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Analysis » Maßtheorie » Bedingungen für Messbarkeit
Autor
Universität/Hochschule Bedingungen für Messbarkeit
Septime
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Dabei seit: 12.07.2015
Mitteilungen: 24
  Themenstart: 2016-11-08

Hallo, Sei \Omega eine überabzählbare Menge und sei S die Sigma-Algebra von allen Teilmengen von \Omega, welche entweder abzählbar sind oder deren Komplement abzählbar sind. Sie können annehmen, dass das eine Sigma-Algebra ist. a) Geben Sie eine notwendige und hinreichende Bedingung für die Messbarkeit einer numerischen Funktion g:\Omega->\IR\union\ \inf . b) Sei \mue:S-> [0, \inf ] definiert als \mue(A)=0 für A abzählbar und \mue(A)=\inf sonst. Wir wissen, dass \mue ein Maß auf (\Omega ,S) ist. Was sind die f-integrierbaren Funktionen? Was sind ihre Integrale? Hier sind meine Ideen. a) Sei g: (\Omega ,S) -> (\IR\union\ \inf ,B). Dann ist eine notwendige Bedingung, dass (\IR\union\ \inf ,B) ein Messraum ist, dh. insbesondere muss B eine Sigma Algebra sein. Als hinreichende Bedingung habe ich, dass $ g^(-1)(A_2) $ oder das Komplement von $ g^(-1)(A_2) abzählbar sein muss für alle A_2 aus B, wobei (\IR\union\ \inf ,B) ein Messraum ist. b) Sei f:\Omega->\IR\union\ \inf , f(x)=c für x abzählbar und f(x)=0 für x überabzählbar mit c aus \IR\union\ \inf . Dann ist f für alle c aus \IR\union\ \inf \mue-integrierbar und das Integral ist int(|f(x)l,\mue(x),\Omega,)= c*\mue(y)+0*\mue(z)=c*0+0*\inf = 0 , wobei y abzählbär ist und z überabzählbar ist. Ich habe aber das Gefühl, dass ich es mir zu einfach gemacht habe bzw. dass ich es falsch gemacht habe. Ich würde mich über jede Hilfe freuen! Gruß Septime

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