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 DGL 2. Ordnung mit Summand (Linearisierung und analytische Lösung) |
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edna891
Junior 
Dabei seit: 23.07.2013
Mitteilungen: 8
 |  Themenstart: 2016-11-24
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Hallo,
habe ein Problem mit einer DGL 2. Ordnung der auch einen konstanten Summanden hat. Bin mir nicht so sicher, ob man das auch so nennt mit dem konstanten Summanden. :)
Die DGL muss um den Arbeitspunkt $\phi_0 = \frac{\pi}{6}, \dot \phi_0 = 0$ linearisiert werden.
$
\ddot \phi + sin(\phi) = 0
$
In der DGL wird dann der Sinus-Term mit der Taylor-Reihenentwicklung linearisiert.
$
sin(\frac{\pi}{6}) + cos(sin(\frac{\pi}{6}))*(\phi - sin(\frac{\pi}{6})) = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt 3}{2} * (\phi - \frac{\pi}{6})
= \frac{\sqrt 3}{2} * \phi + \frac{1}{2} - \frac{\pi * \sqrt 3}{12}
$
Dieser Teil wird dann in die DGL eingesetzt.
$
\ddot \phi + \frac{\sqrt 3}{2} * \phi + \frac{1}{2} - \frac{\pi * \sqrt 3}{12} = 0
$
Wäre da eben nicht dieser konstante Anteil, würde ich die DGL n-ter Ordnung mit n DGLen erster Ordnung ausdrücken und lösen beziehungsweise mit dem charakteristischen Polynom. Außerdem kann man das auch nicht als inhomogen bezeichnen, oder? Da dieser konstante Summand keine Funktion von t ist, oder könnte man das mit Variation der Konstanten lösen? Habe nichtsdestotrotz deshalb mal den ersten Ansatz versucht, komme aber dann auch nicht mehr weiter.
$
y_1 = \phi \\
y_2 = \dot \phi \\
\\
\dot y_1 = \dot \phi = y_2 \\
\dot y_2 = \ddot \phi = -\frac{\sqrt 3}{2} * \phi - \frac{1}{2} + \frac{\pi * \sqrt 3}{12} = -\frac{\sqrt 3}{2} * y_1 - \frac{1}{2} + \frac{\pi * \sqrt 3}{12} \\
\\
\left[\begin{array}{l} \dot y_1 \\ \dot y_2 \end{array} \right] = \left[\begin{array}{1 1} 0 & 1 \\ -\frac{\sqrt 3}{2} & 0 \end{array} \right] * \left[\begin{array}{l} y_1 \\ y_2 \end{array} \right] + \left[\begin{array}{l} 0 \\ - \frac{1}{2} + \frac{\pi * \sqrt 3}{12} \end{array} \right]
$
Diese Anordung erinnert mich halt sehr stark an die Form $ A*x = b$, jedoch bin ich mir nicht sicher ob das ein richtiger Ansatz wäre.
Mir wäre sehr geholfen, wenn ich mal wüsste, welche Richtung ich einschlagen muss. :)
Viele Grüße
Edna
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gonz
Senior 
Dabei seit: 16.02.2013
Mitteilungen: 4867
Wohnort: Harz
 | Beitrag No.1, eingetragen 2016-11-25
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Hallo Edna,
ich würde wie folgt substituieren:
\xi = sqrt(3)/2 * \Phi + 1/2 - sqrt(3)/12*\pi
\xi^** = sqrt(3)/2 * \Phi^**
und damit bist du den störenden Summanden los, berechnest xi und machst ganz am Ende die Substitution rückgängig.
Natürlich kannst du den Summanden auch als Inhomogenität betrachten, die zugehörige homogene Gleichung ist von der Struktur her dem sehr ähnlich was du hier durch die Substitution erhältst, und die benötigte partikuläre Lösung der inhomogenen Gleichung kannst du durch Ansatz
\Phi=const erhalten.
Grüsse und einen schönen Tag wünscht
gonz
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edna891
Junior
Dabei seit: 23.07.2013
Mitteilungen: 8
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2016-11-26
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Hallo Gonz,
habe es mal mit der Substitution versucht, wie du mir geraten hast.
Die Ausgangsdgl. lautet wie folgt:
$
\ddot \phi + \frac{\sqrt 3}{2} * \phi + \frac{1}{2} - \frac{\pi * \sqrt 3}{12} = 0
$
Subsitution:
$
\xi = \frac{\sqrt 3}{2} * \phi + \frac{1}{2} - \frac{\pi * \sqrt 3}{12} \\
\dot \xi = \frac{\sqrt 3}{2} * \dot \phi \\
\ddot \xi = \frac{\sqrt 3}{2} * \ddot \phi \Leftrightarrow \ddot \phi = \frac{2}{\sqrt 3} * \ddot \xi \\
$
Einsetzen in die Ausgangsdgl. und homogene Lösung von $\xi$ berechnen:
$
\frac{2}{\sqrt 3} * \ddot \xi + \xi = 0 \\
\\
\frac{2}{\sqrt 3} * \lambda^2 + 1 = 0 \Leftrightarrow\\
\lambda = \pm i \sqrt{\frac{\sqrt{3}}{2}} \\
\\
\xi = c_1 * cos(\sqrt{\frac{\sqrt{3}}{2}}*x) + c_2 * sin(\sqrt{\frac{\sqrt{3}}{2}}*x) \\
\dot \xi = - \frac{\sqrt{3}}{2}} * c_1 * sin(\sqrt{\frac{\sqrt{3}}{2}}*x) + \frac{\sqrt{3}}{2}}* c_2 * cos(\sqrt{\frac{\sqrt{3}}{2}}*x)
$
Hier habe ich dann die Rücksubstitution angewandt, damit ich die Konstanten mit den Anfangsbedingungen $\phi_0 = \frac{\pi}{6}, \dot \phi_0 = 0$ bestimmen kann. Hier die Rechnung von c1, c2 hab ich mal ausgelassen. :)
$
\frac{\sqrt 3}{2} * \phi + \frac{1}{2} - \frac{\pi * \sqrt 3}{12} = c_1 * cos(\sqrt{\frac{\sqrt{3}}{2}}*x) + c_2 * sin(\sqrt{\frac{\sqrt{3}}{2}}*x) \Leftrightarrow \\
\\
\phi = \frac{2}{\sqrt 3} * (c_1 * cos(\sqrt{\frac{\sqrt{3}}{2}}*x) + c_2 * sin(\sqrt{\frac{\sqrt{3}}{2}}*x) - \frac{1}{2} + \frac{\pi * \sqrt 3}{12}) \Leftrightarrow \\
\\
\frac{\pi}{6} = \frac{2}{\sqrt 3} * (c_1 - \frac{1}{2} + \frac{\pi * \sqrt 3}{12}) \Leftrightarrow \\
\\
\frac{3*\pi}{12} = c_1 - \frac{1}{2} + \frac{\pi * \sqrt 3}{12} \Leftrightarrow \\
\\
c_1 = \frac{1}{2}\\
c_2 = 0
$
Dann hab ich ja schon das Ergebnis indem ich die Konstanten eintrage, oder?
$
\phi = \frac{1}{\sqrt{3}}*cos(\sqrt{\sqrt{3}/2}*x)-\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{\pi}{6}
$
Habe mal zum überprüfen Matlab auch die DGL lösen lassen. Also Lösung kommt folgendes raus:
http://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/a/37201_1.png
Sprich ähnelt sich gar nicht mit unserer Lösung, jedoch wenn ich beide Gleichungen plotte, schaut das Gleich aus.
D.h. ich bin ein wenig verwirrt. :D Stimmt nun die Lösung oder nicht?!
Gruß
Edna
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gonz
Senior
Dabei seit: 16.02.2013
Mitteilungen: 4867
Wohnort: Harz
| Beitrag No.3, eingetragen 2016-11-26
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Leider kenn ich mich mit matlab nicht aus, ggf. kann ja jemand anders dazu etwas sagen wo diese Brüche herkommen...
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edna891
Junior
Dabei seit: 23.07.2013
Mitteilungen: 8
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2016-11-26
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Habe mal die Werte einfach ausgerechnet, kommt pi mal Daumen das Selbe heraus. :D
Werde jetzt nochmal den Ansatz mit der inhomogenen DGL ausprobieren. :)
Danke nochmals gonz!
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haerter
Senior 
Dabei seit: 07.11.2008
Mitteilungen: 1744
Wohnort: Bochum
| Beitrag No.5, eingetragen 2016-11-27
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Hallo,
ich hätte noch eine Alternative anzubieten, habe aber die langen Rechnungen von Euch nicht im Detail angeschaut.
Ich denke, dass das weitgehend ok ist bis auf den Punkt, dass für die spezielle Lösung der inhomogenen Gleichung die Bedingung $\phi_0=\frac{\pi}{6}$, $\dot{\phi}_0=0$ keine Rolle spielt, dies ist beim "Arbeitspunkt" der Linearisierung bereits abgefrühstückt.
Vielleicht sieht man es ein bisschen besser, wenn man folgendes macht:
Man schreibt das Ganze erst einmal als System
$\dot{\phi}=\psi,\; \dot{\psi}=-\sin(\phi)$ und setzt dann
$\phi=\frac{\pi}{6}+u$ und $\psi=0+v$ und stellt sich $u$ und $v$ als kleine Änderungen von $\phi$ und $\psi$ vor.
Dann ist $\dot{u}=\dot{\phi}=\psi=v$ und $\dot{v}=\dot{\psi}=-\sin(\phi)=-\sin(\frac{\pi}{6}+u)=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}u+...$
Die Linearisierung ist dann also $\dot{u}=v$, $\dot{v}=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}u$ oder
$\ddot{u}+-\frac{\sqrt{3}}{2}u+\frac{1}{2}=0$ mit beliebigen Anfangsbedingungen für $u$ und $v$. Das entspricht Eurer Gleichung nach der Koordinatentransformation.
Lösen würde man das dann wie gonz schon sagte mit einer geratenen speziellen Lösung der inhomogenen DGL + der allgemeinen Lösung der homogenen DGL.
Viele Grüße,
haerter
P.S.: Die seltsamen Matlab-Zahlen stammen m.E. aus irgendeiner Näherung für die Werte $\frac{\pi}{6}$ und $\sqrt{\sqrt{3}/2}$, die in Deiner Rechnung vorkommen.
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edna891 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
edna891 hatte hier bereits selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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