber ich mag auch meinen Senf dazu abgeben ^^
Ich finde die Aufgabe sogar recht gut / schnell lösbar...
AS^> = OS^> - OA^> -> OS^> = AS^> + OA^> = (-2;2;5) + (2;1;2) = (0;3;7)
Damit ist schon S (0;3;7) bekannt.
Man erkennt gut, dass A und B jeweils dieselben x- und z-Koordinaten haben (x = 2 und z = 2), damit liegen sie auf einer Geraden senkrecht zur x-z-Ebene, bzw.
g^> = (2;y;2)
S liegt nun bezüglich des y-Wertes genau in der Mitte davon, bei...
y_S = (y_A + y_B)/2 = (1+5)/2 = 3
Dabei ist...
\abs(AB) = \abs(y_B - y_A) = 4
(was sehr leicht daraus folgt, da A und B auf der Gerade g liegen)
Betrachten wir jetzt einfach alles in der x-y-Ebene, so gilt zudem:
A = (2;1); B = (2;5); S (0;3)
Diese Koordinaten erzwingen schon das offensichtliche Quadrat der Grundfläche (diese soll ja quadratisch sein). S ist nicht nur mittig zwischen A und B, sondern hat auch noch diesen Abstand AB/2 = 2 von der Gerade g in der x-y-Ebene.
Bzw:
A = S + (+2;-2)
B = S + (+2;+2)
in der x-y-Ebene
Damit sind auch die restlichen Punkte der quadratischen Grundfläche schnell gefunden:
C = S + (-2;+2) = (-2;+5)
D = S + (-2;-2) = (-2;+1)
in der x-y-Ebene
Somit bildet ABCD ein Quadrat, in deren Zentrum sich S befindet.
Der Höhenfußpunkt von S hat dann auch die Koordinaten:
F = S = (0;+3)
in der x-y-Ebene
Nun noch die z-Koordinate ergänzen... z = 2 für C, D und F.
Zu Erkennen, dass die x-y-Werte von A, B und S in der x-y-Ebene so günstig liegen, dass S von AB den Abstand 2 und mittig zwischen AB liegt (auch mit Abstand 2), dass sollte man einen Abiturienten schon zutrauen können. Und diese Projektion in die x-y-Ebene ist auch ein naheliegender Versuch, da A und B schon dieselben z-Werte haben.
Kann man sich auch sehr leicht auf einem kariertem Blatt aufzeichnen.
Und damit ist C, D und F leicht ermittelbar.
Da nur eine mögliche Pyramide gesucht ist (sonst müsste in der Aufgabe "der Pyramiden" stehen), haben wir somit die Koordinaten einer Lösung gefunden.
[Da auch die x-Werte gleich sind, könnte man die Punkte A, B und S auch in die y-z-Ebene versuchsweise projizieren: A = (1;2); B = (5;2); S = (3;7) - hierbei ist der Abstand S von AB mit 5 Einheiten zu groß, damit S der Mittelpunkt eines Quadrates ABCD in dieser Ebene sein könnte]
Was am Anfang aber hier gesagt wurde, dem muss ich widersprechen: Wenn A und B auf einer Gerade senkrecht zur x-z-Eben liegen, dann heißt das nicht, dass automatisch BC / AD parallel zur x-Achse oder parallel zur y-Achse liegen muss - das ist zu einfach gedacht.
Es heißt nur, dass dann BC / AD parallel zur x-z-Ebene liegen, und darin könnten sie auch "quer" liegen - also nicht parallel zu einer Achse liegend.
Erst die Projektion von A, B und S in die x-y-Ebene und das S in dieser Ebene sehr gut der Mittelpunkt eines Quadrates aus A und B [und C und D] sein kann, erzwingt das zumindest BC und AD parallel zur z-Achse sind (also in der x-y-Ebene) ;)
Grüße, Martin
Edit:
Und ja, auf diese Lösung kommt man ohne groß rechnen zu müssen oder Formeln zu verwenden in wenigen Minuten ;)
Das Zeichnen würde dann noch länger dauern...
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Kitaktus
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| Beitrag No.35, eingetragen 2016-08-09
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Wenn man die Aufgabe "ohne Raten" lösen will, dann ist sie nicht ganz ohne, aber m.E.n. mit den Schulmitteln lösbar:
•Er kann die Länge eines Vektors ausrechnen.
•Er beherrscht das Skalarprodukt und kann Winkel zwischen Vektoren bestimmen.
\
Setzt man den Punkt C mit den Koordinaten (x,y,z) an, so ergeben sich drei Gleichungen:
- abs(BC)=4
- BC ist senkrecht zu AB
- abs(AS)=abs(CS)
Mit Skalarprodukten formuliert:
(1) =16=(x-2)^2+(y-5)^2+(z-2)^2
(2) = 0=(x-1)*0+(y-5)*4+(z-2)*0
(3) =(-2)^2+2^2+5^2=33= =(x-0)^2+(y-3)^2+(z-7)^2
Aus der zweiten Gleichung folgt y=5. Die Differenz aus der dritten und ersten Gleichung liefert:
33-16=17=(x-0)^2+(5-3)^2+(z-7)^2 - (x-2)^2-(5-5)^2-(z-2)^2 = 4x-4 + 4 -10z +45
=> 10z = 4x+28
=> z=(2x+14)/5
Eingesetzt in die dritte Gleichung ergibt sich:
33=(x-0)^2+(5-3)^2+((2x+14)/5-7)^2 = x^2+4+(2x-21)^2/25
= 29/25 x^2-84/25 x-284/25
Das ist äquivalent zu
0=29x^2-84x-284=(29x-142)(x+2)
Lösungskandidaten sind damit x=-2; z=2 und x=142/29; z=138/29.
Ob man die zweite Lösung per Orientierung wegdiskutiert, ist Geschmackssache. Ich würde als Korrektor beide Möglichkeiten gleich bewerten.
Fazit: Die Aufgabe ist selbst ohne Taschenrechner mit dem Schulwissen lösbar. Für mich ist das aber klar eine Aufgabe aus dem dritten (=höchsten) Anforderungsbereich.
Es kann sein, dass der Aufgabensteller die zweite Lösung nicht "gesehen" hat. Es kann aber auch sein, dass er die "richtige" Orientierung bewusst oder unbewusst im Hinterkopf hatte.
Es kann sein, dass der Aufgabensteller den Ansatz "man sieht (irgendwie), dass es eine Lösung gibt, bei der A,B,C und D die gleiche z-Koordinate haben" im Kopf hatte.
Es gibt aber eben auch eine Lösung, die ohne diese Annahme auskommt.
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Kitaktus
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| Beitrag No.36, eingetragen 2016-08-09
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\quoteon(2016-06-26 18:50 - willyengland in Beitrag No. 26)
Ich kann mir gar nicht vorstellen, dass die Mathematiker da keine Konvention haben.
\quoteoff
Nach meinen Erfahrungen gibt es in der Mathematik viel weniger "einheitliche Konventionen", als man meint. Im Prinzip kann jeder Forscher in jeder Arbeit sich die Dinge so definieren, wie er lustig ist.(*)
In einigen Bereichen haben sich einheitliche Definitionen einigermaßen durchgesetzt, weil z.B. sehr viele / sehr wichtige Arbeiten gleiche Definitionen verwenden und der Rest sich daran orientiert. In anderen Bereichen sind abweichende Definitionen die Regel und nicht die Ausnahme.
Der Klassiker: "Was sind natürliche Zahlen?"
Ein Bereich mit unterschiedlichen Definitionen an allen Ecken und Enden: "Graphentheorie"
(*) Na gut, im Extremfall lehnen andere dann ab, die Arbeit (zu Ende) zu lesen, wenn es zu wild wird. Aber wenn sie dann eine wichtige Entdeckungen nicht mitbekommen, weil ihnen die Notation zu schwierig war, ist das auch ihr Pech.
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Ex_Senior
| Beitrag No.37, eingetragen 2016-08-09
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Hallo
Ich würde die Aufgabe so lösen:
A+AS=S(0\;3\;7)
F(0\;3\;2)
0C=0A+2AF=(-2;5;2)
0D=0B+2BF=(-2;1;2)
mfgMrbean
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.35 begonnen.]
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Ex_Senior
| Beitrag No.38, eingetragen 2016-08-09
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Für die andere Lösung habe ich folgenden Ansatz:
S, M_(AB), F_normal liegen alle in einer Ebene und haben alle die y-Koordinate 3. Der zweite Fußpunkt liegt in derselben Ebene, also ist seine y-Koordinate 3.
F_2(a\;3\;c)
Es muss gelten:
(AF)^>*(BF)^>=0 Die Diagonalen eines Quadrats schneiden sich
senkrecht.
(a-2;2;b-2)*(a-2;-2;b-2)
(a-2)^2+(b-2)^2=4
((AF)^> \cross\ (BF)^>)\cross\(FS)^>=0^>
((AF)^> \cross\ (BF)^>) steht senkrecht auf der Grundfläche und ist damit ein Vielfaches von (FS)^>
((a-2;2;b-2) \cross\ (a-2;-2;b-2))\cross\ (-a;0;7-b)
(4b-8;0;-4a+8)\cross\ (-a;0;7-b)=(0;4*(a-1)^2+4*(b-9/2)^2-29;0)
I (a-2)^2+(b-2)^2=4
II 4*(a-1)^2+4*(b-9/2)^2=29
4I-II
-8a+12+20b-65=-13
a=5/2*b-5
(5/2*b-7)^2+(b-2)^2=4
(5/2*b-7)^2=b*(4-b)
29/4*b^2-39b+49=0
b^2-156/29*b+196/29=0
b_1=2 bekannte von F_normal
b_2=(196/29)/2=98/29
a_2=100/29
mfgMrbean
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