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| Autor |
 endliches Maß |
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Bilo123
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 07.04.2016
Mitteilungen: 69
 |  Themenstart: 2016-11-30
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Hallo,
ich habe eine Frage zu Maßen:
Sei $\displaystyle f:(\Omega,\mathcal{A})\rightarrow(\Omega',\mathcal{A}')$ messbar und $\displaystyle \mu$ ein Maß auf $\displaystyle (\Omega,\mathcal{A})$.
Zu zeigen ist, dass $\displaystyle \mu$ endlich ist, falls $\displaystyle \mu\circ f^{-1}$ endlich ist.
Meine Idee ist:
$\displaystyle \infty>c=\mu(f^{-1}(\Omega'))=\mu(\Omega)$
und dann wäre ich schon fertig, oder? Das kommt mir etwas einfach vor.
Vergesse ich etwas?
Weiter soll ich zeigen, dass wenn $\displaystyle \mu\circ f^{-1}~\sigma$-endich ist auch $\displaystyle \mu~\sigma$-endlich ist, die Umkehrung i.A. aber nicht gilt. Dazu:
$\displaystyle \mu(f^{-1}\left(\bigcup\limits_{i=1}^\infty A_i'\right))=\mu\left(\bigcup\limits_{i=1}^\infty f^{-1}(A_i')\right)=\mu\left(\bigcup\limits_{i=1}^\infty A_i\right)=\sum\limits_{i=1}^\infty \mu(A_i)$
Woher weiß ich nun, dass $\displaystyle \mu(A_i)<\infty$ gilt?
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Kampfpudel
Senior 
Dabei seit: 02.08.2013
Mitteilungen: 2024
| Beitrag No.1, eingetragen 2016-11-30
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Hey Bilo123,
\quoteon(2016-11-30 09:25 - Bilo123 im Themenstart)
Zu zeigen ist, dass $\displaystyle \mu$ endlich ist, falls $\displaystyle \mu\circ f^{-1}$ endlich ist.
Meine Idee ist:
$\displaystyle \infty>c=\mu(f^{-1}(\Omega'))=\mu(\Omega)$
und dann wäre ich schon fertig, oder? Das kommt mir etwas einfach vor.
\quoteoff
Manchmal ist es wirklich so einfach
\quoteon(2016-11-30 09:25 - Bilo123 im Themenstart)
Weiter soll ich zeigen, dass wenn $\displaystyle \mu\circ f^{-1}~\sigma$-endich ist auch $\displaystyle \mu~\sigma$-endlich ist, die Umkehrung i.A. aber nicht gilt. Dazu:
$\displaystyle \mu(f^{-1}\left(\bigcup\limits_{i=1}^\infty A_i'\right))=\mu\left(\bigcup\limits_{i=1}^\infty f^{-1}(A_i')\right)=\mu\left(\bigcup\limits_{i=1}^\infty A_i\right)=\sum\limits_{i=1}^\infty \mu(A_i)$
Woher weiß ich nun, dass $\displaystyle \mu(A_i)<\infty$ gilt?
\quoteoff
Ich frage mich, was diese Rechnung nützen soll?
Was ist denn $(A_i')_{i \in \mathbb{N}}$ für eine Folge von Mengen, bzw. welche Eigenschaft hat sie? Dabei solltest du ausnutzen, dass $\mu \circ f^{-1}$ $\sigma$-endlich ist.
Ich nehme an, du setzt $A_i := f^{-1}(A_i')$, dann sollte doch klar sein, warum $\mu(A_i)< \infty$ gilt...
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Bilo123
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2016-12-01
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Ok zum zweiten Teil:
Ja, die Rechnung ist wirklich unnütz.
Da $\mu\circ f^{-1}~\sigma$-endl. existieren $\displaystyle A_i'\in\mathcal{A}'$ mit
$\displaystyle \bigcup_i A_i'=\Omega'$ und $\displaystyle \mu(A_i')<\infty$.
Da $\displaystyle f$ messbar, ex. $\displaystyle A_i\in\mathcal{A}$ mit $\displaystyle A_i=f^{-1}(A_i')$, also
$\displaystyle \mu(f^{-1}(A_i'))=\mu(A_i)$ und da $\displaystyle \mu(f^{-1}(A_i'))$ endlich, ist auch $\displaystyle \mu(A_i)$ endlich. Noch zz: $\displaystyle \bigcup_i A_i=\Omega$.
$\displaystyle \Omega=f^{-1}(\Omega')=f^{-1}\left(\bigcup_i A_i'\right)=\bigcup_if^{-1}(A_i')=\bigcup_i A_i$
Das müsste dann so passen, richtig?
Warum gilt die Umkehrung i.A. nicht, also $\displaystyle \mu~\sigma$-endlich $\displaystyle \Rightarrow~\mu\circ f^{-1}~\sigma$-endlich?
Liegt es daran, dass wenn für ein $\displaystyle A\in\mathcal{A}$ es nicht unbedingt ein messbares $\displaystyle A'\in\mathcal{A}'$ geben muss?
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Kampfpudel
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| Beitrag No.3, eingetragen 2016-12-01
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\quoteon(2016-12-01 08:23 - Bilo123 in Beitrag No. 2)
Da $\mu\circ f^{-1}~\sigma$-endl. existieren $\displaystyle A_i'\in\mathcal{A}'$ mit
$\displaystyle \bigcup_i A_i'=\Omega'$ und $\displaystyle \mu(A_i')<\infty$.
Da $\displaystyle f$ messbar, ex. $\displaystyle A_i\in\mathcal{A}$ mit $\displaystyle A_i=f^{-1}(A_i')$, also
$\displaystyle \mu(f^{-1}(A_i'))=\mu(A_i)$ und da $\displaystyle \mu(f^{-1}(A_i'))$ endlich, ist auch $\displaystyle \mu(A_i)$ endlich. Noch zz: $\displaystyle \bigcup_i A_i=\Omega$.
$\displaystyle \Omega=f^{-1}(\Omega')=f^{-1}\left(\bigcup_i A_i'\right)=\bigcup_if^{-1}(A_i')=\bigcup_i A_i$
Das müsste dann so passen, richtig?
\quoteoff
Ja, so ist es goldrichtig
\quoteon(2016-12-01 08:23 - Bilo123 in Beitrag No. 2)
Warum gilt die Umkehrung i.A. nicht, also $\displaystyle \mu~\sigma$-endlich $\displaystyle \Rightarrow~\mu\circ f^{-1}~\sigma$-endlich?
Liegt es daran, dass wenn für ein $\displaystyle A\in\mathcal{A}$ es nicht unbedingt ein messbares $\displaystyle A'\in\mathcal{A}'$ geben muss [...]
\quoteoff
[...], sodass $A= f^{-1}(A)$ gilt? Ja, das geht nicht immer, im Allgemeinen nur für bijektive $f$.
Wenn du ein Gegenbeispiel konstruieren willst, solltest du ein nicht bijektives $f$ nehmen.
Auch sonst kann man ein wirklich relativ einfaches Gegenbeispiel konstruieren. Was kennst du denn für einen $\sigma$-endlichen (aber nicht endlichen) Maßraum?
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