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| Autor |
 Frage zum Lebesgue-Maß |
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sulky
Aktiv 
Dabei seit: 21.12.2009
Mitteilungen: 1984
 |  Themenstart: 2016-11-29
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Hallo zusammen,
Folgende Frage verstehe ich nicht richtig:
Sei $\lambda$ das Lebesque Mass auf $\mathbb{R}$
Zeige dass:
(i) $1_{Q}=0$ $\lambda-fa$
Zu lesen: "Lambda fast überall" und nicht "lambda minus f mal a"
Die Aufgabenstellung verstehe ich in verschiedener Hinsicht nicht.
Der Begriff "fa" wurde bei uns definiert.
Aber die Definition von "fast überall" hängt stark mit einem Massraum
$(X\mathcal{A},\mu)$ zusammen.
Eine Aussage Q gilt fast überall auf X wenn: Falls Q auf $B\subset X$ nicht gilt, dann existiert $A \in \mathcal{A}$ sodass $B\subset A$ und $\mu(A)=0$
In der Aufgabenstellung ist keine $\sigma$-algebra angegeben. Ohne Definition eines Massraumes verstehe ich den Beriff "fa" nicht.
Wer kann mir das erklären?
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umlaufsatz
Senior 
Dabei seit: 25.09.2015
Mitteilungen: 823
| Beitrag No.1, eingetragen 2016-11-29
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Hallo sulky,
da steht doch: „fa bzgl. λ“ :).
umlaufsatz
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Tycross
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 26.11.2016
Mitteilungen: 70
| Beitrag No.2, eingetragen 2016-11-29
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Hi sulky,
auf den reellen Zahlen ist meist die Borel-Sigma-Algebra definiert.
Und darauf definiert ist das Lebesgue Maß.
Hilft dir das weiter?
Zusatz: f.ü. bedeutet bei deiner Aufgabe, dass die Funktion nur auf einer Nullmenge ungleich null sein kann, andernfalls ist Sie null.
[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]
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sulky
Aktiv 
Dabei seit: 21.12.2009
Mitteilungen: 1984
| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2016-11-29
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hallo Zusammen,
Vielen Dank für die schnellen Antworten.
Aber jetzt sind wie doch auf dem Thema.
Fall 1:
Sei $(\mathbb{R},\Mathcal{B}_\mathbb{R},\lambda)$ ein Massraum,
dann ist $1_\mathbb{Q}=0fü$ denn für jede zahl $q \in \mathbb{Q}$ existiert eine überdeckung $q \subseteq (q-\epsilon,q+\epsilon) \in \Mathcal{B}_\mathbb{R}$ sodass
$\lambda((q-\epsilon,q+\epsilon))=0$. Es war nämlich übungsaufgabe zu zeigen, dass jede Reele Zahl element von $\Mathcal{B}_\mathbb{R}$ ist. Somit ist die überdeckung trivial und $ \epsilon=0$
Fall 2:
Sei $(\mathbb{R},\{\mathbb{R},\emptyset \},\lambda)$ ein Massraum. Sei 1/2 ein Beispiel einer Zahl aus $\mathbb{Q}$
So ist $\{1/2\} \subseteq \mathbb{R}$ die einzige überdeckung von 1/2 aus $\{\mathbb{R},\emptyset \}$ aber
$\lambda(\mathbb{R}) \neq 0$
Somit haben wir zwei unterschiedliche Resulatate
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Tycross
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 26.11.2016
Mitteilungen: 70
| Beitrag No.4, eingetragen 2016-11-30
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Hi,
Jede einelementige Menge ist ein element von der borel sigma algebra.
Die borel sigma algebra wird durch die intervalle [a,b] erzeugt. Demnach sind auch [a,a] = {a} für alle a in R drin
Dein Resultat 2 ist richtig aber nicht beatandteil der Aufgabe :-)
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sulky
Aktiv
Dabei seit: 21.12.2009
Mitteilungen: 1984
| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2016-11-30
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ja, aber ich kann doch das "fast überall" nur zeigen, wenn eine sigma-algebra gegeben ist.
Es ist aber keine in der Aufgabenstellung gegeben.
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BerndLiefert
Senior
Dabei seit: 21.10.2014
Mitteilungen: 437
Wohnort: Lehramtplanet
| Beitrag No.6, eingetragen 2016-11-30
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Wie definierst Du das Lebesgue-Maß, ohne eine Sigma-Algebra zu verwenden?
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Tycross
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 26.11.2016
Mitteilungen: 70
| Beitrag No.7, eingetragen 2016-11-30
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Also Fakt ist, dass die Borel-Sigma-Algebra zugrunde liegt.
Wie du anfangen solltest wäre wie folgt:
$\lambda ( \{ x\in \mathds{R} : 1_\mathds{Q} (x) = 1 \})$
Und du weißt, dass man eine abzählbare Vereinigung als Summe rausziehen kann.
Also: $\lambda (\cup A) = \sum \lambda(A) $
Und du weißt, dass für Intervalle gilt:
$\lambda([a,b]) = b-a \ für\ alle\ a \le b$
Zusammengefügt ergibt das? :)
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sulky
Aktiv
Dabei seit: 21.12.2009
Mitteilungen: 1984
| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2016-11-30
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ok. Ich hab's begriffen. Das Lebesque Mass ist immer in Verbindung mit der Borelschen sigma-algebra und deswegen ist es in der Aufgabenstellung nicht extra erwähnt.
Aber nun zum Beweis:
Musterlösung:
\
Zeigen wir zuerst dass \lambda(\IQ)=0
Sei ((q_n)),(n\el\IN) eine Nummerierung von \IQ und \epsilon >0.
Dann Ist \IQ \subsetequal union((q_n-\epsilon*2^(-n) ,q_n+\epsilon*2^(-n)),n \el \IN,)
...
Hier habe ich ein Verständnisproblem. Die "Abzählbarkeit" wurde nie so richtig erklärt. Ich musste dies bei Wikipedia nachlesen.
Aber so wie ich wikipedia verstehe, sind die Rationalen Zahlen zwar tatsächlich abzählbar, aber die Existenz einer Surjektion von $\mathbb{N}$
nach $\mathbb{Q}$ ist deswegen noch lange nicht bewiesen.
Die Druchnummerierung von $\mathbb{Q}$ aus natürlichen Zahlen wird nämlich sehr kompliziert konstruiert.
Nämlich steht im Zähler i-j, damit das Vorzeichen sowohl plus als auch minus sein kann. Im Zähler steht 1+k, damit der Zähler kein Null annehmen kann.
somit ist die Musterlösung -meiner Meinung nach- nicht korrekt und müsste so aussehen:
\
union(union(union(((i-j)/(1+k) *\epsilon *2^(-n), (i-j)/(1+k)*\epsilon*2^(-n) ),i\el\IN,),j\el\IN,),k\el\IN,)
Was meint ihr dazu?
Ob der weitere Teil der Beweisführung noch aufgeht, wenn man es so schreibt wie ich es vorschlage, ist allerdings fraglich.
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Tycross
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Dabei seit: 26.11.2016
Mitteilungen: 70
| Beitrag No.9, eingetragen 2016-12-01
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$\lambda (\mathds{Q}) = \lambda (\cup \limits_{q\in\mathds{Q} } \{q\}) = ....? $
Wenn du Maßtheorie machst sollte die Existenz einer Surjektion von N nach Q schon längst bewiesen zu sein.
Cantors Diagonal-Verfahren ist ein akzeptierter Beweis.
Wenn es eine Abzählung gibt, so gibt es auch eine Surjektion.
Aber deine Vereinigungen sind genauso legitim, denk ich.
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sulky
Aktiv
Dabei seit: 21.12.2009
Mitteilungen: 1984
| Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2016-12-01
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Ja Tycross, da hast du schon recht, aber bitte sag das dem Prof und nicht mir.
Aber vielen Dank für die Antwort. Ich merke mir, dass jede Abzählbare menge in dieser Form dargestellt werden kann und fahre mal weiter mit dem Beweis
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Tycross
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Dabei seit: 26.11.2016
Mitteilungen: 70
| Beitrag No.11, eingetragen 2017-02-15
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O.B.d.A. haben wir natürliche Zahlen ohne 0 und 1, demnach können wir einen Indexshift machen und haben eine schöne geometrische Reihe mit wert 1.
$
Sei\ \mathds{N} = \{2,3,4,5,6,...\}
\mathds{Q} \subset \cup\limits_{n \in \mathds{N}}(q_n-\eps *2^{-n} ,q_n+\eps *2^{-n})
und
\lambda ( \cup\limits_{n \in \mathds{N}} (q_n-\eps *2^{-n} ,q_n+\eps *2^{-n}))
\limits_{\sigma - Additivität\ des\ Maßes}
=\sum \limits_{n \in \mathds{N}} \lambda ( (q_n-\eps *2^{-n} ,q_n+\eps *2^{-n}))
= \sum \limits_{n \in \mathds{N}} (q_n+\eps *2^{-n} - (q_n-\eps *2^{-n}))
=\sum \limits_{n \in \mathds{N}} (2 \eps *2^{-n})
=\sum \limits_{n \in \mathds{N}} ( \eps *2^{-n+1})
=\eps \sum \limits_{n \in \mathds{N}} ( 2^{-n+1})
=\eps \sum \limits_{n=1}^{\infty} (2^{-n})
=\eps (\sum \limits_{n=0}^{\infty} (2^{-n}) -1)
=\eps (2 -1)
=\eps
Und da
\mathds{Q} \subset \cup\limits_{n \in \mathds{N}}(q_n-\eps *2^{-n} ,q_n+\eps *2^{-n})
\Rightarrow \limits_{Monotonie\ des\ Maßes}
0 \le \lambda(\mathds{Q}) \le \eps
und\ da\ \eps\ beliebig\ gilt\ das\ Resultat.
$
Man hätte meines Erachtens auch einfacher schreiben können:
$\lambda (\mathds{Q}) = \lambda (\cup \limits_{n \in \mathds{N}} \{q_n\}) = \lambda (\cup \limits_{n \in \mathds{N}} [q_n,q_n])
= \sum \limits_{n \in \mathds{N}} \lambda([q_n,q_n]) = \sum (q_n - q_n) = \sum 0 = 0 $
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