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Logik, Mengen & Beweistechnik » Induktion » Beweis durch vollständige Induktion - Faktorisierungsformel
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Universität/Hochschule Beweis durch vollständige Induktion - Faktorisierungsformel
maverick1
Ehemals Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 16.11.2016
Mitteilungen: 32
  Themenstart: 2016-11-29

Hallo, wer kann mir den Induktionsschritt für folgende Aufgabe einmal aufzeigen? http://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/a/46847_1_Unbenannt.JPG Ich komme durch Umformungen nicht ans Ziel.. Vielen lieben Dank


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haerter
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Mitteilungen: 1700
Wohnort: Bochum
  Beitrag No.1, eingetragen 2016-11-29

Hallo maverick1, falls Ihr nicht die Vorgabe habt, das mit vollständiger Induktion zu lösen, würde ich wohl eher empfehlen, auf der rechten Seite der Gleichung zu beginnen, auszumultiplizieren und die Summen dann so lange umzuformen, bis die linke Seite dasteht. Viele Grüße, haerter P.S.: Es könnte auch helfen, das für n=5 (oder so) mal nachzurechnen. Daran erkennt man vielleicht auch das allgemeine Vorgehen.


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Wauzi
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Dabei seit: 03.06.2004
Mitteilungen: 11493
Wohnort: Bayern
  Beitrag No.2, eingetragen 2016-11-29

Hallo, und wenn es denn unbedingt mit Induktion sein muß, so teilt man beide Seiten der Gleichung durch an um das Ganze auf eine deutlich einfachere Form zu kriegen. Dann ist Induktion auch sehr leicht. Gruß Wauzi


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maverick1
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Dabei seit: 16.11.2016
Mitteilungen: 32
  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2016-11-30

Dankeschön! Ausmultiplizieren ist da wirklich am einfachsten. LG


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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Er/sie war noch nicht wieder auf dem Matheplaneten
Limasmathehilfe
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Dabei seit: 23.10.2021
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  Beitrag No.4, eingetragen 2021-10-23

Könntest du die Aufgabe vielleicht mal vorrechnen und das hochladen ? Komme bei der Indexverschiebung nicht weiter. MfG \quoteon(2016-11-29 23:00 - maverick1 im Themenstart) Hallo, wer kann mir den Induktionsschritt für folgende Aufgabe einmal aufzeigen? http://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/a/46847_1_Unbenannt.JPG Ich komme durch Umformungen nicht ans Ziel.. Vielen lieben Dank \quoteoff


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LetsLearnTogether
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Dabei seit: 27.06.2021
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  Beitrag No.5, eingetragen 2021-10-23

Es könnte dir helfen, wenn du es dir einfach mal ausschreibst. Etwa für den Fall n=3 oder n=4. Dann siehst du vermutlich auch wie das mit der Indexverschiebung auszudrücken ist.


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Diophant
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Dabei seit: 18.01.2019
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  Beitrag No.6, eingetragen 2021-10-23

Hallo und willkommen hier im Forum! Der Thread, an den du deine Frage angehängt hast, ist schon knapp fünf Jahre alt. Von daher ist die Wahrscheinlichkeit eher gering, dass der angesprochene Themenstarter das liest. 🙂 Vorschlag: poste doch einmal deine bisherige Rechnung zu dieser Aufgabe, dann können wir drüberschauen und so gezielter helfen. Gruß, Diophant [Die Antwort wurde nach Beitrag No.4 begonnen.]


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Limasmathehilfe
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  Beitrag No.7, eingetragen 2021-10-23

https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/55047_Screenshot_34.jpg Meine 1. Frage wäre, warum muss man am ersten Schritt i von 0 auf 1 bringen? Und die 2. wäre, warum kommt, nach dem blau markiertem n =-1 raus, wenn man n einsetzt. Ich hoffe die Fragen sind verständlich gestellt. MfG \quoteon(2021-10-23 16:28 - Diophant in Beitrag No. 6) Hallo und willkommen hier im Forum! Der Thread, an den du deine Frage angehängt hast, ist schon knapp fünf Jahre alt. Von daher ist die Wahrscheinlichkeit eher gering, dass der angesprochene Themenstarter das liest. 🙂 Vorschlag: poste doch einmal deine bisherige Rechnung zu dieser Aufgabe, dann können wir drüberschauen und so gezielter helfen. Gruß, Diophant [Die Antwort wurde nach Beitrag No.4 begonnen.] \quoteoff


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Diophant
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  Beitrag No.8, eingetragen 2021-10-23

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) Hallo, hm. Also es wird jetzt klar, dass du gar nicht den Weg über die Induktion gewählt hast sondern den direkten Weg (wie damals u.a. in Beitrag #1 geraten). Zu deinen Fragen: - Dadurch, dass man bei der ersten Summe den ersten Summanden gesondert schreibt, bekommt man schon einmal ein \(a^n\). - Jetzt sagt man sich: gebt mir ein \(-b^n\)! Und führt dazu zunächst besagte Indexverschiebung durch um dann wieder den Summand \(-b^n\) (der für \(i=n\) entsteht) gesondert zu schreiben. Und oh Wunder: die beiden Summen, die jetzt verbleiben, ergeben zusammen Null. Man kann das echt fast nicht lesen und in der vorletzten Zeile fehlt zwischen \(b^n\) und der zweiten Summe ein Minuszeichen. Gruß, Diophant\(\endgroup\)


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Limasmathehilfe
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  Beitrag No.10, eingetragen 2021-10-23

\quoteon(2021-10-23 20:00 - Limasmathehilfe in Beitrag No. 9) Ich danke Ihnen vielmals für Ihre schnelle Antwort, ich habe das selbe mit der vollständigen Induktion gemacht, könnten Sie da auch mal drüber rauschen und mir erklären warum genau das ROT markierte Vorzeichen minus sein muss ? Mit Freundlichen Grüßen \quoteon(2021-10-23 17:17 - Diophant in Beitrag No. 8) Hallo, hm. Also es wird jetzt klar, dass du gar nicht den Weg über die Induktion gewählt hast sondern den direkten Weg (wie damals u.a. in Beitrag #1 geraten). Zu deinen Fragen: - Dadurch, dass man bei der ersten Summe den ersten Summanden gesondert schreibt, bekommt man schon einmal ein \(a^n\). - Jetzt sagt man sich: gebt mir ein \(-b^n\)! Und führt dazu zunächst besagte Indexverschiebung durch um dann wieder den Summand \(-b^n\) (der für \(i=n\) entsteht) gesondert zu schreiben. Und oh Wunder: die beiden Summen, die jetzt verbleiben, ergeben zusammen Null. Man kann das echt fast nicht lesen und in der vorletzten Zeile fehlt zwischen \(b^n\) und der zweiten Summe ein Minuszeichen. Gruß, Diophant \quoteoff \quoteoff


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Diophant
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  Beitrag No.10, eingetragen 2021-10-24

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) Hallo nochmals, du hast mir ja deinen neuen Aufschrieb per PN geschickt. Besser wäre schon gewesen, ihn hier zu posten, aber ich erledige das hier einmal für dich (in der untenstehenden Show-Box versteckt, damit der Beitrag nicht so lang wird): \showon Bild zur Frage aus #9 \showoff Das Problem an deinem Induktionsbeweis ist schnell erklärt: es ist keiner. Zwar hast du einen Induktionsanfang (warum hast du hier nicht \(n=1\) gewählt, das ginge auch?) und eine Induktionsannahme. Die Zutaten zu einem solchen Beweis sind also da. Du verwendest sie aber nicht, da die Induktionsannahme im Induktionsschluss nicht benutzt wird. Was du hier gemacht hast ist ja einfach der gleiche direkte Beweis wie in Beitrag #7, nur eben für \(a^{n+1}-b^{n+1}\) anstatt für \(a^n-b^n\). Wenn ich dir einen Rat geben darf: wenn nicht ausdrücklich vollständige Induktion gefordert ist, würde ich das hier überhaupt nicht in Betracht ziehen. Siehe dazu den Artikel Vollständige Indoktrination (dort einmal den Abschnitt 7 genau anschauen...). Zur Frage eines geeigneten Induktionsanfangs sei auch noch auf den Artikel Über die Null, den leeren Raum und andere triviale Fälle verwiesen. Gruß, Diophant\(\endgroup\)


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Kuestenkind
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  Beitrag No.11, eingetragen 2021-10-24

Huhu Limasmathehilfe, \quoteon(2021-10-23 17:17 - Diophant in Beitrag No. 8) Und oh Wunder: die beiden Summen, die jetzt verbleiben, ergeben zusammen Null. \quoteoff so ein Wunder ist das garnicht - sondern ein oft genutztes Prinzip, welches sich Telekopsumme nennt. Dieses nur, damit du das auch mal gehört hast. Wenn du das Prinzip verstanden hast, brauchst du auch keine Indexverschiebungen mehr zu machen. Siehe hier Corollary 4.1.17 auf Seite 106 und die Lösung deiner Aufgabe auf Seite 107. Gruß, Küstenkind


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Limasmathehilfe
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  Beitrag No.12, eingetragen 2021-10-26

Also hätte es gereicht die Klammer vor der Summe aufzulösen und mit einer Indexverschiebung die Summen zu subtrahieren ? \quoteon(2021-10-24 09:33 - Diophant in Beitrag No. 10) Hallo nochmals, du hast mir ja deinen neuen Aufschrieb per PN geschickt. Besser wäre schon gewesen, ihn hier zu posten, aber ich erledige das hier einmal für dich (in der untenstehenden Show-Box versteckt, damit der Beitrag nicht so lang wird): \showon Bild zur Frage aus #9 \showoff Das Problem an deinem Induktionsbeweis ist schnell erklärt: es ist keiner. Zwar hast du einen Induktionsanfang (warum hast du hier nicht \(n=1\) gewählt, das ginge auch?) und eine Induktionsannahme. Die Zutaten zu einem solchen Beweis sind also da. Du verwendest sie aber nicht, da die Induktionsannahme im Induktionsschluss nicht benutzt wird. Was du hier gemacht hast ist ja einfach der gleiche direkte Beweis wie in Beitrag #7, nur eben für \(a^{n+1}-b^{n+1}\) anstatt für \(a^n-b^n\). Wenn ich dir einen Rat geben darf: wenn nicht ausdrücklich vollständige Induktion gefordert ist, würde ich das hier überhaupt nicht in Betracht ziehen. Siehe dazu den Artikel Vollständige Indoktrination (dort einmal den Abschnitt 7 genau anschauen...). Zur Frage eines geeigneten Induktionsanfangs sei auch noch auf den Artikel Über die Null, den leeren Raum und andere triviale Fälle verwiesen. Gruß, Diophant \quoteoff


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Limasmathehilfe
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  Beitrag No.13, eingetragen 2021-10-26

Und das ist ja genau das was ich gemacht habe... jetzt erkenne ich meinen ,,Fehler'' \quoteon(2021-10-26 14:12 - Limasmathehilfe in Beitrag No. 12) Also hätte es gereicht die Klammer vor der Summe aufzulösen und mit einer Indexverschiebung die Summen zu subtrahieren ? \quoteon(2021-10-24 09:33 - Diophant in Beitrag No. 10) Hallo nochmals, du hast mir ja deinen neuen Aufschrieb per PN geschickt. Besser wäre schon gewesen, ihn hier zu posten, aber ich erledige das hier einmal für dich (in der untenstehenden Show-Box versteckt, damit der Beitrag nicht so lang wird): \showon Bild zur Frage aus #9 \showoff Das Problem an deinem Induktionsbeweis ist schnell erklärt: es ist keiner. Zwar hast du einen Induktionsanfang (warum hast du hier nicht \(n=1\) gewählt, das ginge auch?) und eine Induktionsannahme. Die Zutaten zu einem solchen Beweis sind also da. Du verwendest sie aber nicht, da die Induktionsannahme im Induktionsschluss nicht benutzt wird. Was du hier gemacht hast ist ja einfach der gleiche direkte Beweis wie in Beitrag #7, nur eben für \(a^{n+1}-b^{n+1}\) anstatt für \(a^n-b^n\). Wenn ich dir einen Rat geben darf: wenn nicht ausdrücklich vollständige Induktion gefordert ist, würde ich das hier überhaupt nicht in Betracht ziehen. Siehe dazu den Artikel Vollständige Indoktrination (dort einmal den Abschnitt 7 genau anschauen...). Zur Frage eines geeigneten Induktionsanfangs sei auch noch auf den Artikel Über die Null, den leeren Raum und andere triviale Fälle verwiesen. Gruß, Diophant \quoteoff \quoteoff


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Diophant
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) Hallo, ich verstehe ehrlich gesagt nicht, auf was sich deine beiden Fragen jetzt beziehen. Halten wir nochmal fest: - Bei deinem Beweis in Beitrag #7 ist alles in Ordnung bis auf das fehlende Minuszeichen in der 4. Zeile. - Dein sog. Induktionsbeweis aus der PN an mich, den ich in meinem Beitrag #10 gepostet hatte, ist kein Induktionsbeweis. Du führst hier exakt die gleiche Rechnung wie in Beitrag #7 nochmals durch, eben nur für die Faktorisierung von \(a^{n+1}-b^{n+1}\). Du kannst da den Induktionsanfang und die Induktionsannahme getrost weglassen, denn dein Induktionsschluss ist für sich genommen ein (direkter) Beweis des Sachverhalts. Oder du musst es so angehen, dass tatsächlich die Faktorisierung für \(a^n-b^n\) zur Anwendung kommt, und zwar genau mit diesen Exponenten. Denn man nimmt ja bei dieser Form der vollständigen Induktion an, dass eine Aussageform \(A(n)\) für \(n=k\) gilt und möchte unter dieser Voraussetzung zeigen, dass sie dann auch für \(n=k+1\) gilt. Du nimmst das aber von vornherein an anstatt es zu beweisen, das ist der Fehler. Wenn du da jetzt noch Fragen hast, dann solltest du dazusagen, auf welche Version sie sich beziehen. PS: du musst hier nicht jedesmal für einen Beitrag einen vorigen Beitrag zitieren. Klicke einfach auf 'PostReply' am unteren Ende des Threads, um einen neuen Beitrag ohne solche Zitate zu erzeugen. Gruß, Diophant \(\endgroup\)


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