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 Durchmesser, Hausdorff-Maß und Lebesgue-Maß |
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Mitteilungen: 305
 |  Themenstart: 2016-12-03
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Guten Nachmittag,
ich habe folgende Aufgabe:
a) Sei A Teilmenge des R^2 mit Lebesgue-Maß größer als $\frac{\sqrt{3}}{2}$, dann hat A Durchmesser größer als 1.
b) Berechnen sie das 1-fache Hausdorff-Maß von dem Einheitskreises im R^2.
(also: $H_1(B)$, B Einheitskreis)
Zu a) habe ich den Tipp bekommen, dass man ein nicht quadratisches Gitter zur Unterstützung nehmen solle. Ich dachte hierbei an sowas, wie das Gitter, welches von Z[Wurzel(2)] entsteht. Das hat die Länge eins und die Höhe Wurzel(2). Dort könnte man beobachten, dass die Diagonallänge von einem "Kästchen" Wurzel(3) ist und der Abstand vbon jedem Punkt in diesem "Kästchen" zum mindestens $\frac{\sqrt{3}}{2}$ betragen müsste. Wie könnte man von hier aus weiter machen? Oder ist der Ansatz falsch?
Zu b) weiß ich wenig. Hier fehlt mir die geeingnete Überdeckung des Kreises. Ich habe bis jetzt nur festgestellt, dass jede Teilmenge, welche Durchmesser k hat, Teilmenge eines Kreises mit dem Durchmesser k ist. Ist diese Beobachtung richtig? Ich könnte dann den Einheitskreis mit kleinen Kreisen des Durchmessers Epsilon überdenken, für jedes Epsilon des Hausdorff-Maßes und das dann gegen 0 laufen lassen. Ich merke aber bei besonders großen Epsilon Probleme dabei.
Wenn dies nicht funktionier könnte man auch wieder ein Gitter über den Einheitskreis legen. Ein "Kästchen" der Länge k hat hat Durchmesser Wurzel(2)k. Die kann ich ja auch beliebig klein machen und müsste dann wissen, wie viele Kästchen den Kreis noch trifft. Das ist für die ersten Unterteilungen einfach:
Ich würde den Kreis in ein Quadrat der Länge 2 legen. Könnte das Quadrat immer vierteln. Beim ersten Vierteln, überdecken immer noch alle 4 Quadrate (nun mit Länge 1) den Kreis. Beim zweiten Schritt fallen die ersten vier hinaus (nun mit Länge 1/2), das heißt es bleiben 12 Stück über.
Allgemein kann ich noch beobachten, dass wenn ich so ein "interessantes Quadrat" beobachte, also eins, durch das der Kreis irgendwie "durchläuft" und jenes vierteln würde, dann lägen höchstens 3 der 4 "neuen" Quadrate wieder auf dem Kreis. Das würde eine sehr grobe Abschätzung geben, aber ich weiß nicht, in welche "Richtung" sie "wegfallen". Sie könnten ja auch nach außen "wegfallen" und dann sind sie für mich nicht mehr interessant. So kann man zumindest Lebesgue-messbarkeit für den Kreis nachweisen, aber über die Diagonale kann man wenig sagen, es sei denn man schätzt wirklich sehr grob ab, aber das wird nicht helfen.
Ich bräuchte also für beide Aufgaben Hilfe. Ich danke euch im Vorraus.
LG Linkd.
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| Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2016-12-04
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bump :) Ich versuche mich heute Abend noch einmal an den Aufgaben und bin um jeden Denkanstoß dankbar.
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Dabei seit: 29.11.2015
Mitteilungen: 305
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2016-12-04
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Hallo,
woran liegt es, dass es keine Antworten gibt? Mir fallen die Aufgaben besonders schwer, weil ich die Idee nicht bekomme, wie es funktionieren könnte. Wenn es an mir liegt, dürft ihr mir das gerne sagen!
Ich kann für Nummer b) das Hausdorff-Maß des Einheitskreises von unten schon mit 2Pi abschätzen. Das funktioniert, in dem ich gezeigt habe, dass für kleine Epsilon das Hausdorff-Maß einer Menge nur größer werden kann. Also bräuchte ich noch eine obere Abschätzung. Könnte mir:
https://de.wikipedia.org/wiki/Bresenham-Algorithmus
dabei helfen?
LG Linkd.
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