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  Startwerte so bestimmen, dass die Lösung bestimmte Eigenschaften besitzt |
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Bruce94
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 |  Themenstart: 2016-06-29
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Hi,
sei $y^{(4)}-4y^{(3)}+5y''-4y'+4y=0$.
Für welche Werte von $y^{(k)}(0), \ k \in \{0,1,2,3\}$, gilt für dieLösung des AWPs.
(i) y ist periodisch
(ii)$lim_{t \to \infty} \vert y(t) \vert =0$
(iii)$lim_{t \to \infty} \vert y(t) \vert = \infty$
(iv) $\vert y(t)\vert$ ist beschränkt für $t \to \infty$
(v) $\vert y(t) \vert$ ist beschränkt für alle $t \in \mathbb{R}$
Nun weiß ich leider nicht wie ich rangehen soll. Bei der (i) denke ich an den Sinus/Cosinus. Allerdings soll ich hier ja nur Startwerte vorgeben und keine Funtionen.
Jemand einen Tipp?
Liebe Grüße, Bruce
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ochen
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| Beitrag No.1, eingetragen 2016-06-29
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Hi,
der Lösungsraum bleibt immer gleich, egal wie die Anfangsbedingungen lauten. Die Anfangsbedingungen bestimmen aber wie viel von jedem Element des Lösungsraums genommen wird.
Wenn wir zum Beispiel die Dgl $\displaystyle y^{(4)}-1=0$ hätten, wäre der Lösungsraum $\displaystyle \text{span}\{\sin (t), \cos( t),\exp(t), \exp(-t)\}$
Es gibt natürlich Anfangsbedingungen, sodass $y=\sin(t)$ die eindeutige Lösung ist.
Es gibt auch Anfangsbedingungen, sodass $y=\exp(t)$ die eindeutige Lösung ist.
Finde also alle Eigenwerte. Welche haben einen Realteil gleich Null?
Welche davon sind mehrfach?
Welche haben einen Realteil größer Null? Welche haben einen Realteil kleiner Null?
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Bruce94
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2016-06-29
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Hi,
danke für die schnelle Antwort!
Die Eigenwerte sind 2,2,i,-i.
Der Lösungsraum ist also $L=span\{c_1 \dcot e^{2t}, (c_2+c_3) \cdot e^{2t}, c_4 \cdot e^i, c_5 \cdot e^{-i}\}$. Richtig?
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ochen
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| Beitrag No.3, eingetragen 2016-06-29
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Fast :) das erste Element und das zweite Element aus L sind bei dir im Wesentlichen gleich. Nimm statt dem zweiten Element $c_2\ t \ e^{2t}$.
Entweder du schreibst Span davor und lässt die Konstanten weg oder du ersetzt die Kommas durch Plusse.
Hast du die Eigenwerte selbst ausgerechnet? Es wundert mich, dass es keine Eigenwerte mit negativen Realteilen gibt. Damit sind i) und iv) nicht so richtig sinnvoll.
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Bruce94
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2016-06-29
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Sehe gerade, dass ich eigentlich schreiben wollte, dass der Lösungsraum also $L=span\{c_1 \dcot e^{2t}, (c_2+c_3 \cdot t) \cdot e^{2t}, c_4 \cdot e^i, c_5 \cdot e^{-i}\}$ ist. Hatte das t vergessen bei dem zweiten Eintrag.
Wieso kann ich die Konstante dabei denn einfach weglassen? Wenn ich jetzt zum Beispiel ein Polynom vom Grad 2 vor e^{2t} noch hätte, könnte ich dann auch einfach $c \cdot t^2 \cdot e^{2t}$ schreiben oder muss ich dann $(c \cdot t+d \cdot t^2) \cdot e^{2t}$ schreiben?
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Bruce94
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| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2016-06-29
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Habe das das System in ein System erster Ordnung überführt und erhielt:
$\dot x =
\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
-4 & 4 & -5 & 4
\end{pmatrix}
\cdot x
$
Von dieser Matrix habe ich dann die Eigenwerte berechnen lassen.
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ochen
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| Beitrag No.6, eingetragen 2016-06-29
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Diese Lösungsräume sind richtige Vektorräume wie man sie aus LinA kennt. Es ist
$\displaystyle \text{span}\{t^2e^t,\ te^t,\ e^t\}=\{(c_2t^2+c_1t+c_0)e^t\ \mid \ c_2,c_1,c_0\in\mathbb R\}$
Man kann hier auch direkt ohne den Umweg über ein dgl-system das charakteristische Polynom ablesen. Vergleiche das charakteristische Polynom der Matrix mal mit deiner Dgl.
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Bruce94
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| Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2016-06-29
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Ich schreibe den Lösungsraum mal nun als $L=span\{c_1(t) \dcot e^{2t}, c_2(t) \cdot e^{2t}, c_3(t) \cdot e^i, c_4(t) \cdot e^{-i}\}$, um nicht zu sehr von der Mitschrift abzuweichen zunächst mal.
\quoteon
Man kann hier auch direkt ohne den Umweg über ein dgl-system das charakteristische Polynom ablesen. Vergleiche das charakteristische Polynom der Matrix mal mit deiner Dgl.
\quoteoff
Habe ich auch gerade eben festgestellt! :-)
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Bruce94 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Bruce94 hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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