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  Kovalente Bindung |
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awertawer
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 |  Themenstart: 2016-07-04
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Hallo
Wie schon in einem anderen Posting erwähnt, nütze ich gerade die vorlesefreie Zeit um meine Wissenslücken zu schließen.
Diesmal trifft es die Kovalenten Bindungen. Ich bin mir nicht ganz sicher ob ich das Prinzip dahinter komplett verstanden habe, deswegen schreibe ich kurz meine Gedanken dazu auf und hoffe jemand kann etwas dazu sagen=)
Wie ich das verstehe (ausgehenden von einen H2 Molekül):
-> Die Kovalente Bindung beruht auf dem Prinzip, dass sich 2 Atome 1 oder mehrere Elektronen aus dem Velanzband teilen, um so die energetisch günstigste Edelgaskonf. zu "erhalten".
Etwas genauer ( mit etwas quantenmechanisch betrachtet): Bsp: H2- Ion
Hier beschreibt man das Molekülorbital durch die Linearkombination der Atomorbitale (Stichwort LCOB). Jetzt kommt etwas, was ich nicht ganz verstehe...Treffen sich die beiden Atomorbitale, werden diese in ein bindenes und antibindendes Molekülorbital (MO) getrennt (Wieso ?!)
Verstehe ich es richtig: Mit antibindendes MO ist der Fall gemeint, dass beide Atome weit auseinander sind
Mit bindenes MO ist der Fall gemeint, dass beide Atome nah beisammen sind. Meine weitere Erklärung...Die Natur der Dinge bevorzugt ja die energetisch günstigste Lage. Dadurch dass beide Atome beisammen sind und die Atomeorbitale quasi verschmelzen, steigt die Ortsunschärfe (da das Atom jetzt mehr Raum hat wo es sein kann) und zwecks Unschärferelation sinkt die Impulsunschärfe --> Kin. Energie sinkt. --> die Absenkung der kin. Energie führt zur Bindung der Atome
Sry wenn es viel ist, aber ich hoffe ein kluger Kopf kann seinen Senf dazu geben=)
Danke
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 | Beitrag No.1, eingetragen 2016-07-04
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\quoteon(2016-07-04 19:41 - awertawer im Themenstart)
Etwas genauer ( mit etwas quantenmechanisch betrachtet): Bsp: H2- Ion
Hier beschreibt man das Molekülorbital durch die Linearkombination der Atomorbitale (Stichwort LCOB). Jetzt kommt etwas, was ich nicht ganz verstehe...Treffen sich die beiden Atomorbitale, werden diese in ein bindenes und antibindendes Molekülorbital (MO) getrennt (Wieso ?!)
\quoteoff
Stichwort Pauli-Prinzip.
\quoteon(2016-07-04 19:41 - awertawer im Themenstart)
Verstehe ich es richtig: Mit antibindendes MO ist der Fall gemeint, dass beide Atome weit auseinander sind
Mit bindenes MO ist der Fall gemeint, dass beide Atome nah beisammen sind.
\quoteoff
Nein, das ist damit nicht gemeint. Man kann es hier eher aus Sicht der Aufenthaltswahrscheinlichkeit betrachten. Diese ist beim bindenen zwischen den Atomkernen groß und beim antibindenen "auf der Rückseite" der einzelnen Atome. Das ist jetzt nicht sehr sauber, aber soll es bildlich etwas greifbarer machen.
\quoteon(2016-07-04 19:41 - awertawer im Themenstart)
Meine weitere Erklärung...Die Natur der Dinge bevorzugt ja die energetisch günstigste Lage. Dadurch dass beie Atome beisammen sind und die Atomeorbitale quasi verschmelzen, steigt die Ortsunschärfe (da das Atom jetzt mehr Raum hat wo es sein kann) und zwecks Unschärferelation sinkt die Impulsunschärfe --> Kin. Energie sinkt.
\quoteoff
Wofür genau soll das die Erklärung sein?
Vielleicht ist das Thema hier auch noch interessant für dich.
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awertawer
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2016-07-04
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Danke Berufspenner! Deine Expertise ist Gold wert
-- Etwas genauer ( mit etwas quantenmechanisch betrachtet): Bsp: H2- Ion
Hier beschreibt man das Molekülorbital durch die Linearkombination der Atomorbitale (Stichwort LCOB). Jetzt kommt etwas, was ich nicht ganz verstehe...Treffen sich die beiden Atomorbitale, werden diese in ein bindenes und antibindendes Molekülorbital (MO) getrennt (Wieso ?!)
Stichwort Pauli-Prinzip.
Naja ich weiß schon was das Pauliprinz ist. Da Elektronen Fermionen dürfen sie nicht in allen QZ übereinstimmen ect. Aber bei einem H2 Ion (Also 2 Kerne und einem e) ist mir das nicht klar, wieso es sich aufspaltet. Ich glaube mir ist nicht ganz klar was mit bindend und antibindendes MO gemeint ist/wird
Du schreibst ja weiter, dass die WHS dass das e zwischen den Atomen größe ist als am " Rücken". Wieso ist das so? Mir ist nicht klar wieso die Elektronendichte zwischen den beiden Atomen größer ist
Meine weitere Erklärung...Die Natur der Dinge bevorzugt ja die energetisch günstigste Lage. Dadurch dass beie Atome beisammen sind und die Atomeorbitale quasi verschmelzen, steigt die Ortsunschärfe (da das Atom jetzt mehr Raum hat wo es sein kann) und zwecks Unschärferelation sinkt die Impulsunschärfe --> Kin. Energie sinkt.
Wofür genau soll das die Erklärung sein?
Naja die Erklärung dafür, wieso es überhaupt zu einer Bindung kommt.
Gehe ich richtig von der Annahme aus, dass der Grund einer kovalenten Bindung keine elektrostatisches Phänomen ist, sondern ein reiner "Quanteneffekt"? (Stichwort Unschärferelation)...ist das eine gewagte Aussage:P?
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hiki
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| Beitrag No.3, eingetragen 2016-07-04
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Also, die Aufspaltung in bindende und antibindende Zustände dem Pauliprinzip zuzuordnen halte ich für nicht richtig. Die Zustände gibts auch im H$_2^+$-Molekül, und da gibts nur ein Elektron und mithin kein Pauliprinzip.
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hiki
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| Beitrag No.4, eingetragen 2016-07-04
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Die Frage ist: Was sind die Energie-Eigenzustände im H$_2^+$-Molekül?
Ohne die Mathematik davon durchzuführen, können wir ein paar qualitative Beobachtungen machen und Analogien zum Teilchen im Kasten ziehen, wenn Du möchtest.
Der zweite Schritt wäre dann, eine Relation zum LCAO herzustellen.
Schließlich kann man auch noch die Bedeutung der Begriffe "bindend" und "antibindend" klären.
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Berufspenner
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| Beitrag No.5, eingetragen 2016-07-04
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\quoteon(2016-07-04 20:14 - awertawer in Beitrag No. 2)
-- Etwas genauer ( mit etwas quantenmechanisch betrachtet): Bsp: H2- Ion
Hier beschreibt man das Molekülorbital durch die Linearkombination der Atomorbitale (Stichwort LCOB). Jetzt kommt etwas, was ich nicht ganz verstehe...Treffen sich die beiden Atomorbitale, werden diese in ein bindenes und antibindendes Molekülorbital (MO) getrennt (Wieso ?!)
Stichwort Pauli-Prinzip.
Naja ich weiß schon was das Pauliprinz ist. Da Elektronen Fermionen dürfen sie nicht in allen QZ übereinstimmen ect. Aber bei einem H2 Ion (Also 2 Kerne und einem e) ist mir das nicht klar, wieso es sich aufspaltet. Ich glaube mir ist nicht ganz klar was mit bindend und antibindendes MO gemeint ist/wird
\quoteoff
Wie gesagt, gilt als Grundlage das Pauli-Prinzip. Nimmt man zwei Wasserstoffatome in einem großen Abstand voneinander, dann kommt es zu keinem Überlapp der Atomorbitale und es gibt keinerlei Wechselwirkung. Versucht man sie ganz nah zusammenzubringen ($R\rightarrow 0$), dann kommt es auf Grund der Coulombabstoßung auch zu keinem stabilen Zustand. Es gibt aber einen Atomabstand, in dem das Potential minimal ist. Bei Atomen mit vollständig gefüllten Orbitalen (Edelgaskonfiguration) müssten nun wegen dem Pauli-Prinzip Elektronen in ein energetisch höherer liegendes Niveau. Das ist ungünstig, weswegen Edelgase inert und reaktionstsunfreudig sind. Sind die die Atomorbitale nicht vollständig gefüllt, dann kommt es beim Überlapp zu einer Aufspaltung der Atomorbitale hin zu Molekülorbitalen und eine größere Ortsunschärfe der Elektronen ist die Folge, da sie jetzt auf räumlich verschmiert sind. In der Tat sorgt dies durch die Unschärferelation zu einer geringeren kinetischen Energie und damit zu einer allgemeinen Energieabsenkung (bindendes MO). Auf der anderen Seite kommt es durch die Aufspaltung auch zu einem MO mit einer höheren Energie (antibindendes MO). Für mehr Details dazu ist es aber hilfreich sich noch einmal die Berechnungen in einem geeigneten Buch anzusehen und nachzuvollziehen. Im Gegensatz zur ionischen oder van-der-Waals-Bindung muss die kovalente Bindung, genauso wie die metallische, quantenmechanisch betrachtet werden.
\quoteon(2016-07-04 20:14 - awertawer in Beitrag No. 2)
Du schreibst ja weiter, dass die WHS dass das e zwischen den Atomen größe ist als am " Rücken". Wieso ist das so? Mir ist nicht klar wieso die Elektronendichte zwischen den beiden Atomen größer ist
\quoteoff
Wenn du dir den Überlapp der Wellenfunktionen anguckst, dann siehst du eine Nullstelle der Gesamtwellenfunktion. Deren Betragsquadrat ja die Aufenthaltswahrscheinlichkeit angibt. Diese Nullstelle liegt genau zwischen den beiden Atomen. Siehe dazu hier das Bild der Wellenfunktionen.
\quoteon(2016-07-04 20:14 - awertawer in Beitrag No. 2)
Meine weitere Erklärung...Die Natur der Dinge bevorzugt ja die energetisch günstigste Lage. Dadurch dass beie Atome beisammen sind und die Atomeorbitale quasi verschmelzen, steigt die Ortsunschärfe (da das Atom jetzt mehr Raum hat wo es sein kann) und zwecks Unschärferelation sinkt die Impulsunschärfe --> Kin. Energie sinkt.
Wofür genau soll das die Erklärung sein?
Naja die Erklärung dafür, wieso es überhaupt zu einer Bindung kommt.
Gehe ich richtig von der Annahme aus, dass der Grund einer kovalenten Bindung keine elektrostatisches Phänomen ist, sondern ein reiner "Quanteneffekt"? (Stichwort Unschärferelation)...ist das eine gewagte Aussage:P?
\quoteoff
Genau, wie oben angesprochen, lässt sich die kovalente Bindung nur quantenmechanisch erklären.
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.2 begonnen.]
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awertawer
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| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2016-07-04
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Vielen Danke für die Hilfe
@ Berufspenner: Ich verstehe ca. was gemeint ist.
Aber wieso passiert die Aufspaltung (Wie hiki angemerkt hat) auch bei einem H2- Ion (also 2 Kernen und einem e)´?
@ Hiki: Bzgl der // zum Teilchen im Kasten. Mit den // zum Teilchen im Kasten und e im Atom tu ich mir noch etwas schwer.
Ich verstehe die Idee dahinter (Glaube ich:P): Elektron ist ja am Atom (in diskreten Orbitalen) gebunden.
Bei einem freien Elektron sind ja alle Energien erlaubt. Sperrt man nun das Elektron mittels Potentialkasten (Was unser Atomkern ist) ein, wird ja gefordert, dass die Wellenfunktion des e am Rand verschwindet.
Betrachtet man nun die Dispersionsrelation, muss diese am Rand des Potentialkasten verschwinden. --> Die "höhe" der Energie ist beschränkt (was beim Atommodell der breite des Atomorbitals entspricht)..verstehe ich das richtig?
Lg
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hiki
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| Beitrag No.7, eingetragen 2016-07-04
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Hmm, wie Berufspenner bereits gesagt hat, ist das mit der Kovalenten Bindung und allen Begleiterscheinungen eigentlich nur quantenmechanisch zu verstehen. Überlege gerade, wie wir das am Besten anstellen.
Kannst Du denn mit den Begriffen Schrödingergleichung und Eigen- bzw. stationärer Zustand etwas anfangen?
(Und den Begriff der Dispersionsrelation verbannen wir mal aus diesem Zusammenhang.)
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awertawer
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| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2016-07-04
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Ja mit den Begriffen kann ich etwas anfangen=)
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hiki
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| Beitrag No.9, eingetragen 2016-07-04
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Na dann. Probieren wirs.
Denke Dir also
(i) einen unendlich hohen Potanzialkasten. Die Lösungen der SGl verschwinden auf den Rändern (es sind sin bzw. cos - Funktionen mit Knoten an den Rändern). Der Zustand niedrigster Energie hat nur die Knoten am Rand, und den Bauch in der Mitte. Die Lösung ist also bzgl. des Topfes eine symmetrische Funktion.
Bei solchen symmetrischen Potenzialen ist die Lösung geringster Energie immer eine symmetrische Funktion mit genau einem Bauch und Knoten allenfalls an den Rändern.
Die jeweils nächste Lösung besitzt immer einen Knoten mehr, es wechseln sich also symmetrische und antisymmetrische Lösungen ab. Diese Systematik ist in 1D streng.
(ich poste das schonmal, damit Du etwas zum Lesen hast)
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hiki
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| Beitrag No.10, eingetragen 2016-07-04
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(ii) endlich hoher Potenzialkasten
Es ergeben sich wenig Änderungen (außer dass die Rechnung anstrengender wird, denn...)
Allerdings reichen die Lösungen jetzt über die Potenzialsprünge hinaus. Innen sind es die sin/cos, wie vorher, außen aber exponenziell abklingende Funktionen.
Alle Systematiken bleiben erhalten.
(Forts. folgt)
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hiki
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| Beitrag No.11, eingetragen 2016-07-04
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(iii) Coulomb-Potenzial
Das ist nun ein 3D-Potenzial, und die Argumente sind zu verfeinern, gelten aber auch. Wenn Ihr in der Atomphysik dorthinkommt, dann ändern sich die Statements von "abwechselnd symmetrisch bzw. antisymmetrisch" zu "abwechselnd von gerader oder ungerader Parität", was sich am Wert der Quantenzahl l festmachen lässt.
Die Grunderklärung der kovalenten Bindung im Wasserstoffmolekül bedarf aber ausschließlich der 1s-Orbitale, der höheren bedarf es hier nicht.
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hiki
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| Beitrag No.12, eingetragen 2016-07-04
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OK dann, nähern wir uns dem Molekül langsam.
Denke Dir nun zwei unendlich hohe Potenzialkästen, die in einigem Abstand voneinander positioniert sind.
Lösen wir nun die Schrödingergleichung und lassen triviale Teillösungen (gemeint ist $\varphi(x)=0$ in einem der Kästen) außer Betracht, dann ist es unvermeidlich, dass die niederenergitischste(n) Lösung(en) in beiden Kästen gleichzeitig endlich groß sind.
Als unwissender Experimentator bedeutet das in der gängigen Lesart der QM, dass wir nicht wissen, in welchem Topf wir das Elektron finden werden, wenn wir es "wo bist Du" fragen.
Schnappen wir uns das Elektron aber mit einer QM-Zauberpinnzette und stecken es in eines der beiden Töpfe (und dort in den 'lokalen' Grundzustand), dann wissen wir, dass es für alle Zeiten dort bleiben wird, denn es kommt wegen der unendlichen Höhe des Potenzials niemals hinaus (armes Kerlchen).
Übrigens gibt es für die Schrödingergleichung in diesem Fall unendlich viele Lösungen, die sich durch die relative Phase der "Teillösungen" in den beiden Töpfen unterscheiden. Seien $x^L_0$ und $x^R_0$ die Mitten der Töpfe, dann ist die Lösung ja grundsätzlich
$\psi (x,t) = \varphi(x)*\exp \left ( -\frac{iE}{\hbar} \right )$
Hier sind jetzt beliebige Phasenlagen zwischen links und rechts möglich (bitte den aufschrieb symbolisch verstehen)
$\psi(x,t) = N \left (\cos(k_0(x-x^L_0)) +\cos(k_0(x-x^L_0)) \cdot \exp(i\phi) \right ) \cdot \exp \left ( -\frac{iE}{\hbar} \right )$
Der Faktor $N$ steht für "korrekte Normierung".
Bist Du noch dabei?
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hiki
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| Beitrag No.13, eingetragen 2016-07-04
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Das mit den vielen möglichen relativen Phasenlagen habe ich erwähnt, weil sich das grundlegend ändert, wenn wir die Wand zwischen den beiden Töpfen quantenmechanisch durchlässig machen. Das geschieht, indem wir die einander zugewandten Potenzialwände auf endliche Höhe bringen.
Bereit?
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hiki
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| Beitrag No.14, eingetragen 2016-07-04
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So, ich merke, dass ich besser noch einen Einschub mache. Lassen wir mal die Teillösungen "Teilchen ist links im linken Grundzustand" und "Teilchen ist rechts im rechten Grundzustand" zu. Dann haben wir (wenn die Töpfe genau gleich breit sind) entartete Lösungen, diese nennen wir Basiszustände:
$\varphi_L = N \cos(k_0 (x-x^L_0))$
$\varphi_R = N \cos(k_0 (x-x^R_0))$
Die sind klar linear unabhängig, denn Ihr Skalarprodukt verschwindet (weil sie auf disjunkten Intervallen von Null verschieden sind.)
Die zuvor angegebenen Lösungen sind Linearkombinationen davon. Die sind zwar beliebig wählbar, aber es gibt immer nur zwei linear unabhängige solcher Linearkombinationen. Am einfachsten sind:
$\varphi_1 = N \left (\cos(k_0 (x-x^L_0)) + \cos(k_0 (x-x^R_0))\right )$
$\varphi_2 = N \left (\cos(k_0 (x-x^L_0)) - \cos(k_0 (x-x^R_0))\right )$
Diese unterscheiden sich im relativen Vorzeichen.
$\varphi_L$ und $\varphi_R$ sind jeweils, auf ihren eigenen Topf bezogen, symmetrisch. Bezogen auf die Gesamtanordnung ist allerdings nur noch $\varphi_1$ symmetrisch, $\varphi_2$ dagegen antisymmetrisch.
Da die beiden Teilfunktionen aber "nicht miteinander sprechen" (dazu gleich mehr), sind beide Lösungen (noch) energetisch entartet.
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hiki
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| Beitrag No.15, eingetragen 2016-07-04
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Machen wir nun also den Zwischenbereich endlich hoch, aber trotzdem ziemlich hoch (viel höher als die Grundzustandsenergie bei unendlich hohen Wänden).
Die Lösungen besitzen jetzt auf den inneren Rändern der Töpfe eine endliche Amplitude. D.h. die alten $\cos$-Lösungen haben streng genommen ausgedient. Allerdings ist der exponenzielle Abfall so schnell, dass man schon genau hingucken muss, um den Unterschied zu sehen.
Was ist der Effekt davon? Abgesehen davon, dass die Aufenthaltswahrscheinlichkeit im klassisch verbotenen Bereich (klein aber) endlich ist, kommt jetzt der Tunneleffekt zum Tragen:
Nehme ich wieder meine QM-Zauberpinzette und "präpariere" (so nennt man das) mein Elektron so, dass es zum Zeitpunkt des Loslassens genau die alten Basisfunktion $\varphi_L$ einnimmt, so ist das nun zwar fast, aber nicht genau ein Eigenzustand, der ist nun also nicht-stationär: Schaue ich später nach und frage: "hallo wo bist Du", dann kann ich auch die Antwort "rechts!" (also im Bereich der alten Basisfunktion $\varphi_R$) bekommen.
Alles das als Ergebnis dessen, dass das jetzt gültige Potenzial eine "Kommunikation" zwischen links und rechts zulässt.
Wenn jetzt die alten Basisfunktionen nicht mehr die Eigenzustände sind, welche sind es dann? Da haben wir zwei Möglichkeiten: entweder richtig ausrechnen oder aber eine Näherung (LCAO) probieren. Letzteres machen wir als nächstes, $\varphi_L$ und $\varphi_R$ spielen dabei die Rolle der Atomorbitale.
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hiki
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| Beitrag No.16, eingetragen 2016-07-04
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Die Näherung besteht darin, sich bei den Lösungen auf die beiden Basisfunktionen (li, re) zu beschränken. Das kann nicht exakt sein, denn die sind im Bereich der Tunnelbarriere Null, die tatsächliche Lösung dagegen endlich.
Wie drückst man das gesagte nun mathematisch aus? Die Situation mit den unendlich hohen Wänden in etwa so:
\
(E_0,0;0,E_0) (\alpha \psi_L;\beta \psi_R)=E_0 (\alpha \psi_L;\beta \psi_R)
Alle zuvor genannten Lösungen sind hiermit erfassbar. Bei endlich hohen Wänden stimmt aber die Diagonalmatrix als Hamilton-Operator nicht mehr, schließlich haben wir gesagt, dass $\varphi_L, \varphi_R$ keine Eigenfunktionen mehr sind. Die tatsache, dass nun aus einem Start bei $\varphi_L$ die Antwort "ich bin jetzt bei $\varphi_R$" kommen kann drückt sich in der Energiematrix durch außerdiagonalelemente aus. Die können komplex sein, die Matrix allerdings muss Hermite'sch sein:
\
(E_0,C;C^\dagger,E_0) (\alpha \psi_L;\beta \psi_R)=E_1,2 * (\alpha \psi_L;\beta \psi_R)
Duu wirst vermutlich schnell erkennen, dass jetzt zwei Lösungen verschiedener Energie ($E_{1,2} = E_0 \pm |C|$) entstehen!! Auch sind die Phasenfaktoren $\alpha, \beta$ nicht mehr beliebig, sondern es gibt nur noch $\alpha = \beta$ und $\alpha = -\beta$.
So weit so gut? Fast geschafft!
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