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Moderiert von Buri Gockel
Strukturen und Algebra » Körper und Galois-Theorie » Hat jede algebraische Funktion nur algebraische Nullstellen?
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Autor
Universität/Hochschule J Hat jede algebraische Funktion nur algebraische Nullstellen?
IVmath
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 29.07.2016
Mitteilungen: 385
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2016-07-30


Hallo,

hat jede algebraische Funktion nur algebraische Nullstellen?

Wie kann man das beweisen?

Danke.



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Triceratops
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 4058
Aus: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2016-07-30


Nein, die Nullfunktion hat viele ;) Nullstellen und ist natürlich algebraisch. Das ist aber auch das einzige Gegenbeispiel: Für eine Körpererweiterung <math>L/K</math> heißt eine (partielle) Funktion <math>f : L \to L</math> algebraisch über <math>K</math>, wenn es ein irreduzibles Polynom <math>p(X,Y) \in K[X,Y]</math> gibt mit
<math>p(x,f(x))=0</math> für alle <math>x \in L</math> (laut encylopedia of mathematics). Für eine Nullstelle <math>x \in L</math> von <math>f</math> gilt daher <math>p(x,0)=0</math>. Wenn jetzt <math>p(X,0) \in K[X]</math> nichttrivial wäre, dann wüssten wir also, dass <math>x</math> algebraisch über <math>K</math> ist. Wenn nicht, gilt <math>p(X,0)=0</math>. Das bedeutet, dass <math>Y</math> ein Teiler von <math>p(X,Y)</math> ist. Weil <math>p(X,Y)</math> irreduzibel ist, folgt, dass <math>p(X,Y)</math> zu <math>Y</math> assoziiert ist, und weiter <math>f(x)=0</math> für alle <math>x \in L</math>, d.h., <math>f</math> ist die Nullfunktion.



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IVmath
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 29.07.2016
Mitteilungen: 385
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2016-07-30


Ja, danke. An die Nullfunktion hatte ich gar nicht gedacht.

Mit meiner Frage hatte ich eher gemeint:
Hat jede nicht konstante algebraische Funktion nur algebraische Nullstellen?
Wie kann man das beweisen?
(Ich bin kein Mathematiker und kein Mathematikstudent, sondern Naturwissenschaftler.)



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Triceratops
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 4058
Aus: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2016-07-30


Den Beweis habe ich doch aufgeschrieben. Wenn die Funktion nicht-konstant ist, dann ist sie insbesondere nicht die Nullfunktion.



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Buri
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.08.2003
Mitteilungen: 45995
Aus: Dresden
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2016-07-30


Hi IVmath,
Richtig ist auch: eine rationale Funktion mit algebraischen Koeffizienten, die nicht die Nullfunktion ist, hat nur algebraische Nullstellen.
Gruß Buri



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IVmath
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 29.07.2016
Mitteilungen: 385
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2016-07-30


Ach ja, ich hatte es dann auch gesehen. Entschuldige bitte. Als ich meine Antwort geschrieben habe, war ich mit dem Verständnis des Beweises noch nicht so weit.

Danke für den Beweis. Mit seiner Hilfe kann ich nun meine Vermutung über die lokalen Umkehrfunktionen (siehe anderen Artikel) beweisen.



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IVmath
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 29.07.2016
Mitteilungen: 385
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2016-07-30


Eine rationale Funktion mit algebraischen Koeffizienten ist ja auch eine algebraische Funktion.



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IVmath hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
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