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  Lebesgue-Maß konkret berechnen |
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Bilo123
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 07.04.2016
Mitteilungen: 69
 |  Themenstart: 2016-11-14
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Hallo,
es geht um die konkrete Berechnung des Lebesgue-Maßes.
Wir haben es wie folgt definiert:
$\displaystyle \lambda^n: \mathcal{B}^n \rightarrow [0,\infty)\quad (a,b]\mapsto
\Pi\limits_{i=1}^n (b_i-a_i)$
$\displaystyle \mathcal{B}^n$ ist die Borel-$\displaystyle \sigma$-Algebra.
Nun soll ich das n-dimensionale Lebesgue-Maß folgender Mengen berechnen:
$\displaystyle
A_1:=\{x e_1, x\in\mathbb{R}\} \quad e_1:=(1,0,...,0)\\
A_2:=\{x\in\mathbb{R}^n~|~ ||x||_\infty \in (1,2)\}
$
und das 2 dimensionale Lebesguemaß von $\displaystyle A_3$
$\displaystyle f:[0,1]\rightarrow[0,\infty)$ stetig
$\displaystyle A_3:=\{(x,y)\in\mahtbb{R}^2: 0\leq y\leq f(x)\}$
Kann mir jemand einen Ansatz zur Vorgehensweise liefern?
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Triceratops
Aktiv 
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Mitteilungen: 6472
Wohnort: Berlin
 |  Beitrag No.1, eingetragen 2016-11-14
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Man sollte natürlich nicht nur $\lambda([a,b])=\prod_i (b_i-a_i)$ benutzen, sondern auch dass $\lambda$ ein reguläres Borel-Maß ist. Bei $A_1$ muss man eine Fallunterscheidung machen. Für $n=1$ ist $A_1=\mathds{R}$ und das Lebesgue-Maß also $\infty$. Für $n>1$ ist aber $A_1 = \bigcup_n [-n,n] \times [0,0] \times \dotsc \times [0,0]$ und das Lebesgue-Maß daher $0$. Die Menge $A_2$ solltest du dir einmal für $n=2$ aufzeichnen, um mehr Intuition dafür zu bekommen. Die Menge $A_3$ ist ja gerade die Fläche unterhalb des Graphens von $f$. Das Lebesgue-Maß ist also das Riemann-Integral von $f$ und (wegen der Stetigkeit) zugleich das Lebesgue-Integral von $f$. Dazu muss man sich nur die Definitionen etwas genauer anschauen.
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Bilo123
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 07.04.2016
Mitteilungen: 69
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2016-11-15
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Danke für die Antwort. Ich meine, ich habe es etwas besser verstanden.
Zu $\displaystyle A_2$:
Falls ich es korrekt interpretiere, enthält die Menge alle Vektoren im "Rechteckrahmen" mit Innenkantenlänge 1 und Außenkantenlänge 2.
D.h. $\displaystyle \lambda^2(A_2)=12$ und mit dem selben Argument wie bei $\displaystyle A_1$ gilt für $\displaystyle \lambda^n(A_2)$ für $\displaystyle n>2$: $\displaystyle \lambda^n(A_2)=0$.
Für $\displaystyle n=1$ beteht $\displaystyle A_1$ aus den Intervallen $\displaystyle (-2,-1)$ und $\displaystyle (1,2)$
Demnach folgt $\displaystyle \lambda^1(A_2)=2$.
Ist das so richtig?
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Orthonom
Wenig Aktiv 
Dabei seit: 02.09.2010
Mitteilungen: 583
| Beitrag No.3, eingetragen 2016-11-15
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Hallo Bilo!
Bei A_1 hast Du es mit einer 1-dim Menge zu tun
und deshalb ist das Maß für n>1 Null.
Dieses Argument kannst Du aber bei A_2 nicht benutzen.
Gruß Orthonom
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Bilo123
Ehemals Aktiv
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2016-11-15
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Hallo Orthonom,
stimmt $\displaystyle A_2$ ist ja für alle $\displaystyle x\in\mathbb{R}^n$ definiert.
Ok, neuer Versuch:
Für $\displaystyle n=1$ gilt $\displaystyle \lambda^1(A_2)=2$
Für $\displaystyle n=2$ gilt $\displaystyle \lambda^2(A_2)=12=2^2\cdot(2^2-1)$ (Rechteckrahmen)
Für $\displaystyle n=3$ gilt $\displaystyle \lambda^3(A_2)=56=2^3\cdot(2^3-1)$ ("Hohlwürfel")
Dann allgemein
$\displaystyle \lambda^n(A_2)=2^n(2^n-1)$
Wie kann ich dieses Ergebnis aus der Definition des Lebesgue-Maßes
($\displaystyle \lambda^n((a,b])=\Pi\limits_{i=1}^n (b_i-a_i)$) erhalten?
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Bilo123
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 07.04.2016
Mitteilungen: 69
| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2016-11-15
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Vielleicht so
$\displaystyle A_2=B_2\backslash B_1=\{x\in\mathbb{R}^n\,|\,||x||_\infty <2\}\backslash\{x\in\mathbb{R}^n\,|\,||x||_\infty \leq1\}$
$\displaystyle \lambda^n(A_2)=\lambda^n(B_2\backslash B_1)=\lambda^n(B_2)-\lambda^n(B_1)\\
=\Pi_{i=1}^n (2-(-2)) - \Pi_{i=1}^n(1-(-1))=4^n-2^n=2^n(2^n-1)$
?
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Orthonom
Wenig Aktiv
Dabei seit: 02.09.2010
Mitteilungen: 583
| Beitrag No.6, eingetragen 2016-11-16
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Hallo Bilo,
ich denke Du liegst ganz richtig und ich hätte
es gemacht wie Du! Du kannst das Lebesguemaß von
B_1 und B_2 mit der angebenen Definition berechnen.
Dass Du noch eine Differenz bilden mußt, das ist dann
ein zusätzlicher Schritt, den Du machen mußt.
Grüße Orthonom
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