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Moderiert von Fabi Dune ligning
Lineare Algebra » Vektorräume » Vektorräume
Autor
Kein bestimmter Bereich J Vektorräume
Anonymous
Unregistrierter Benutzer
  Themenstart: 2001-12-13

Hi, ich brüte gerade über folgender Aufgabe: Es sei K ein Körper und V ein endlich erzeugter K-Vektorraum. U,W sind Untervektorräume von V. Zeige: U Ç W={0} und U+W=V genau dann, wenn für jede geordnete Basis (u1,...uk) von U und jede geordnete Basus (w1,...,wm) von W das Tupel (u1,..,uk,w1,...,wm) eine geordnete Basis von V ist. wer kann mir helfen? Tom

 
matroid
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 12.03.2001
Mitteilungen: 14610
Wohnort: Solingen
  Beitrag No.1, eingetragen 2001-12-13

Hi Tom, zeige erst die eine Richtung, dann die andere. '=>' Seien U und W zwei Vektorräume, die nur den Nulvektor gemeinsam haben. Wenn einer von beiden der Nullvektorraum ist, dann ist der andere schon gleich V, denn U+W = V. Und eine Basis von o.B.d.A U ist schon eine Basis von V. Nehme nun an, daß U und W beide ungleich {0} sind. Seien (u1, ..., uk) und (w1,...,wj) Basen. Da UÇW = {0}, sind die ui und die wi alle zusammen linear unabhängig. Denn wäre es nicht so, dann gäbe es eine Linearkombination der wi um o.B.d.A. u1 darzustellen. Dann wäre aber u1 in W und der Durchschnitt könnte nicht leer sein. Weil außerdem U+W=V und die ui und wi Basen von U und W sind, ist  (u1, ..., uk,w1,...,wj) ein Erzeugendensystem für V. Ein linear unabhängiges Erzeugendensystem ist eine Basis. Gruß Matroid

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Anonymous
Unregistrierter Benutzer
  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2001-12-14

Vielen Dank!

 
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