| |
| Autor |
 Komplexe Nullstellen bei homogener linearer Differentialgleichung höherer Ordnung |
|
spielzimmer3000
Junior 
Dabei seit: 10.03.2016
Mitteilungen: 10
 |  Themenstart: 2016-07-16
|
Hi Leute,
ich habe eine Frage zu einer homogenen linearen Differentialgleichung höherer Ordnung mit komplexen Nullstellen.
Es geht um die Differentialgleichung y^(4)-y=0.
Als Anfangsbedingungen sind
y(0)=3
y´(0)=1
y´´(0)=-1
y´´´(0)=-3
gegeben.
Als Lösungen der charakteristischen Gleichung habe ich r_1=1, r_2=-1, r_3=i und r_4=-i. Nun setze ich die Lösungen jeweils in die Gleichung y=e^(rx) ein. Bei den komplexen Nullstellen habe ich dann y_3=e^(ix) und y_4=e^(-ix).
Nun stehen in meiner Lösung der Tipp e^(i\beta x)=cos(\beta x)+i*sin(\beta x) und e^(-i\beta x)=cos(\beta x)-i*sin(\beta x). Damit kann ich sogar was anfangen. Als nächster Tipp steht aber auch da, dass man beachten soll, dass das i in eine multiplikative Konstante absorbiert werden kann.
Meine Lösung sagt, dass y_3(x)=cos(x) und y_4=sin(x). Dabei wäre ich eigentlich nach dem ersten Tipp auf y_3(x)= cos(\beta x)+ i*sin(\beta x) und y_4(x)=cos(\beta x)-i*sin(\beta x) gekommen.
Dass die i, ein cos und ein sin verschwunden sind, hat ziemlich sicher etwas mit dem zweiten Tipp zu tun, ich verstehe das aber nicht.
Es wäre sehr nett, wenn mich da jemand aufklären könnte!
Danke und Grüße
spielzimmer3000
|
 Profil
|
Kuestenkind
Senior 
Dabei seit: 12.04.2016
Mitteilungen: 2583
| Beitrag No.1, eingetragen 2016-07-16
|
Hallo spielzimmer3000,
du sollst dein komplexes Fundamentalsystem in ein reelles umwandeln. Betrachte also den Realteil, der wieder eine Lösung deiner DGL darstellt.
Später darfst du dann die Lösung bestimmt direkt hinschreiben:
http://www-math.upb.de/~mathkit/Inhalte/DGLen/data/manifest9/Lsg_linDGL_konstKoeff.html
Gruß und einen schönen Abend,
Küstenkind
|
Profil
|
Wally
Senior 
Dabei seit: 02.11.2004
Mitteilungen: 9774
Wohnort: Dortmund, Old Europe
 | Beitrag No.2, eingetragen 2016-07-16
|
Hallo,
oder du benutzt die Tatsache, dass deine Funktionen eine Basis des Lösungsraums sind.
Z.B ist dann $\Big(\cos(\beta x)+i\sin(\beta x)\Big)+\Big(\cos(\beta x)-i\sin(\beta x)\Big)$ auch eine Lösung.
Wally
P.S.
Bei dir ist $\beta =1$.
|
Profil
|
| spielzimmer3000 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen. | | spielzimmer3000 wird per Mail über neue Antworten informiert. |
|
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2023 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die
Nutzungsbedingungen,
die Distanzierung,
die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]
|
Home / Seite ohne Frame
Wie unterstütze ich den Matheplaneten mit Geld?
