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Funktionentheorie » Holomorphie » Funktionentheorie: Gibt es beschränkte, nicht-konstante, analytische Funktionen C \ {0} -> C?
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Universität/Hochschule Funktionentheorie: Gibt es beschränkte, nicht-konstante, analytische Funktionen C \ {0} -> C?
mathewirbel
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  Themenstart: 2016-11-17

Hallo liebes Forum Das ist mein erster Beitrag :) Ich sitze gerade an einer Aufgabe in Funktionentheorie, die folgendermassen lautet: a) Gibt es beschränkte, nicht-konstante, analytische Funktionen C\{0} -> C? b) Gibt es ganze Funktionen f: C -> C mit beschränktem Realteil? Die Tipps meines Assistenten waren: a) Per Widerspruch, benutze, dass g beschränkt ist ...exp*g = ? b) Benutze abs(exp(z))=exp(Re(z)) Ich habe schon ein bisschen rumprobiert aber das will einfach nicht werden. Folgendes hab ich überlegt: a) Annahme: g sei beschränkt, nicht konstant, analytisch C\{0} -> C g beschränkt bedeutet abs(g(z))<= M < inf für alle z in C ohne Null. und g analytisch bedeutet dass auch exp*g analytisch ist. Weiter gilt g nicht konstant => g' ist nicht null. Aber was genau soll mir der Tipp mit der Exponentialfunktion bringen? Um einen Tipp wäre ich sehr, sehr froh :)

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Folgende Antworten hat der Fragensteller vermutlich noch nicht gesehen.
Er/sie war noch nicht wieder auf dem Matheplaneten
Buri
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  Beitrag No.1, eingetragen 2016-11-17

\quoteon(2016-11-17 15:05 - mathewirbel im Themenstart) ... benutze, dass g beschränkt ist ...exp*g = ? \quoteoff Hi mathewirbel, es ist nicht klar aufgeschrieben, welche Hilfsfunktion man hier betrachten soll. Wenn g : C \ {0} --> C die betrachtete Funktion ist, dann bilden wir h : C -> C durch h(z) = g(ez). Dann ist h eine beschränkte ganze Funktion, und man kann den Satz von Liouville anwenden. Etwas mehr Mühe braucht man, un nachzuweisen, dass dann nicht nur h, sondern auch g selbst konstant sein muss. Es kann aber sein, dass ich etwas Wichtiges übersehe. Gruß Buri

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